セミリング

抽象代数学において、半環は代数構造です。半環は環の一般化であり、各要素に加法的な逆元が存在するという要件がなくなりました。同時に、半環は有界 分配格子の一般化でもあります。

環ではない最小の半環は、例えば論理和が加算である2 要素ブール代数です。環でも格子でもない動機となる例は、通常の加算と乗算による自然数(ゼロを含む) の集合です。半環は豊富に存在するため、任意の可換モノイド上の自己準同型の関数合成として適切な乗算演算が発生します。 ${\displaystyle \lor }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

著者の中には、またはが存在することを要件とせずに半環を定義する人もいます。これにより、一方では環と半環、他方では群と半群の類推がよりスムーズに機能します。これらの著者は、ここで定義された概念にrig をよく使用します。 ^{[1] [a]これは、 rig が}負の要素のない環であることを示唆するジョークとして始まりました。(乗法単位元のないar i ng を意味するためにrng を使用するのに似ています。) ${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$

ダイオイド（「二重モノイド」の略）という用語は、半環やその他の構造を意味するために使用されています。1972年にクンツマンによって半環を表すために使用されました。 ^{[2] （代わりに、}自然に順序付けられた半環に使用されることもあります^[3]が、この用語は1992年にバチェリらによって冪等部分群にも使用されました^[4]）

半環とは、加算と乗算と呼ばれる2つの二項演算を備えた集合 であり、次のようになる: ^{[5] [6] [7]}${\displaystyle R}$ ${\displaystyle +}$${\displaystyle \cdot ,}$

• ${\displaystyle (R,+)}$は、と呼ばれる単位元を持つ可換 モノイドです。 ${\displaystyle 0}$
  • ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$
  • ${\displaystyle 0+a=a}$
  • ${\displaystyle a+0=a}$
  • ${\displaystyle a+b=b+a}$
• ${\displaystyle (R,\,\cdot \,)}$は、と呼ばれる単位元を持つモノイドです。 ${\displaystyle 1}$
  • ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$
  • ${\displaystyle 1\cdot a=a}$
  • ${\displaystyle a\cdot 1=a}$

さらに、次の公理が両方の操作に結びついています。

• 乗算により、任意の要素は加法的な恒等式によって左右に消滅します。
  • ${\displaystyle 0\cdot a=0}$
  • ${\displaystyle a\cdot 0=0}$
• 左と右の乗算は加算に対して分配されます。
  • ${\displaystyle a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)}$
  • ${\displaystyle (b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)}$

記号は通常は省略され、単に次のように書かれる。${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle a\cdot b}$${\displaystyle ab.}$

同様に、の演算順序は慣例的であり、 では が の前に適用されます。つまり、 はを表します。 ${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle +}$${\displaystyle a+b\cdot c}$${\displaystyle a+(b\cdot c)}$

曖昧さを解消するために、手元のユニットがどの構造に属しているかを強調するために またはを記述する場合があります。${\displaystyle 0_{R}}$${\displaystyle 1_{R}}$

が半環の元であり、である場合、 とそれ自身との - 回の繰り返し乗算は と表され、同様に- 回の繰り返し加算は と書きます。 ${\displaystyle x\in R}$${\displaystyle n\in {\mathbb {N} }}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{n}}$${\displaystyle x\,n:=x+x+\cdots +x}$${\displaystyle n}$

基底集合を持つ零環は、自明半環と呼ばれる半環です。この自明性は によって特徴付けられるため、非自明半環について話すとき、は追加の公理であるかのように暗黙的に想定されることがよくあります。任意の半環が与えられた場合、新しい半環を定義する方法はいくつかあります。 ${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle 0=1}$${\displaystyle 0\neq 1}$

前述のように、算術構造を持つ自然数は半環を形成します。半環、つまり継承された演算をまとめた集合におけるゼロと後続演算の像は、常に の部分半環になります。 ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \{x\in R\mid x=0_{R}\lor \exists p.x=p+1_{R}\}}$${\displaystyle R}$

が可換モノイドである場合、関数合成により乗算が行われ、半環が形成されます。自己準同型の集合は、加算が における点ごとの加算から定義される半環を形成します。零射と恒等写像は、それぞれ中立元です。半環を使用する場合、 の係数を持つ正方行列、つまり行列の通常の加算規則と乗算規則を使用して関連付けることができる半環を取得します。と半環が与えられた場合、 も常に半環になります。 が可換であったとしても、一般には非可換です。 ${\displaystyle (M,+)}$${\displaystyle \operatorname {End} (M)}$${\displaystyle M\to M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M=R^{n}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(R)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle n\in {\mathbb {N} }}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(R)}$${\displaystyle R}$

