モノイド

抽象代数学において、モノイドとは結合法則を満たす二項演算と単位元を備えた集合のことである。例えば、加算を持つ自然数はモノイドを形成し、単位元は $0$ である。

モノイドは単位元を持つ半群である。このような代数構造は、数学の様々な分野に現れる。

ある集合からそれ自身への関数は、関数合成に関してモノイドを形成する。より一般的には、圏論において、ある対象からそれ自身への射はモノイドを形成し、逆に、モノイドは単一の対象を持つ圏とみなすことができる。

コンピュータ科学およびコンピュータプログラミングにおいて、与えられた文字セットから構成される文字列の集合は自由モノイドと呼ばれます。遷移モノイドと構文モノイドは、有限状態機械の記述に用いられます。トレースモノイドと履歴モノイドは、プロセス計算および並行コンピューティングの基礎となります。

理論計算機科学において、モノイドの研究はオートマトン理論（クローン・ローズ理論）や形式言語理論（スターハイト問題）の基礎となるものである。

この主題の歴史、およびモノイドのその他の一般的な性質については、半群の項を参照してください。

意味

二項演算 $S$ $\times$ $S$ $\to$ $S$ を備えた集合 $S は$ 、以下の 2 つの公理を満たす場合に $モノイド$ である。

連想性: $S$ のすべての $a$ 、 $b$ 、 $c$ に対して、方程式 $($ $a$ $•$ $b$ $) •$ $c$ $=$ $a$ $• ($ $b$ $•$ $c$ $)$ が成り立つ。
識別要素: $S$ には、 $S$ のすべての要素 $aに対して$ $e$ $•$ $a$ $=$ $a$ および $a$ $•$ $e$ $=$ $a$ という等式が成り立つような要素 $e$ が存在する。

言い換えれば、モノイドは単位元を持つ半群です。結合法則と単位元を持つマグマと考えることもできます。モノイドの単位元は一意です。 ^[^a^] このため、単位元は定数、つまり $0項（またはヌル項）演算とみなされます。したがって、モノイドは$ 三つ組 $($ $S$ $、 • 、$ $e$ $)$ の指定によって特徴付けられます。

文脈によっては、二項演算の記号を省略して、演算を並置で表すことがあります。例えば、モノイドの公理は $(ab) c = a (bc)$ および $ea = ae = a$ と表記できます。この表記は、数値同士の乗算を意味するものではありません。

群は、すべての要素が逆元を持つモノイドの特殊な場合である。

モノイド構造

サブモノイド

モノイド $($ $M$ $, •)$ のサブモノイドは、モノイド演算の下で閉じており、M の単位元 e を含む $M$ の $部分$ $集合$ Nです $。$ [ 1 ^]^[^b^]^記号^的には、 $e$ $\in$ $N$ $\subseteq$ $M$ であり、 $x$ $,$ $y$ $\in$ $N の$ とき $x$ $•$ $y$ $\in$ $N$ である場合、 $Nは$ $M$ のサブモノイドです。この場合、 $Nは$ $M$ から継承された二項演算の下でモノイドです。

一方、 $N が$ モノイド演算に関して閉じているモノイドの部分集合であり、かつ、この継承された演算に関してモノイドである場合、単位元が異なる可能性があるため、 $N は$ 必ずしもサブモノイドではありません。たとえば、単一要素集合 ${0}は乗法に関して閉じていますが、$ 非負整数の (乗法) モノイドのサブモノイドではありません。

発電機

$M$ の部分集合 $Sが$ $M$ を生成するとは、 $S$ を含む $M$ の最小の部分モノイドが $M$ である場合をいう。M $を$ 生成する有限集合が存在する場合、 $M$ は有限生成モノイドである。

