時間周波数表現

時間周波数表現（TFR ）は、時間と周波数の両方で表現された信号（時間の関数としてとられる）のビューです。^[1]時間周波数解析とは、TFRによって提供される時間周波数領域への解析を意味します。これは、しばしば「時間周波数分布」と呼ばれる定式化、略してTFDを使用して実現されます。

TFR は多くの場合、時間と周波数にわたる複素数値フィールドであり、フィールドの係数は振幅または「エネルギー密度」(時間と周波数にわたる二乗平均平方根の集中) のいずれかを表し、フィールドの引数は位相を表します。

背景と動機

時間の関数としての信号は、完全な時間分解能を持つ表現と見なすことができます。対照的に、信号のフーリエ変換(FT)の振幅は、完全なスペクトル分解能を持つ表現と見なすことができますが、時間情報はありません。これは、FT の振幅が周波数の内容を伝えますが、時間内に信号で異なるイベントがいつ発生するかを伝えることができないためです。

TFR は、時間情報と スペクトル情報を同時に提供するという点で、これら 2 つの表現の橋渡しとなります。したがって、TFR は、複数の時間変動周波数を含む信号の表現と分析に役立ちます。

TFRとTFDの定式化

TFR (または TFD) の 1 つの形式は、各時点について異なる方向に展開された信号とその信号自体との乗法比較によって定式化できます。このような表現と定式化は、表現が信号内で 2 次であるため、 2 次または「双線形」TFR または TFD (QTFR または QTFD) と呼ばれます (双線形時間周波数分布を参照)。この定式化は、1932 年にユージン・ウィグナーによって量子力学の文脈で最初に説明され、その後、1948 年にヴィルによって一般的な TFR として再定式化され、現在ではウィグナー・ヴィル分布として知られる分布を形成しました。これは、 ^[2]で、ウィグナーの式が表現として、また実用的な解析に役立つためには、ヴィルの論文で定義された解析信号を使用する必要があることが示されたためです。現在、QTFR には、スペクトログラム(短時間フーリエ変換の二乗振幅)、スケールグラム(ウェーブレット変換の二乗振幅)、および平滑化された疑似ウィグナー分布が含まれます。

2 次 TFR は完璧な時間解像度とスペクトル解像度を同時に提供しますが、変換の 2 次特性により、クロスターム (「干渉」とも呼ばれます) が生成されます。TFD と TFR の双線形構造によって生じるクロスタームは、クロスタームによって認識アルゴリズムの詳細が追加されるため、分類などの一部のアプリケーションでは有用です。ただし、他のアプリケーションでは、これらのクロスタームが特定の 2 次 TFR に影響することがあり、削減する必要があります。削減方法の 1 つは、信号を別の関数と比較することです。このようにして得られる表現は、信号内で表現が線形であるため、線形 TFR と呼ばれます。このような表現の例には、ウィンドウフーリエ変換(短時間フーリエ変換とも呼ばれます) があります。これは、信号をウィンドウ関数で変調してローカライズし、その後フーリエ変換を実行してウィンドウ領域内の信号の周波数コンテンツを取得します。

ウェーブレット変換

ウェーブレット変換、特に連続ウェーブレット変換は、信号を時間と周波数の両方に局在するウェーブレット関数で展開します。したがって、信号のウェーブレット変換は、時間と周波数の両方で表すことができます。連続ウェーブレット変換分析は、気候^{[4]や地滑り}^[5]に関連するものなど、時系列の非定常信号^[3]を識別するのに非常に役立ちます。

ウェーブレット変換からTFRを生成するために使用される時間、周波数、振幅の概念は、もともと直感的に開発されました。1992年に、定常位相近似に基づいてこれらの関係の定量的な導出が発表されました。^[6]

線形正準変換

線形正準変換は、シンプレクティック形式を保存する時間周波数表現の線形変換です。これらには、フーリエ変換、分数フーリエ変換などが含まれ、一般化されているため、時間周波数領域での作用に関してこれらの変換の統一的な見方が提供されます。