ドロロー拡張: が半環である場合、 による点ごとの加法と乗法を用いて、は乗法単位 を持つ別の半環を定義します。非常に同様に、が の任意の部分半環である場合、式の繰り返し加算を乗法に置き換えるだけで、 上の半環を定義することもできます。実際、これらの構成はより緩い条件でも機能します。構造は実際には乗法単位を持つ必要がないためです。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle R\times {\mathbb {N} }}$${\displaystyle \langle x,n\rangle \bullet \langle y,m\rangle :=\langle x\cdot y+(x\,m+y\,n),n\cdot m\rangle }$${\displaystyle 1_{R\times {\mathbb {N} }}:=\langle 0_{R},1_{\mathbb {N} }\rangle }$${\displaystyle N}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R\times N}$${\displaystyle R}$

ゼロサムフリー半環は、ある意味では環から最も遠いものです。半環が与えられた場合、基礎となる集合に新しいゼロを付加して、ゼロ因子を持たないゼロサムフリー半環を得ることができます。特に、現在および古い半環は実際には部分半環ではありません。その後、常にゼロを尊重しながら、一度に 1 つずつ新しい要素を「上に」付加することができます。これら 2 つの戦略は、より緩い条件でも機能します。これらの構築を実行するときに、表記法が使用されることがあります。 ${\displaystyle 0'}$${\displaystyle 0\cdot 0'=0'}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle +\infty }$

このように、自明な半環に新しい零点を付加すると、別の半環 が得られ、これは論理和と論理積の論理接続詞で表現できます。したがって、これは環ではない最小の半環です。明示的には、すべての に対してとして環公理に違反しています。つまり、には加法的な逆元がありません。自己双対定義では、 に問題があります。(これは、 の加算がxorとして機能する環 と混同しないでください。)自然数 のフォン・ノイマン・モデルでは、、です。2 元半環は、集合論的な和集合によって として表すことができます。この構造は、 を任意の存在集合に置き換えた 場合にも、実際には依然として半環を構成します。${\displaystyle \langle \{0,1\},+,\cdot ,\langle 0,1\rangle \rangle =\langle \{\bot ,\top \},\lor ,\land ,\langle \bot ,\top \rangle \rangle }$${\displaystyle \top \lor P=\top }$${\displaystyle P}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \bot \land P=\bot }$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \veebar }$${\displaystyle 0_{\omega }:=\{\}}$${\displaystyle 1_{\omega }:=\{0_{\omega }\}}$${\displaystyle 2_{\omega }:=\{0_{\omega },1_{\omega }\}={\mathcal {P}}1_{\omega }}$${\displaystyle \langle {\mathcal {P}}1_{\omega },\cup ,\cap ,\langle \{\},1_{\omega }\rangle \rangle }$${\displaystyle 1_{\omega }}$

半環 上のイデアルは、その部分集合に対する標準演算とともに、格子順序付きで単純かつ零和のない半環を形成する。 のイデアルは、のイデアルと一対一である。 の左イデアルの集合（および右イデアルも同様）も、その代数構造の多くを有するが、その場合は両側の乗法単位元として機能しない。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(R)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

が半環で が居住集合である場合、 は自由モノイドを表し、その語上の形式多項式は別の半環を形成します。小さな集合の場合、生成元は慣例的に多項式半環を表すために使用されます。たとえば、となるシングルトンの場合、 と書きます。 のゼロ和自由部分半環を使用して、 の部分半環を決定できます。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle R[A^{*}]}$${\displaystyle A=\{X\}}$${\displaystyle A^{*}=\{\varepsilon ,X,X^{2},X^{3},\dots \}}$${\displaystyle R[X]}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R[A^{*}]}$

必ずしも単一の集合とは限らない集合 が与えられ、半環の基礎となる集合にデフォルト要素を付加することで、からまでの部分関数の半環を定義できます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$

半環 上の微分が 与えられた場合、を満たす別の演算 " "は 上の新しい乗算の一部として定義でき、別の半環が生成されます。 ${\displaystyle {\mathrm {d} }}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \bullet }$${\displaystyle X\bullet y=y\bullet X+{\mathrm {d} }(y)}$${\displaystyle R[X]}$

上記は体系的な構成の完全なリストではありません。

半環上の微分は、およびを含む写像です。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathrm {d} }\colon R\to R}$${\displaystyle {\mathrm {d} }(x+y)={\mathrm {d} }(x)+{\mathrm {d} }(y)}$${\displaystyle {\mathrm {d} }(x\cdot y)={\mathrm {d} }(x)\cdot y+x\cdot {\mathrm {d} }(y)}$

たとえば、 が単位行列で の場合、を持つ行列によって与えられるの部分集合は、の微分を持つ半環になります。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle U={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2}(R)}$${\displaystyle a\,E+b\,U}$${\displaystyle a,b\in R}$${\displaystyle a\,E+b\,U\mapsto b\,U}$