可換モノイド

演算が可換であるモノイドは、可換モノイド（または、あまり一般的ではないが、アーベルモノイド）と呼ばれます。可換モノイドは、加法的に記述されることが多いです。任意の可換モノイドには、代数的順序 $\leqが備わっており、$ $x$ $+$ $z$ $=$ $y$ となる $z が$ 存在する場合に $x \leq y$ と定義されます。^[²^]可換モノイド $M$ の順序単位とは、 $M$ の $任意$ の要素 $x$ に対して、 $u$ によって生成される集合内に $x$ $\leq$ $v$ となる $v$ が存在するような $M$ の要素 u のことです。これは、 $M が$ 半順序アーベル群 $G$ の正錐である場合によく使用され、この場合、 $uは$ $G$ の順序単位であると言います。

部分的に可換なモノイド

演算が一部の要素に対しては可換であるが、すべての要素に対しては可換ではないモノイドはトレースモノイドと呼ばれ、トレースモノイドは並行計算の理論でよく見られる。

例

16 種類の二項ブール演算子のうち、4 種類は可換かつ結合法則を満たす両側の恒等演算子を持ちます。これら 4 種類はそれぞれ、集合 ${False, True}$ を可換モノイドにします。標準的な定義では、ANDとXNOR は恒等演算子 $True$ を持ち、XORとORは恒等演算子 $False を$ 持ちます。AND と OR から得られるモノイドは冪等性も持ちますが、XOR と XNOR から得られるモノイドは冪等性を持ちません。
自然数の集合 $N = {0, 1, 2, ...}は、加法（単位元$ $0$ ）または乗法（単位元 $1$ ）に関して可換なモノイドです。加法に関する $N$ の部分モノイドは、数値モノイドと呼ばれます。
正の整数の集合 $N ∖ {0}$ は乗法に関して可換なモノイドである（単位元 $1$ ）。
集合 $Aが与えられたとき、$ $A$ の部分集合の集合は、共通部分に関して可換モノイドである（単位元は $A$ 自身である）。
集合 $Aが与えられたとき、$ $A$ の部分集合の集合は和集合に関して可換モノイドである (単位元は空集合である)。
前の例を一般化すると、すべての有界半束は冪等可換モノイドである。
- 特に、任意の有界束には、交わりモノイド構造と結合モノイド構造の両方を持たせることができる。単位元は、それぞれ束の上と下である。束であるハイティング代数とブール代数は、これらのモノイド構造を備えている。
二項演算 $•$ の下で閉じているすべての単一要素集合 ${x}$ は、自明な (1 要素) モノイドを形成し、それは自明な群でもあります。
すべての群はモノイドであり、すべてのアーベル群は可換モノイドである。
任意の半群S は、 Sに含まれない要素eを隣接させ、すべてのs ∈ Sに対してe • s = s = s • eと定義するだけで、モノイドに変換できます。任意の半群からモノイドへのこの変換は、半群の圏とモノイドの圏の間の自由関手によって行われます。 ^[³^]
- したがって、冪等モノイド（find-firstと呼ばれることもある）は、集合S上の左零半群に単位元eを付加することによって形成できる。反対のモノイド（find-lastと呼ばれることもある）は、 S上の右零半群から形成される。
  - $2つの要素{lt, gt}$ を持つ左零半群に恒等式 $e$ を付加します。すると、結果として得られる冪等モノイド ${lt,$ $e$ $, gt}$ は、要素の順序が与えられたときの数列の辞書式順序をモデル化し、 eは等号を表します。
加算または乗算を演算とする、任意の環の基礎となる集合。（定義により、環は乗法単位元1を持つ。）
- 加算または乗算を演算とする整数、有理数、実数、または複素数。^{[ 4 ]}
- 与えられた環上のすべての $n$ × $n$ 行列の集合で、演算は行列の加算または行列の乗算である。
