時間周波数解析

有効な時間周波数分布関数を定式化する方法にはいくつかあり、その結果、以下のようなよく知られた時間周波数分布がいくつか得られます。

• 短時間フーリエ変換（ガボール変換を含む）、
• ウェーブレット変換、
• 双線形時間周波数分布関数（ウィグナー分布関数、またはWDF）
• 修正ウィグナー分布関数、ガボール・ウィグナー分布関数など（ガボール・ウィグナー変換を参照）。
• ヒルベルト・ファン変換

時間周波数分布の開発の歴史と動機に関する詳細は、「時間周波数表現」の項目を参照してください。

時間周波数分布関数は、理想的には以下の特性を備えている。

1. 時間軸と周波数軸の両方において高解像度であるため、分析や解釈が容易になる。
2. 実際の成分とアーティファクトやノイズを混同しないように、クロスタームは使用していません。
3. このような手法が実生活への応用において有益となることを保証するために、望ましい数学的特性のリスト。
4. 計算複雑度を低減することで、時間周波数平面上で信号を表現および処理するのに必要な時間を確保し、リアルタイム実装を可能にする。

以下に、選択されたいくつかの時間周波数分布関数の簡単な比較を示します。^{[ 4 ]}

信号を適切に解析するには、適切な時間周波数分布関数を選択することが重要です。どの時間周波数分布関数を使用すべきかは、アプリケーションのリストを確認することでわかるように、検討対象のアプリケーションによって異なります。^{[ 5 ]}一部の信号で得られるウィグナー分布関数（WDF）の明瞭さは、その定式化に内在する自己相関関数によるものですが、後者はクロスターム問題も引き起こします。したがって、単一タームの信号を解析したい場合は、WDFを使用するのが最善のアプローチかもしれません。信号が複数のコンポーネントで構成されている場合は、ガボール変換、ガボール・ウィグナー分布、修正B分布関数などの他の方法の方が良い選択肢となる可能性があります。

例えば、非局所フーリエ解析による振幅では、信号を区別することはできません。

${\displaystyle x_{1}(t)={\begin{cases}\cos(\pi t);&t<10\\\cos(3\pi t);&10\leq t<20\\\cos(2\pi t);&t>20\end{cases}}}$

${\displaystyle x_{2}(t)={\begin{cases}\cos(\pi t);&t<10\\\cos(2\pi t);&10\leq t<20\\\cos(3\pi t);&t>20\end{cases}}}$

しかし、時間周波数解析なら可能です。

• 自己共分散関数（ACF）${\displaystyle R_{x}(t,\tau )}$

${\displaystyle R_{x}(t,\tau )=E[x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)]}$

通常、私たちは次のように考えています。${\displaystyle E[x(t)]=0}$任意の t に対して、

${\displaystyle E[x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)]}$

${\displaystyle =\iint x(t+\tau /2,\xi _{1})x^{*}(t-\tau /2,\xi _{2})P(\xi _{1},\xi _{2})d\xi _{1}d\xi _{2}}$

（自己共分散関数の別の定義）

${\displaystyle {\overset {\land }{R_{x}}}(t,\tau )=E[x(t)x(t+\tau )]}$

• パワースペクトル密度（PSD）${\displaystyle S_{x}(t,f)}$

${\displaystyle S_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }R_{x}(t,\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau }$

• ウィグナー分布関数（WDF）とPSDの関係

${\displaystyle E[W_{x}(t,f)]=\int _{-\infty }^{\infty }E[x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)]\c​​dot e^{-j2\pi f\tau }\cdot d\tau }$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }R_{x}(t,\tau )\cdot e^{-j2\pi f\tau }\cdot d\tau }$${\displaystyle =S_{x}(t,f)}$

• 曖昧性関数と自己相関関数の関係

${\displaystyle E[A_{X}(\eta ,\tau )]=\int _{-\infty }^{\infty }E[x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)]e^{-j2\pi t\eta }dt}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }R_{x}(t,\tau )e^{-j2\pi t\eta }dt}$