半環の基本的な性質は、が左または右の零因子ではないことと、 がそれ自身に対しても平方である、つまり であることです。 ${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle u^{2}=u}$

いくつかの注目すべき特性はモノイド構造から継承されます。モノイド公理は単位存在を要求するため、半環の基礎となる集合は空にできません。また、として定義される2 項述語は、ここでは加算演算に対して定義されますが、常に右標準事前順序関係を構成します。反射性は恒等式によって証明されます。さらに、は常に有効であるため、ゼロはこの事前順序に関して最小の要素です。特に可換加算について考えると、「右」の区別は無視できます。たとえば、非負整数 では、この関係は反対称かつ強く連結 であり、したがって実際には (非厳密な)全順序 です。 ${\displaystyle x\leq _{\text{pre}}y}$${\displaystyle \exists d.x+d=y}$ ${\displaystyle y\leq _{\text{pre}}y}$${\displaystyle 0\leq _{\text{pre}}y}$${\displaystyle \mathbb {N} }$

以下では、さらに条件付きプロパティについて説明します。

任意の体は半体でもあり、半体は乗法逆元も存在する半環です。

任意の体は環でもあり、環は半環でもあり、その半環には加法的な逆元も存在します。半環ではこのような要件が省略されることに注意してください。つまり、半環には可換モノイドのみが必要であり、可換群 は必要ありません。環自体に対する追加の要件は、すでに乗法的零点の存在を暗示しています。この対照は、半環の理論では乗法的零点を明示的に指定する必要がある理由でもあります。

ここで、 の加法逆数である は の平方になります。環には加法差が常に存在するため、は環における自明な二項関係です。 ${\displaystyle -1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle d=y-x}$${\displaystyle x\leq _{\text{pre}}y}$

半環は、乗法も可換であるとき、可換半環と呼ばれる。 ^[8]その公理は簡潔に述べることができる。それは、およびとなる1つの集合上の2つの可換モノイドとから構成される。 ${\displaystyle \langle +,0\rangle }$${\displaystyle \langle \cdot ,1\rangle }$${\displaystyle a\cdot 0=0}$${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$

半環の中心は部分半環であり、可換であることはそれ自身の中心であることと同等です。

自然数の可換半環はその種の最初のオブジェクトであり、任意の可換半環への の唯一の構造保存写像が存在することを意味します。${\displaystyle {\mathbb {N} }}$

有界分配束は、分配法則とべき等性に関する特定の代数方程式を満たす、部分的に順序付けられた可換半環です。したがって、それらの双対も同様です。

概念や順序は、厳密な定式化、非厳密な定式化、または2 次定式化を使用して定義できます。交換性などの追加のプロパティにより、公理が簡素化されます。

厳密な全順序（線型順序、または構成的定式化では擬似順序とも呼ばれる）が与えられた場合、定義により、正の要素と負の要素はそれぞれを満たします。厳密な順序の非反射性により、 が左ゼロ因子である場合、 は偽です。非負の要素は によって特徴付けられ、 と書き表されます。 ${\displaystyle 0<x}$${\displaystyle x<0}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s\cdot x<s\cdot y}$${\displaystyle \neg (x<0)}$${\displaystyle 0\leq x}$

一般に、厳密な全順序を否定して、関連する半順序を定義できます。前者の非対称性はとして現れます。実際、古典数学では後者は (厳密でない) 全順序であり、 が成り立つようなものです。同様に、任意の (厳密でない) 全順序が与えられた場合、その否定は非反射的かつ推移的であり、これら 2 つの特性が一緒に見られる場合は、厳密な準順序と呼ばれることがあります。古典的には、これは厳密な全順序を定義します。実際、厳密な全順序と全順序は、互いの観点で定義できます。 ${\displaystyle x<y\to x\leq y}$${\displaystyle 0\leq x}$${\displaystyle x=0\lor 0<x}$

上記で定義した「」はどの環でも自明であることを思い出してください。非自明で非厳密な順序を許容する環の存在は、これらが必ずしも「」と一致する必要がないことを示しています。 ${\displaystyle \leq _{\text{pre}}}$${\displaystyle \leq _{\text{pre}}}$

すべての元が加法冪等である半環、つまりすべての元に対してである半環は、（加法）冪等半環と呼ばれます。^[9]を確立すれば十分です。乗算の規則に関係なく、これは単に冪等半環と呼ばれることがあることに注意してください。 ${\displaystyle x+x=x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 1+1=1}$