参照

参考文献

^ E. Sejdić、I. Djurović、J. Jiang、「エネルギー集中を使用した時間周波数特徴表現：最近の進歩の概要」、デジタル信号処理、vol. 19、no. 1、pp. 153-183、2009 年 1 月。
^ B. Boashash、「時間周波数信号解析におけるウィグナー分布の使用に関する注記」、IEEE Trans. on Acoust. Speech. and Signal Processing、vol. 36、issue 9、pp 1518–1521、1988 年 9 月。doi : 10.1109/29.90380
^ Torrence, Christopher; Compo, Gilbert P. (1998年1月). 「ウェーブレット解析の実践ガイド」.アメリカ気象学会誌. 79 (1): 61–78. doi :10.1175/1520-0477(1998)079<0061:APGTWA>2.0.CO;2. ISSN 0003-0007.
^ Grinsted, A.; Moore, JC; Jevrejeva, S. (2004-11-18). 「クロスウェーブレット変換とウェーブレットコヒーレンスの地球物理学的時系列への応用」.地球物理学における非線形プロセス. 11 (5/6): 561–566. doi : 10.5194/npg-11-561-2004 . ISSN 1023-5809.
^ トマス、R.;リー、Ｚ．ロペス・サンチェス、JM。リュー、P.シングルトン、A. (2016-06-01)。「ウェーブレットツールを使用して InSAR 時系列データから季節変動を分析: 黄突坡地滑りのケーススタディ」。地滑り。13 (3): 437–450。土井：10.1007/s10346-015-0589-y。ISSN 1612-5118。
^ Delprat, N., Escudii, B., Guillemain, P., Kronland-Martinet, R., Tchamitchian, P., Torrksani, B. (1992). 「漸近ウェーブレットとガボール解析：瞬間周波数の抽出」. IEEE Transactions on Information Theory . 38 (2): 644–664. doi :10.1109/18.119728. {{cite journal}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)

外部リンク

DiscreteTFDs — 時間周波数分布を計算するソフトウェア
TFTB — 時間周波数ツールボックス
超広帯域信号の時間周波数解析のための時間伸張短時間フーリエ変換

[1] E. Sejdić、I. Djurović、J. Jiang、「エネルギー集中を使用した時間周波数特徴表現：最近の進歩の概要」、デジタル信号処理、vol. 19、no. 1、pp. 153-183、2009 年 1 月。

[2] B. Boashash、「時間周波数信号解析におけるウィグナー分布の使用に関する注記」、IEEE Trans. on Acoust. Speech. and Signal Processing、vol. 36、issue 9、pp 1518–1521、1988 年 9 月。doi : 10.1109/29.90380

[3] Torrence, Christopher; Compo, Gilbert P. (1998年1月). 「ウェーブレット解析の実践ガイド」.アメリカ気象学会誌. 79 (1): 61–78. doi :10.1175/1520-0477(1998)079<0061:APGTWA>2.0.CO;2. ISSN 0003-0007.

[4] Grinsted, A.; Moore, JC; Jevrejeva, S. (2004-11-18). 「クロスウェーブレット変換とウェーブレットコヒーレンスの地球物理学的時系列への応用」.地球物理学における非線形プロセス. 11 (5/6): 561–566. doi : 10.5194/npg-11-561-2004 . ISSN 1023-5809.

[5] トマス、R.;リー、Ｚ．ロペス・サンチェス、JM。リュー、P.シングルトン、A. (2016-06-01)。「ウェーブレットツールを使用して InSAR 時系列データから季節変動を分析: 黄突坡地滑りのケーススタディ」。地滑り。13 (3): 437–450。土井：10.1007/s10346-015-0589-y。ISSN 1612-5118。

[6] Delprat, N., Escudii, B., Guillemain, P., Kronland-Martinet, R., Tchamitchian, P., Torrksani, B. (1992). 「漸近ウェーブレットとガボール解析：瞬間周波数の抽出」. IEEE Transactions on Information Theory . 38 (2): 644–664. doi :10.1109/18.119728. {{cite journal}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)