• 定常ランダム過程：統計的性質はtによって変化しない。その自己共分散関数：

${\displaystyle R_{x}(t_{1},\tau )=R_{x}(t_{2},\tau )=R_{x}(\tau )}$ いかなる場合でも${\displaystyle t}$、 したがって、 ${\displaystyle R_{x}(\tau )=E[x(\tau /2)x^{*}(-\tau /2)]}$${\displaystyle =\iint x(\tau /2,\xi _{1})x^{*}(-\tau /2,\xi _{2})P(\xi _{1},\xi _{2})d\xi _{1}d\xi _{2}}$PSD、 ${\displaystyle S_{x}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }R_{x}(\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau }$ホワイトノイズ：

${\displaystyle S_{x}(f)=\sigma }$ 、 どこ${\displaystyle \sigma }$は定数である。

• x(t)が定常状態の場合、

${\displaystyle E[W_{x}(t,f)]=S_{x}(f)}$ （不変）${\displaystyle t}$）

${\displaystyle E[A_{x}(\eta ,\tau )]=\int _{-\infty }^{\infty }R_{x}(\tau )\cdot e^{-j2\pi t\eta }\cdot dt}$${\displaystyle =R_{x}(\tau )\int _{-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi t\eta }\cdot dt}$${\displaystyle =R_{x}(\tau )\delta (\eta )}$ （非ゼロの場合のみ）${\displaystyle \eta =0}$）

• 加法性白色雑音（AWN）の場合、

${\displaystyle E[W_{g}(t,f)]=\sigma }$

${\displaystyle E[A_{x}(\eta ,\tau )]=\sigma \delta (\tau )\delta (\eta )}$

• 加法性白色雑音中の信号に対するフィルタ設計

${\displaystyle E_{x}}$信号のエネルギー

${\displaystyle A}$ 信号の時間周波数分布の領域

ホワイトノイズのPSDは${\displaystyle S_{n}(f)=\sigma }$

${\displaystyle SNR\approx 10\log _{10}{\frac {E_{x}}{\iint \limits _{(t,f)\in {\text{signal part}}}S_{x}(t,f)dtdf}}}$

${\displaystyle SNR\approx 10\log _{10}{\frac {E_{x}}{\sigma \mathrm {A} }}}$

• もし${\displaystyle E[W_{x}(t,f)]}$異なる${\displaystyle t}$そして${\displaystyle E[A_{x}(\eta ,\tau )]}$非ゼロとなるのは${\displaystyle \eta =0}$、 それから${\displaystyle x(t)}$これは非定常ランダム過程である。
• もし
  1. ${\displaystyle h(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)+x_{3}(t)+......+x_{k}(t)}$
  2. ${\displaystyle x_{n}(t)}$すべての平均はゼロです${\displaystyle t}$の
  3. ${\displaystyle x_{n}(t)}$はすべての人にとって相互に独立しています${\displaystyle t}$'s と${\displaystyle \tau }$の

それから：

${\displaystyle E[x_{m}(t+\tau /2)x_{n}^{*}(t-\tau /2)]=E[x_{m}(t+\tau /2)]E[x_{n}^{*}(t-\tau /2)]=0}$

• もし${\displaystyle m\neq n}$、 それから

${\displaystyle E[W_{h}(t,f)]=\sum _{n=1}^{k}E[W_{x_{n}}(t,f)]}$

${\displaystyle E[A_{h}(\eta ,\tau )]=\sum _{n=1}^{k}E[A_{x_{n}}(\eta ,\tau )]}$

• STFT（短時間フーリエ変換）のためのランダムプロセス

${\displaystyle E[x(t)]\neq 0}$ 満足するはずです。そうでなければ、 ${\displaystyle E[X(t,f)]=E[\int _{t-B}^{t+B}x(\tau )w(t-\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau ]}$${\displaystyle =\int _{t-B}^{t+B}E[x(\tau )]w(t-\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau }$平均ゼロのランダム過程の場合、${\displaystyle E[X(t,f)]=0}$

• AFとFRFTで分解します。任意の非定常ランダム過程は、定常ランダム過程の分数フーリエ変換（またはチャープ乗算）の和として表現できます。

瞬時周波数の定義は位相の時間変化率、または

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dt}}\phi (t),}$

どこ${\displaystyle \phi (t)}$は信号の瞬時位相です。画像が十分に鮮明であれば、時間周波数平面から直接瞬時周波数を知ることができます。高い鮮明度が不可欠であるため、WDFを用いて解析することがよくあります。