このような半環では、は と同値であり、常に半順序 (ここでは と表記) を構成します。特に、ここでは です。したがって、加法的に冪等な半環は零和自由であり、実際、すべての加法逆を持つ唯一の加法的に冪等な半環は自明環であり、したがってこの特性は半環理論に特有のものです。加算と乗算は、を意味し、さらにすべてのおよびに対して およびを意味するという意味で順序に従います。 ${\displaystyle x\leq _{\text{pre}}y}$${\displaystyle x+y=y}$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle x\leq 0\leftrightarrow x=0}$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle x+t\leq y+t}$${\displaystyle s\cdot x\leq s\cdot y}$${\displaystyle x\cdot s\leq y\cdot s}$${\displaystyle x,y,t}$${\displaystyle s}$

が加法的に冪等である場合、 の多項式も加法的に冪等です。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle R[X^{*}]}$

基礎となる集合に格子構造が存在するような半環は、和が交わり と一致し、積が接合 の下にある場合に格子順序付きである。半環上のイデアルの格子順序付き半環は、格子構造 に関して必ずしも分配的ではない。${\displaystyle x+y=x\lor y}$${\displaystyle x\cdot y\leq x\land y}$

加法的なべき等性よりも厳密に言えば、半環は、すべての に対してそのときに限り、単純であるといいます。また、すべての に対してもであり、 です。ここで、 は加法無限元に似た関数です。 が加法的なべき等半環である場合、継承された演算により、その単純部分半環になります。単純ではない加法的なべき等半環の例は、 上の熱帯半環で、標準順序に関して 2 元最大関数が加算であるものです。その単純部分半環は自明です。 ${\displaystyle x+1=1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 1+1=1}$${\displaystyle x\leq 1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \{x\in R\mid x+1=1\}}$${\displaystyle {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \}}$

c半環は冪等半環であり、任意の集合に対して加法が定義されます。

べき等乗法を持つ加法べき等半環 は、加法かつ乗法べき等半環と呼ばれますが、単にべき等半環と呼ばれることもあります。その性質を持つ可換な単純半環は、唯一の最小元と最大元 (その場合、単位元) を持つ有界分配格子とまったく同じです。ヘイティング代数はそのような半環であり、ブール代数は特別なケースです。 ${\displaystyle x^{2}=x}$

さらに、2 つの有界分配格子が与えられた場合、可換な加法的冪等半環をもたらす構成があり、これは単なる構造の直和よりも複雑です。

環 のモデルでは、非自明な正値述語と述語 を定義でき、これは厳密な全順序を構成し、や古典的には三分法などの特性を満たします。標準的な加算と乗算により、この構造はデデキント完全である厳密な順序付けされた体を形成します。定義 により、実数論で証明されたすべての第 1 階特性は、実閉体の決定可能理論でも証明可能です。たとえば、ここでは はと相互に排他的です。 ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$${\displaystyle 0<x}$${\displaystyle x<y}$${\displaystyle 0<(y-x)}$${\displaystyle \neg (x<0\lor 0<x)\to x=0}$${\displaystyle x<y}$${\displaystyle \exists d.y+d^{2}=x}$

しかし、順序体だけでなく、有理数、整数、および各構造の非負部分を含む の多くの部分半環においても、以下に挙げる 4 つの性質は依然として有効です。特に、非負実数、非負有理数、非負整数はそのような半環です。最初の 2 つの性質は、冪等半環で有効な性質に類似しています。平行移動とスケーリングは、この環での加算と乗算が成立するという意味において、 これらの順序付き環を尊重します。${\displaystyle {\mathbb {R} }}$

• ${\displaystyle (x<y)\,\to \,x+t<y+t}$
• ${\displaystyle (x<y\land 0<s)\,\to \,s\cdot x<s\cdot y}$

特に、要素を二乗すると正値が保存されます。 ${\displaystyle (0<y\land 0<s)\to 0<s\cdot y}$

環で常に成立する2つの性質に注意してください。まず、任意のに対して自明です。特に、正の加法差の存在は次のように表すことができます 。${\displaystyle P\,\to \,x\leq _{\text{pre}}y}$${\displaystyle P}$

• ${\displaystyle (x<y)\,\to \,x\leq _{\text{pre}}y}$

第二に、三分順序が存在する場合、加法群の非ゼロ元は正と負の元に分割され、反転演算はそれらの間で移動します。 により、すべての平方は非負であることが証明されます。したがって、非自明な環は正の乗法単位を持ちます。 ${\displaystyle (-1)^{2}=1}$

• ${\displaystyle 0<1}$

厳密な順序について議論した結果、および など が導かれます。${\displaystyle 0\neq 1}$${\displaystyle 1\neq 1+1}$