ある固定アルファベット $Σ上のすべての有限$ 文字列の集合は、文字列連結を演算とするモノイドを形成する。空文字列は単位元となる。このモノイドは $Σ$ $*$ $と表記され、 Σ$ 上の自由モノイドと呼ばれる。Σ $が$ 少なくとも 2 つの要素を持つ場合、このモノイドは可換ではない。
任意のモノイド $M$ に対して、反対のモノイド $M op は$ $M$ と同じキャリア集合と単位元を持ち、その演算は $x • op y = y • x$ で定義されます。任意の可換モノイドは、それ自身の反対モノイドです。
モノイド構造を持つ2 つの集合 $M$ と $N$ (または一般に、任意の有限個のモノイド、 $M 1 、 ...、 M k$ ) が与えられたとき、対応する座標上で定義された二項演算と単位元を持つそれらのデカルト積 $M \times N$ は、直積と呼ばれるモノイドでもあります (それぞれ、 $M 1 \times \cdot\cdot\cdot \times M k$ )。^{[ 5 ]}
モノイド $Mを固定します。与えられた集合から$ $M$ へのすべての関数の集合もまたモノイドです。単位元は、任意の値を $M$ の単位元に写像する定数関数です。結合法則は各要素ごとに定義されます。
演算 $•$ と単位元 $e$ を持つモノイド $M$ を固定し、 $M$ のすべての部分集合からなるその冪集合 $P$ $($ $M$ $)$ を考えます。このような部分集合に対する二項演算は、 $S$ $•$ $T$ $= {$ $s$ $•$ $t$ $:$ $s$ $\in$ $S$ $,$ $t$ $\in$ $T$ $}$ で定義できます。これにより、 $P$ $($ $M$ $)は単位元$ ${$ $e$ $}$ を持つモノイドになります。同様に、群 $G$ の冪集合は、群の部分集合の積に関してモノイドになります。
$S$ を集合とする。S $\to$ $S の$ すべての関数の集合は、関数合成に関してモノイドを形成する。恒等関数は恒等関数である。これは $S$ の完全変換モノイドとも呼ばれる。S が $n個の要素を$ $持つ$ 有限集合である場合、 $S$ 上の関数のモノイドは $n$ $n$ 個の要素を持つ有限集合となる。
前の例を一般化すると、 $C を$ 圏、 $X を$ $C$ の対象とする。Xのすべての自己準同型の集合を $End$ $C$ $($ $X$ $)$ と表すと、射の合成に関してモノイドが形成される。圏論とモノイドの関係については、以下を参照のこと $。$
連結和を持つコンパクト曲面の同相類の集合。その単位元は通常の 2 球面のクラスである。さらに、 $a が$ トーラスのクラスを表し、 $b が$ 射影平面のクラスを表す場合、モノイドのすべての要素c $は$ $、$ $n$ が正の整数で $m$ $= 0、1$ 、または $2$ である $c$ $=$ $na$ $+$ $mb$ の形で一意に表現される。3 $b$ $=$ $a$ $+$ $b$ である。
$⟨ f ⟩$ $を位数n$ の巡回モノイド、すなわち $⟨ f ⟩ = {f 0, f 1, ..., f n -1}$ とする。このとき、 $0 \leq$ $k$ $<$ $n$ を満たす $f n = f k$ が成り立つ。このような $k は$ それぞれ異なる位数 $n$ のモノイドを与え、すべての巡回モノイドはこれらのいずれかと同型である。さらに、 $f は$ 点 ${0, 1, 2, ...,$ $n$ $-1}$ 上の関数として考えることができ、次のように定義される。

${\begin{bmatrix}0&1&2&\cdots &n-2&n-1\\1&2&3&\cdots &n-1&k\end{bmatrix}}$ または同等に $f(i):={\begin{cases}i+1,&{\text{if }}0\leq i<n-1\\k,&{\text{if }}i=n-1.\end{cases}}$

