スムージング

統計学と画像処理において、データ セットを平滑化するとは、ノイズやその他の微細構造/急速な現象を除外しながら、データ内の重要なパターンを捉えようとする近似関数を作成することです。平滑化では、信号のデータ ポイントが変更され、隣接するポイントよりも高い個々のポイント (おそらくノイズのため) が削減され、隣接するポイントよりも低いポイントが増加して、信号が滑らかになります。平滑化は、(1) 平滑化の仮定が妥当である限り、データからより多くの情報を抽出できること、および (2) 柔軟かつ堅牢な分析を提供できることで、データ分析に役立つ 2 つの重要な方法で使用できます。^[1]平滑化では、さまざまなアルゴリズムが使用されます。

スムージングは​​、関連し部分的に重複する概念であるカーブフィッティングと次のように区別されます。

• 曲線フィッティングでは、結果に対して明示的な関数形式が使用されることがよくありますが、スムージングからの即時の結果は「スムージングされた」値であり、関数形式が存在する場合でも後で使用されることはありません。
• 平滑化の目的は、データ値の厳密な一致にはあまり注意を払わずに、比較的ゆっくりとした値の変化の概要を示すことです。一方、曲線フィッティングは、可能な限り厳密な一致を達成することに重点を置いています。
• スムージング方法には、スムージングの範囲を制御するために使用される調整パラメータが関連付けられていることがよくあります。曲線フィッティングでは、関数の任意の数のパラメータを調整して、「最適な」フィッティングを取得します。

平滑化された値が観測値の線形変換として記述できる場合、平滑化操作は線形平滑化と呼ばれます。変換を表す行列は平滑化行列またはハット行列と呼ばれます。^[要出典]

このような行列変換を適用する操作は畳み込みと呼ばれます。したがって、行列は畳み込み行列または畳み込みカーネルとも呼ばれます。単純な一連のデータ ポイント (多次元画像ではなく) の場合、畳み込みカーネルは 1 次元ベクトルです。

最も一般的なアルゴリズムの 1 つは「移動平均」で、繰り返し行われる統計調査で重要な傾向を捉えるためによく使用されます。画像処理とコンピューター ビジョンでは、スケール空間表現でスムージングの考え方が使用されます。最も単純なスムージング アルゴリズムは、「長方形」または「重み付けなしのスライディング平均スムージング」です。この方法では、信号の各ポイントを「m」個の隣接するポイントの平均に置き換えます。ここで、「m」は「スムージング幅」と呼ばれる正の整数です。通常、m は奇数です。三角形スムージングは​​、重み付けスムージング関数を実装する点を除いて、長方形スムージングに似ています。 ^[2]

具体的なスムージングとフィルターの種類と、それぞれの用途、長所と短所は次のとおりです。

• 畳み込み
• 曲線フィッティング
• 離散化
• エッジ保存スムージング
• フィルタリング（信号処理）
• コンピュータビジョンにおけるグラフカット
• 補間
• 数値平滑化と微分化
• スケールスペース
• 散布図の平滑化
• スムージングスプライン
• 滑らかさ
• 統計信号処理
• サブディビジョンサーフェス、コンピュータグラフィックスで使用される
• ウィンドウ関数

• Hastie, TJ および Tibshirani, RJ (1990)、「一般化加法モデル」、ニューヨーク: Chapman and Hall。