順序理論には離散性に関する矛盾する概念がいくつかあります。半環上の厳密な順序が与えられた場合、そのような概念の 1 つは、 が正であり を覆う、つまり単位の間に要素が存在しないというものです。現在の文脈では、これが満たされ、さらに半環のすべての要素が非負であり、半環が単位から始まる場合、 順序は離散的と呼ばれます。${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \neg (0<x\land x<1)}$

を、厳密な順序と代数構造を関連付ける上記の 4 つの特性も検証する、可換で離散的に順序付けられた半環の理論によって表します。 のすべてのモデルは、モデルをその初期セグメントとして持ち、ゲーデルの不完全性とタルスキの定義不可能性はすでに に適用されています。 可換で離散的に順序付けられた環の非負の元は、常に の公理を検証します。 そのため、理論の少し変わったモデルは、多項式環の正の元によって与えられ、 の正性述語は、最後の非ゼロ係数 によって定義され、上記のとおりです。 はについて真であるすべての-文を証明しますが、この複雑さを超えて、 に依存しない単純なそのようなステートメントを見つけることができます。 たとえば、について真である -文は、定義した他のモデルに対しても依然として真ですが、多項式 を調べると、すべての数がまたはの形式(「奇数または偶数」) であるという -主張の -独立性が実証されます。も離散的に順序付けできることは、非ゼロの に対する -主張(「有理数の 2 乗は に等しくない」) が独立であることを示しています。同様に、 の解析は、で真である因数分解に関するいくつかのステートメントの独立性を証明しています。数 に対しては有効ではない素数性の特徴付けがあります。 ${\displaystyle {\mathsf {PA}}^{-}}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle {\mathsf {PA}}^{-}}$${\displaystyle {\mathsf {PA}}^{-}}$ ${\displaystyle {\mathbb {Z} }[X]}$${\displaystyle p={\textstyle \sum }_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}}$${\displaystyle 0<p:=(0<a_{n})}$${\displaystyle p<q:=(0<q-p)}$${\displaystyle {\mathsf {PA}}^{-}}$${\displaystyle \Sigma _{1}}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle {\mathsf {PA}}^{-}}$${\displaystyle \Pi _{1}}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathsf {PA}}^{-}}$${\displaystyle \Pi _{2}}$${\displaystyle 2q}$${\displaystyle 2q+1}$${\displaystyle {\mathbb {Z} }[X,Y]/(X^{2}-2Y^{2})}$${\displaystyle \Pi _{1}}$${\displaystyle x^{2}\neq 2y^{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle {\mathbb {Z} }[X,Y,Z]/(XZ-Y^{2})}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle {\mathsf {PA}}}$${\displaystyle {\mathsf {PA}}^{-}}$${\displaystyle 2}$

逆に、の任意のモデルから、 の順序付き環を構築できます。この環は、 の順序に関して負の要素を持ちますが、をカバーする意味では依然として離散的です。このために、元の半環からペアの同値類を定義します。大まかに言えば、環は古い構造の要素の差に対応し、 から最初の環を定義できる方法を一般化します。これは、実際には、すべての逆を追加し、 で前順序が再び自明になります。 ${\displaystyle {\mathsf {PA}}^{-}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \forall x.x\leq _{\text{pre}}0}$

2 元代数のサイズを超えると、単位から始まる単純な半環は存在しません。離散的に順序付けられていることは、たとえば、単位間で稠密である非負有理数の半環上の標準的な順序付けとは対照的です。別の例として、は順序付けできますが、離散的に順序付けすることはできません。 ${\displaystyle {\mathbb {Q} }_{\geq 0}}$${\displaystyle {\mathbb {Z} }[X]/(2X^{2}-1)}$

${\displaystyle {\mathsf {PA}}^{-}}$加えて数学的帰納法は、一階ペアノ算術と同等の理論を与えます。この理論は有名なカテゴリカルではありませんが、もちろん意図されたモデルです。は、零因子が存在せず、零和自由であり、したがってそのモデルはどれも環ではないことを証明します。 ${\displaystyle {\mathsf {PA}}}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle {\mathsf {PA}}}$

の標準的な公理化はより簡潔であり、その順序の理論は一般に非厳密な「」の観点から扱われます。しかし、その公理化から強力な帰納原理を単に取り除くだけでは、実用的な代数理論は残りません。実際、帰納法は取り除くものの、その前身の存在公準を戻すロビンソン算術でさえ、モノイド公理を証明しません。 ${\displaystyle {\mathsf {PA}}}$${\displaystyle \leq _{\text{pre}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {Q}}}$${\displaystyle \forall y.(0+y=y)}$