$⟨ f ⟩$ の要素の乗算は、関数合成によって与えられます。

$k = 0$ の場合、関数 $f$ $は{0, 1, 2, ..., n -1}$ の順列であり、位数 $n$ の一意な巡回群を与えます。

物件

モノイドの公理によれば、単位元 $e$ は一意である。なぜなら、 $e$ と $f が$ モノイドの単位元であれば、 $e = ef = f$ となるからである。

製品と機能

$任意の非負整数n$ に対して、積を定義することができる。 $p_{n}=\textstyle \prod _{i=1}^{n}a_{i}$ モノイドの $n$ 個の要素の任意のシーケンス $(a 1, ..., a n)を再帰的に:$ $p$ $0$ $=$ $e$ $とし、 1 \leq$ $m$ $\leq$ $n$ に対して $p$ $m$ $=$ $p$ $m$ $-1$ $•$ $a$ $m$ とする。

特殊なケースとして、モノイドの要素 $xの非負整数乗を定義することができます$ $。x 0 = 1$ および $x n = x n -1 • x ($ $n \geq 1$ の場合)。すると、すべての $m$ $、$ $n$ $\geq 0$ に対して $x m + n = x m • x n$ となります。

可逆要素

要素 $xは、$ $x$ $•$ $y$ $=$ $e$ かつ $y$ $•$ $x$ $=$ $e$ となる要素 $y$ が存在する場合に可逆であると呼ばれる。要素 $yは$ $x$ の逆元と呼ばれる。逆元は存在する場合、一意である。y と z が x の逆元である場合 $、$ $結合$ 法則 $により$ y = $ey$ $=$ $($ $zx$ $)$ $y$ $=$ $z$ $($ $xy$ $)$ $=$ $ze$ $=$ $z と$ なる。^[⁶^]

$x$ が可逆である場合、例えば逆関数が $y$ である場合、各 $n$ $\geq 1に対して$ $x$ $-$ $n$ $=$ $y$ $n$ と設定することで、 $x$ の負のべき乗を定義できます。これにより、すべての $m$ $、$ $n$ $\in$ $Z$ に対して方程式 $x$ $m$ $+$ $n$ $=$ $x$ $m$ $•$ $x$ $n$ が成り立ちます。

モノイド内のすべての可逆要素の集合と演算 • は群を形成します。

グロタンディーク・グループ

すべてのモノイドが群の中に収まるわけではありません。例えば、bが単位元ではないにもかかわらず、a • b = aが成り立つような2つの要素aとbが存在するモノイドはあり $得$ ます $（$ $例えば$ $、$ $非負$ $整数$ $の$ 乗法 $モノイド$ でa = 0、b = 5とします）。このようなモノイドは群に埋め込むことはできません。なぜなら、群では両辺に $aの逆元を掛けると$ $b$ $=$ $e$ となり、これは正しくないからです。

モノイド $(M, •)$ は、 $M$ のすべての $a$ 、 $b$ および $c$ に対して、等式a $•$ $b$ $=$ $a$ $•$ $c$ $が$ b = cを意味し、等式 $b$ $•$ $a$ $=$ $c$ $•$ $aが$ $b$ $=$ $c$ $を$ 意味する $場合$ に、相殺特性 (または相殺可能 $)$ を持つ。

可換で相殺性質を持つモノイドは、グロタンディーク群の構成法によって常に群に埋め込むことができる。整数の加法群（演算 $+を持つ群）は、このようにして自然数の加法モノイド（演算$ $+$ と相殺性質を持つ可換モノイド）から構成される。しかし、非可換で相殺性質を持つモノイドは、必ずしも群に埋め込むことができるとは限らない。

モノイドが相殺性質を持ち、かつ有限である場合、それは実際には群である。^{[ c ]}

モノイドの右消去要素と左消去要素はそれぞれサブモノイドを形成します（つまり、演算に関して閉じており、明らかに単位元を含みます）。これは、任意の可換モノイドの消去要素を群に拡張できることを意味します。

