分散ラグ

統計学と計量経済学において、分散ラグモデルは時系列データのモデルであり、説明変数の現在の値とこの説明変数のラグ（過去の期間）値の両方に基づいて、回帰方程式を使用して従属変数の現在の値を予測します。^{[1] [2]}

分散ラグモデルの出発点は、次のような構造を想定したものである。

${\displaystyle y_{t}=a+w_{0}x_{t}+w_{1}x_{t-1}+w_{2}x_{t-2}+...+{\text{error term}}}$

またはフォーム

${\displaystyle y_{t}=a+w_{0}x_{t}+w_{1}x_{t-1}+w_{2}x_{t-2}+...+w_{n}x_{t-n}+{\text{error term}},}$

ここで、y _tは従属変数yの期間tにおける値、aは推定される切片項、w _iは説明変数xのi期間前の値に適用されるラグ重み（これも推定される）と呼ばれます。最初の式では、従属変数は独立変数の任意の過去の値によって影響を受けると想定されるため、ラグ重みの数は無限であり、モデルは無限分散ラグモデルと呼ばれます。もう 1 つの式である 2 番目の式では、ラグ重みの数は有限であり、独立変数の値が従属変数に影響を与えない最大ラグが存在するという想定を示しています。この想定に基づくモデルは有限分散ラグモデルと呼ばれます。

無限分散ラグ モデルでは、無限の数のラグ重みを推定する必要があります。これは、さまざまなラグ重みの関係に何らかの構造が想定され、それらの無限のすべてが有限の数の想定された基礎パラメータで表現できる場合にのみ実行できることは明らかです。有限分散ラグ モデルでは、パラメータは通常の最小二乗法によって直接推定できます(データ ポイントの数がラグ重みの数を十分に上回っていると想定)。ただし、このような推定では、独立変数のさまざまなラグ値の間に極端な多重共線性があるため、非常に不正確な結果が得られる場合があります。そのため、さまざまなラグ重みの関係に何らかの構造を想定する必要がある場合があります。

分散ラグ モデルの概念は、複数の右側説明変数のコンテキストに簡単に一般化できます。

分布ラグに関連するパラメータを推定する最も簡単な方法は、最大ラグが固定であり、誤差が独立かつ同一に分布していると仮定し、ラグ付き説明変数の係数同士の関係に構造を課さない、通常の最小二乗法を使用することです。ただし、ラグ付き説明変数間で多重共線性が生じることが多く、係数推定値の分散が大きくなります。 ${\displaystyle p}$

構造化分散ラグ モデルには、有限と無限の 2 種類があります。 無限分散ラグでは、特定の時点における独立変数の値が、無限に遠い将来まで従属変数に影響を与えることができます。言い換えると、従属変数の現在の値が、無限に遠い過去に発生した独立変数の値によって影響を受けることができます。ただし、ラグの長さが一定を超えると、その影響はゼロに向かって徐々に減少します。 有限分散ラグでは、特定の時点における独立変数が、有限期間のみ従属変数に影響を与えることができます。

最も重要な構造化有限分布ラグモデルは、アルモンラグモデルである。^[3] このモデルでは、データからラグ構造の形状を決定できるが、研究者は最大ラグ長を指定しなければならない。最大ラグ長を誤って指定すると、推定ラグ構造の形状だけでなく、独立変数の累積効果も歪めてしまう可能性がある。アルモンラグは、k + 1個のラグ重みが、 n + 1個の線形推定可能な基礎パラメータ（n < k）a _jと次のように 関係していると仮定している。

${\displaystyle w_{i}=\sum _{j=0}^{n}a_{j}i^{j}}$

のために${\displaystyle i=0,\dots ,k.}$

構造化された無限分散ラグ モデルの最も一般的なタイプは、幾何ラグ( Koyck ラグとも呼ばれる) です。このラグ構造では、ラグがかかった独立変数の値の重み (影響の大きさ) は、ラグの長さとともに指数関数的に減少します。ラグ構造の形状は、この手法の選択によって完全に決定されますが、減少率と全体的な影響の大きさは、データによって決まります。回帰式の指定は非常に簡単です。説明変数 (回帰の右側の変数) として、従属変数の 1 期間ラグの値と独立変数の現在の値を含めます。

${\displaystyle y_{t}=a+\lambda y_{t-1}+bx_{t}+{\text{error term}},}$

ここで、このモデルでは、独立変数の単位変化の短期的（同期間）効果はbの値であり、独立変数の持続的な単位変化の長期的（累積的）効果は次のように示される。 ${\displaystyle 0\leq \lambda <1}$

${\displaystyle b+\lambda b+\lambda ^{2}b+...=b/(1-\lambda ).}$

他にも、データからラグ構造の形状を決定できる無限分散ラグモデルが提案されている。多項式逆ラグ^{[4] [5]は、ラグの重みが、線形推定可能な基礎パラメータ}a _jと次のように 関係していると仮定している。

${\displaystyle w_{i}=\sum _{j=2}^{n}{\frac {a_{j}}{(i+1)^{j}}},}$

のために${\displaystyle i=0,\dots ,\infty .}$

幾何学的組み合わせラグ^[6]は、ラグの重みが、以下の式のいずれかに従って 線形推定可能な基礎パラメータa _jと関係していると仮定している。

${\displaystyle w_{i}=\sum _{j=2}^{n}a_{j}(1/j)^{i},}$

または​ ${\displaystyle i=0,\dots ,\infty }$

${\displaystyle w_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}[j/(n+1)]^{i},}$

のために${\displaystyle i=0,\dots ,\infty .}$

ガンマラグ^[7]と有理ラグ^[8]は他の無限分散ラグ構造である。

分散ラグモデルは、2002年にザノベッティとシュワルツによって健康関連の研究に導入されました。^[9] ベイズ版のモデルは、2007年にウェルティによって提案されました。^[10]ガスパリニは、2010年に^[11]曝露反応関係の追加の時間次元を記述できるより柔軟な統計モデルを導入し、非線形曝露反応依存性と遅延効果を同時に表現できるモデリングフレームワークである分散ラグ非線形モデル（DLNM）ファミリーを開発しました。^[12]

分散ラグモデルの概念は、2015年にHsu氏によって縦断的コホート研究に初めて適用され、 ^[13] PM2.5と小児喘息の関係を研究しました。その後、Wilson氏によるベイズ分散ラグ相互作用モデル^{[14]など、}縦断的コホート研究分析に対応することを目的としたより複雑な分散ラグ法が、同様の研究上の疑問に答えるために開発されました。

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