完全半環とは、加法モノイドが完全モノイドである半環のことである。つまり、任意の添字集合に対して無限和演算を持ち、以下の（無限）分配法則が成立することを意味する。^{[10] [11] [12]}${\displaystyle \Sigma _{I}}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle {\textstyle \sum }_{i\in I}{\left(a\cdot a_{i}\right)}=a\cdot \left({\textstyle \sum }_{i\in I}{a_{i}}\right),\qquad {\textstyle \sum }_{i\in I}{\left(a_{i}\cdot a\right)}=\left({\textstyle \sum }_{i\in I}{a_{i}}\right)\cdot a.}$

完全半環の例としては、モノイドの和集合の冪集合や完全半環上の行列半環などがある。^{[13]可換半環、加法冪等半環、単純半環の場合、この性質は}残余格子 と関連している。

連続半環は同様に、加法モノイドが連続モノイドであるものとして定義される。つまり、最小上限特性を持つ部分順序付きであり、加法と乗法が順序と上限を尊重する半環である。通常の加法、乗法、順序が拡張された半環は連続半環である。^[14]${\displaystyle \mathbb {N} \cup \{\infty \}}$

任意の連続半環は完備である: ^[10]これは定義の一部とみなすことができる。^[13]

星型半環（starsemiringと綴られることもある）は、単項演算子 が追加された半環であり、^{[9] [11] [15] [16]}を満たす 。${\displaystyle {}^{*}}$

${\displaystyle a^{*}=1+aa^{*}=1+a^{*}a.}$

クリーネ代数は、冪等な加法といくつかの追加の公理を持つ星型半環である。これらは形式言語や正規表現の理論において重要である。^[11]

完全なスター半環では、スター演算子は通常のクリーネスターのように振る舞う。完全な半環では、無限和演算子を使用してクリーネスターの通常の定義を与える。^[11]

${\displaystyle a^{*}={\textstyle \sum }_{j\geq 0}{a^{j}},}$

どこ

${\displaystyle a^{j}={\begin{cases}1,&j=0,\\a\cdot a^{j-1}=a^{j-1}\cdot a,&j>0.\end{cases}}}$

スター半環は*-代数とは関係がないことに注意してください。*-代数では、スター演算は複素共役として考えるべきものです。

コンウェイ半環は、和スター方程式と積スター方程式を満たすスター半環である。^{[9] [17]}

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)^{*}&=\left(a^{*}b\right)^{*}a^{*},\\(ab)^{*}&=1+a(ba)^{*}b.\end{aligned}}}$

完全な星型半環はコンウェイ半環でもあるが^[18]、その逆は成り立たない。完全でないコンウェイ半環の例としては、通常の加算と乗算を伴う拡張された非負有理数 の集合が挙げられる（これは、この節で示した拡張された非負実数の例から無理数を取り除いたものである）。^[11] 反復半環は、ジョン・コンウェイによって星型半環の群に関連付けられたコンウェイ群の公理^[9]を満たすコンウェイ半環である。^[19]${\displaystyle \mathbb {Q} _{\geq 0}\cup \{\infty \}}$

• 定義により、任意の環と任意の半体も半環になります。
• 可換で離散的に順序付けられた環の非負の元は、可換で離散的に（上で定義された意味で）順序付けられた半環を形成します。これには非負の整数が含まれます。${\displaystyle \mathbb {N} }$
• また、非負の有理数と非負の実数は、可換な順序付き半環を形成する。^{[20] [21] [22]}後者は確率半環。^[6]環や分配格子も同様である。これらの例には乗法逆元も存在する。
• 前述のように、条件付きで既存の半環から新しい半環を構成することができる。加算と乗算が可能な拡張自然数は、 次のように拡張される。^[21]${\displaystyle \mathbb {N} \cup \{\infty \}}$${\displaystyle 0\cdot \infty =0}$
• で表される自然数係数を持つ多項式の集合は可換半環を形成します。実際、これは単一の生成元上の自由可換半環です。また、説明したように、他の半環の係数を持つ多項式も定義できます。${\displaystyle \mathbb {N} [x],}$${\displaystyle \{x\}.}$
• 与えられた基数 に対する位格記数法における非負の有限分数 は 、有理数の部分半環を形成します。 が を割り切る場合、が成り立ちます。 の場合、集合 はを基数とする有限分数全体の環であり、において稠密です。${\displaystyle {\tfrac {\mathbb {N} }{b^{\mathbb {N} }}}:=\left\{mb^{-n}\mid m,n\in \mathbb {N} \right\}}$${\displaystyle b\in \mathbb {N} }$${\displaystyle {\tfrac {\mathbb {N} }{b^{\mathbb {N} }}}\subseteq {\tfrac {\mathbb {N} }{c^{\mathbb {N} }}}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle |b|>1}$${\displaystyle {\tfrac {\mathbb {Z} _{0}}{b^{\mathbb {Z} _{0}}}}:={\tfrac {\mathbb {N} }{b^{\mathbb {N} }}}\cup \left(-{\tfrac {\mathbb {N} _{0}}{b^{\mathbb {N} }}}\right)}$${\displaystyle b,}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• 上の対数半環は、零元と単位元の乗算によって与えられる^[6]${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$${\displaystyle x\oplus y=-\log \left(e^{-x}+e^{-y}\right)}$${\displaystyle +,}$${\displaystyle +\infty ,}$${\displaystyle 0.}$