モノイドの消去性はグロタンディーク構成を行うために必須ではなく、可換性で十分です。ただし、可換モノイドが消去性を持たない場合、そのモノイドからグロタンディーク群への準同型写像は単射ではありません。より正確には、 $a • b = a • c$ の場合、b ≠ c であっ $て$ $も$ $、$ $b$ と $c は$ グロタンディーク群において同じ像を持ちます。特に、モノイドが吸収元を持つ場合、そのグロタンディーク群は自明群になります。

モノイドの種類

逆モノイドとは、 $M$ の任意の $aに対して、$ $a$ $=$ $a$ $•$ $a$ $-1$ $•$ $a$ かつ $a$ $-1$ $=$ $a$ $-1$ $•$ $a$ $•$ $a$ $-1$ となるような一意の $a$ $-1が$ $M$ に存在するモノイドのことである。逆モノイドが可約であれば、それは群である。

反対に、ゼロサムフリーモノイドとは、加法的に記述されたモノイドであり、 $a + b = 0は$ $a = 0$ かつ $b = 0$ を意味する。^{[ 7 ]}同等に、ゼロ以外の要素は加法的逆元を持たない。

行為と演算子モノイド

$M を$ モノイドとし、二項演算を • で、 $単位$ 元を $e$ で表す。このとき、(左) $M$ - 作用(または $M$ 上の左作用) は、集合 $X$ と、モノイド構造と互換性のある演算 $\cdot : M \times X \to X$ からなる。

$すべてのx$ ∈ $X$ について: $e \cdot x = x$ ;
$M$ のすべての $a$ 、 $b$ と $X$ のすべての $x$ に対して、 $a$ $\cdot ($ $b$ $\cdot$ $x$ $) = ($ $a$ $•$ $b$ $) \cdot$ $x$ 。

これは、モノイド理論における（左）群作用の類似物です。右 $M$ 作用も同様に定義されます。作用を持つモノイドは、演算子モノイドとも呼ばれます。重要な例としては、半オートマトン遷移系が挙げられます。変換半群は、恒等変換を付加することで演算子モノイドにすることができます。

モノイド準同型

2 つのモノイド $($ $M$ $, *)$ と $($ $N$ $, •)$ の間の準同型写像は、次の条件を満たす関数 $f$ $:$ $M$ $\to$ $Nである。$

$すべてのx$ , $y$ $\in M$ に対してf $($ $x$ $*$ $y$ $)$ $=$ $f$ $($ $x$ $) •$ $f$ $($ $y$ $)$
$f (e M) = e N$ 、

ここで $、e M$ と $e N$ $はそれぞれM$ と $N$ 上の恒等写像です。モノイド準同型写像は、単にモノイド準同型写像と呼ばれることもあります。

モノイド間のすべての半群準同型がモノイド準同型であるとは限りません。なぜなら、その準同型の像の単位元が単位元であっても、単位元をターゲットモノイドの単位元に写像しない場合があるからです。^{[ d ]}例えば、乗法を備えた $n$ を法とする剰余類の集合 $[Z] n$ を考えます。特に、 $[1]$ $n$ は単位元です。関数 $f$ $: [$ $Z$ $]$ $3$ $\to [$ $Z$ $]$ $6$ $は[$ $k$ $]$ $3$ $\mapsto [$ $3k$ $]$ $6$ で与えられ、半群準同型です。なぜなら、 $[$ $3k$ $\cdot$ $3l$ $]$ $6$ $= [$ $9kl$ $]$ $6$ $= [$ $3kl$ $]$ $6$ だからです。しかし、 $f$ $([1]$ $3$ $) = [3]$ $6$ $\neq [1]$ $6$ なので、モノイド準同型は、最初のモノイドの単位元を 2 番目のモノイドの単位元に写像するモノイド間の半群準同型であり、後者の条件は省略できません。