フィルタ設計の目的は、信号から不要な成分を除去することです。従来は、以下に示すように、時間領域または周波数領域で個別にフィルタリングを行うことができました。

上記のフィルタリング方法は、時間領域または周波数領域で重なり合う可能性のあるすべての信号に対して有効とは限りません。時間周波数分布関数を用いることで、ユークリッド時間周波数領域、または分数フーリエ変換を用いることで分数領域においてフィルタリングを行うことができます。以下に例を示します。

時間周波数解析におけるフィルタ設計では、常に複数の成分から構成される信号を扱うため、クロスタームの問題からWDFを用いることはできません。ガボール変換、ガボール・ウィグナー分布関数、またはコーエンのクラス分布関数の方が適しているでしょう。

信号分解の概念は、信号中の1つの成分を他の成分から分離する必要性に関連しています。これは、フィルタ設計段階を必要とするフィルタリング操作によって実現できます。このようなフィルタリングは従来、時間領域または周波数領域で行われてきましたが、複数の成分からなる非定常信号の場合、これらの成分は時間領域と周波数領域の両方で重なり合う可能性があるため、これは不可能な場合があります。したがって、成分分離、ひいては信号分解を実現する唯一の方法は、時間周波数フィルタを実装することです。

ナイキスト・シャノン標本化定理によれば、エイリアシングを起こさない最小標本点数は、信号の時間周波数分布の面積に等しいと結論づけることができます。（実際には、あらゆる信号の時間周波数分布の面積は無限であるため、これは単なる近似値です。）以下に、標本化理論と時間周波数分布を組み合わせる前と後の例を示します。

時間周波数分布を適用すると、サンプリング点の数が減少することが注目される。

WDFを使用する場合、クロスターム問題（干渉とも呼ばれる）が発生する可能性があります。一方、ガボール変換を使用すると、表現の明瞭さと読みやすさが向上し、その結果、解釈や実用問題への応用が容易になります。

したがって、サンプリングする信号が単一の成分で構成されている場合はWDFを使用しますが、信号が複数の成分で構成されている場合は、ガボール変換、ガボール・ウィグナー分布関数、またはその他の干渉低減TFDを使用することでより良い結果が得られる可能性があります。

バリアン・ロウの定理はこれを定式化し、必要な時間周波数サンプルの最小数の上限を提供する。

従来、変調と多重化の動作は、時間領域または周波数領域のいずれかに別々に集中して行われてきました。時間周波数分布を利用することで、変調と多重化をより効率的に行うことができます。必要なのは、時間周波数平面を埋めることだけです。以下にその例を示します。

上の例で示されているように、WDFを使用するのは賢明ではありません。深刻なクロスターム問題により、多重化や変調が困難になるためです。

電磁波は2×1行列の形で表すことができる。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}$

これは時間周波数平面に似ています。電磁波が自由空間を伝搬すると、フレネル回折が発生します。2×1行列で操作できます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$

パラメータ行列を用いたLCTによる

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z\\0&1\end{bmatrix}},}$

ここでzは伝搬距離であり、${\displaystyle \lambda }$は波長です。電磁波が球面レンズを通過するか、円盤で反射される場合、パラメータ行列は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\-{\frac {1}{\lambda f}}&1\end{bmatrix}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {1}{\lambda R}}&1\end{bmatrix}}}$

それぞれ、ƒはレンズの焦点距離、 Rは円盤の半径である。これらの対応する結果は以下から得られる。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}.}$

光は電磁波であるため、時間周波数解析は、一般的な電磁波伝搬の場合と同様に、光学にも適用される。

同様に、音響信号の特徴として、その周波数成分は時間とともに急激に変化するため、信号の全期間をカバーする単一の周波数成分分析では適切に表現できない。

音響信号は、人間である送信者と受信者間のコミュニケーションにおいて音声として使用されるため、技術的な通信システムにおいて遅延なく伝送されることが極めて重要です。そのため、ガボール変換のようなより単純な時間周波数変換（TFD）を使用することで、計算の複雑さを軽減し、これらの信号をリアルタイムで分析することが可能になります。

周波数解析の速度が制約とならない場合は、特定のTFDを選択する前に、明確に定義された基準に基づいて詳細な機能比較を行う必要があります。別の方法としては、データに合わせて調整された信号依存型のTFDを定義する方法があります。生物医学分野では、時間周波数分布を用いて筋電図（EMG）、脳波（EEG）、心電図（ECG）、耳音響放射（OAE）などを解析することができます。