同様に、適切な順序と底部要素が存在する場合、

• 熱帯半環は様々に定義される。最大プラス半環は、半環の加算（恒等式 ）として機能し、通常の加算（恒等式 0 ）は半環の乗算として機能する可換半環である。別の定式化では、熱帯半環はであり、加算演算として max を min に置き換える。^[23] 関連バージョンでは、基礎集合として を持つ。^{[6] [10]これらは、}代数多様体と区分線型構造を結び付ける活発な研究分野である。^[24]${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty \}}$${\displaystyle \max(a,b)}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \},}$${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$
• Łukasiewicz半環:との加算は引数( )の最大値をとり、 と の乗算はで与えられる閉区間であり、多値論理に現れる。^[11]${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \max(a,b)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \max(0,a+b-1)}$
• ビタビ半環も基底集合上に定義され、その加算が最大値となるが、その乗算は実数の通常の乗算​​である。これは確率的構文解析に現れる。^[11]${\displaystyle [0,1]}$

注意してください。加法的に冪等な半環についてさらに詳しくは、 ${\displaystyle \max(x,x)=x}$

• 与えられた半環のすべてのイデアルの集合は、イデアルの加法と乗法の下で半環を形成します。
• 任意の有界分配格子は、結合と会合の下で可換な半環である。ブール代数はこれらの特別な場合である。ブール環も半環（実際は環である）であるが、加算の下で冪等ではない。ブール半環は、ブール代数の部分半環と同型の半環である。^[20]
• 2元ブール代数によって形成され、 によって定義される可換半環。${\displaystyle 1+1=1}$ブール半環。^{[6][21][22][9]}ここで、2つの集合と、ブール半環の要素を持つ、およびインデックス付けされた行列に対応するの二項関係を考えると、行列の加算は関係の和集合に対応し、行列の乗算は関係の合成に対応する。^[25]${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$
• 任意の単位量体は結合と乗算に関して半環である。
• 環内の正規歪格子は、乗算とナブラの演算に対する半環であり、後者の演算は次のように定義される。${\displaystyle R}$${\displaystyle a\nabla b=a+b+ba-aba-bab}$

モノイドをさらに活用すると、

• 可換モノイドからの半環の構成については既に述べた。前述のように、半環 を与えると、行列は別の半環を形成する。例えば、非負の要素を持つ行列は行列半環を形成する。^[20]${\displaystyle \operatorname {End} (M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {N} ),}$
• アルファベット（有限集合）Σが与えられたとき、（の部分集合）上の形式言語の集合は、文字列の連結と加算によって誘導される積が言語の和（つまり、集合としての通常の和）である半環である。この半環の零点は空集合（空言語）であり、半環の単位は空文字列のみを含む言語である。^[11]${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma ^{*}}$ ${\displaystyle L_{1}\cdot L_{2}=\left\{w_{1}w_{2}\mid w_{1}\in L_{1},w_{2}\in L_{2}\right\}}$
• 前の例を一般化すると（上の自由モノイドとして見て）、を任意のモノイドとすると、のすべての部分集合の冪集合は、加算と集合ごとの乗算の集合論的和の下で半環を形成する：^[22]${\displaystyle \Sigma ^{*}}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \wp (M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle U\cdot V=\{u\cdot v\mid u\in U,\ v\in V\}.}$
• 同様に、 がモノイドである場合、 の有限多重集合の集合は半環を形成します。つまり、要素は関数 です。関数 の要素が与えられれば、その要素がそれが表す多重集合に何回出現するかがわかります。加法単位は定数ゼロ関数です。乗法単位はを に、の他のすべての要素を にマッピングする関数です。和は で与えられ、積は で与えられます。${\displaystyle (M,e,\cdot )}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f\mid M\to \mathbb {N} }$${\displaystyle M,}$${\displaystyle e}$${\displaystyle 1,}$${\displaystyle M}$${\displaystyle 0.}$${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$${\displaystyle (fg)(x)=\sum \{f(y)g(z)\mid y\cdot z=x\}.}$

集合や類似の抽象化に関しては、

• 集合 が与えられたとき、上の二項関係の集合は半環であり、その加法は（関係の集合としての）和集合であり、乗法は関係の合成集合である。半環の零点は空関係であり、その単位元は恒等関係である。^[11]これらの関係は、ブール半環の要素を持つ でインデックス付けされた正方行列の行列半環（実際は行列半代数）に対応し、加法と乗法は通常の行列演算であり、零点と単位元は通常の零行列と恒等行列である。${\displaystyle U,}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$
• 任意の無限基数よりも小さい基数の集合は、基数の加算と乗算の下で半環を形成します。内部モデルのすべての基数のクラスは、（内部モデルの）基数の加算と乗算の下で（クラス）半環を形成します。
• 空クラスをゼロオブジェクト、空集合のみからなるクラスを単位、クラスの非結合和を加算、クラスの直積を乗算とする組合せクラス（非負整数サイズを持つ可算数のオブジェクトの集合で、各サイズのオブジェクトは有限個存在する）の族（同型同値類）。[ 26 ^]
• 任意の分配カテゴリ内のオブジェクトの同型類は、余積および積の演算の下で、バーンサイド・リグと呼ばれる半環を形成します。^{[27]バーンサイド・リグは、カテゴリが}自明である場合にのみ環になります。

上記のいくつかの構造にはスター操作を装備できます。

• 前述の、すべての に対して となる基底集合上の二項関係の半環。この星型演算は、実際には の反射的かつ推移的な閉包（つまり、 を含む上の最小の反射的かつ推移的な二項関係）である。 ^[11]${\displaystyle U}$${\displaystyle R^{*}=\bigcup _{n\geq 0}R^{n}}$${\displaystyle R\subseteq U\times U.}$${\displaystyle R}$${\displaystyle U}$${\displaystyle R.}$
• 形式言語の半環も完全な星型半環であり、星型演算はクリーネ星型（集合/言語の場合）と一致する。^[11]
• 非負の拡張実数 の集合は、実数の通常の加法と乗法と合わせて、完全な星型半環となり、その星型演算は（すなわち、幾何級数）および（ ^[11]）となる。${\displaystyle [0,\infty ]}$${\displaystyle a^{*}={\tfrac {1}{1-a}}}$${\displaystyle 0\leq a<1}$${\displaystyle a^{*}=\infty }$${\displaystyle a\geq 1.}$
• ^{[b] [11]}のブール半環${\displaystyle 0^{*}=1^{*}=1.}$
• 拡張された加法と乗法を持つ半環、および^{[b] [11]}${\displaystyle \mathbb {N} \cup \{\infty \},}$${\displaystyle 0^{*}=1,a^{*}=\infty }$${\displaystyle a\geq 1.}$

実数上のおよび熱帯半環は、離散イベント システムのパフォーマンス評価でよく使用されます。この場合、実数は「コスト」または「到着時間」です。「最大」操作は、イベントのすべての前提条件を待機する必要があること (したがって、最大時間がかかる) に対応し、「最小」操作は、コストの少ない最適な選択肢を選択できることに対応します。+ は、同じパスに沿った累積に対応します。 ${\displaystyle (\max ,+)}$${\displaystyle (\min ,+)}$

最短経路を求めるフロイド・ワーシャルアルゴリズムは、代数上の計算として再定式化できます。同様に、隠れマルコフモデルにおける観測シーケンスに対応する最も確率の高い状態シーケンスを見つけるためのビタビアルゴリズムも、確率の代数上の計算として定式化できます。これらの動的計画法アルゴリズムは、関連する半環の分配特性を利用して、各項を列挙するよりも効率的に、多数の（おそらく指数関数的な）項にわたる量を計算します。^{[28] [29]}${\displaystyle (\min ,+)}$${\displaystyle (\max ,\times )}$

半環の一般化は乗法単位元の存在を必要としないので、乗法はモノイドではなく半群となる。このような構造は半環^[30]または前半環^[31]と呼ばれる。さらに一般化して左前半環^[32]があり、これは右分配性を必要としない（または左分配性を必要としない右 前半環）。

さらに一般化したものには近半環があります。積の中立元や右分配法則（または左分配法則）を必要としないことに加えて、近半環では加算が可換である必要がありません。基数が（クラス）半環を形成するのと同様に、標準的な順序数の加算と乗算を考慮すると、順序数も近半環を形成します。ただし、いわゆる自然（またはヘッセンベルク）演算を代わりに考慮することで、順序数のクラスを半環に変換できます。

カテゴリー理論において、2-リグはリグの関数操作に類似した関数操作を持つカテゴリーです。基数がリグを形成するということは、集合のカテゴリー（またはより一般的には任意のトポス）が 2-リグであると言えるように分類できます。

• 集合の環 – 結合と相対的補集合の下で閉じた集合族
• 評価代数 – 情報処理を記述する代数Pages displaying short descriptions of redirect targets