対照的に、群間の半群準同型写像は常に群準同型写像であり、それは必然的に単位元を保存する（準同型写像のターゲット群では、単位元は $x$ $\cdot$ $x$ $=$ $x$ となる唯一の要素 $x$ であるため）。

全単射なモノイド準同型写像は、モノイド同型写像と呼ばれる。2つのモノイドは、それらの間にモノイド同型写像が存在する場合に同型であると言われる。

方程式による表現

モノイドには、群が群表現によって指定されるのとほぼ同じように、表現を与えることができます。これは、生成元集合 $Σと、$ 自由モノイド $Σ$ $*$ 上の関係の集合を指定することによって行います。具体的には、 $Σ$ $*$ 上の（有限）二項関係をモノイド合同式に拡張し、上記のように商モノイドを構成します。

二項関係 $R$ $\subset$ $Σ$ $*$ $\times Σ$ $*$ が与えられたとき、その対称閉包を $R \cup R -1と定義する。これは$ $、$ $x$ $~$ $E$ $yを、( u , v$ $)$ ∈ R $\cup$ R −1を満たす文字列 $u$ $,$ $v$ $,$ $s$ $,$ $t$ $\in Σ$ $*$ に対して $x$ $=$ $sut$ かつ $y$ $=$ $svt$ $で$ ある場合に限り定義することにより、 $対称関係$ $E \subset Σ *$ $\times$ $Σ$ $*に$ $拡張$ $できる。最後に、$ $E$ の反射閉包と推移閉包を取ると $、$ それはモノイド合同となる $。$

典型的な状況では、関係 $R$ は単純に方程式の集合として与えられ、 $R = {u 1 = v 1, ..., u n = v n}$ となります。したがって、例えば、

\langle p,q\,\vert \;pq=1\rangle

は二環式モノイドの等式表現であり、

\langle a,b\,\vert \;aba=baa,bba=bab\rangle

は次数 $2の$ プラクティックモノイド（無限位数を持つ）である。このプラクティックモノイドの要素は次のように表すことができる。 $a^{i}b^{j}(ba)^{k}$ 整数 $i$ 、 $j$ 、 $k$ に対して、関係式から $ba は$ $a$ と $b$ の両方と可換であることがわかります。

圏論との関連性

モノイドは、特別なカテゴリーと見なすことができる。実際、モノイド演算に必要な公理は、ソースとターゲットが与えられた対象であるすべての射の集合に制限した場合の射合成に必要な公理と全く同じである。^{[ 8 ]}つまり、

モノイドとは、本質的には単一の対象を持つ圏と同じものである。

より正確には、モノイド $(M, •)が与えられたとき、対象が 1 つだけで、射が$ $M$ の要素である小さな圏を構成できます。射の合成は、モノイド演算 $•$ によって与えられます。

同様に、モノイド準同型は単一対象圏間の関手である。 ^{[ 8 ]} したがって、この構成により、(小さな)モノイドの圏Monと (小さな)圏の圏Catの完全部分圏との間に同値性が得られる。同様に、群の圏はCatの別の完全部分圏と同値である。

この意味で、圏論はモノイドの概念の拡張と考えることができる。モノイドに関する多くの定義や定理は、複数の対象を持つ小さな圏にも一般化できる。例えば、対象が1つの圏の商圏は、商モノイドに他ならない。

モノイドは、他の代数構造と同様に、独自の圏Monを形成し、その対象はモノイドであり、射はモノイド準同型である。^{[ 8 ]}

また、モノイドオブジェクトという概念もあり、これはある圏におけるモノイドとは何かを抽象的に定義したものです。集合におけるモノイドオブジェクトは、単にモノイドです。

コンピュータサイエンスにおけるモノイド

コンピュータサイエンスにおいて、多くの抽象データ型はモノイド構造を持つことができます。一般的なパターンでは、モノイドの要素のシーケンスを「折り畳む」または「累積する」ことで最終値を生成します。例えば、多くの反復アルゴリズムでは、各反復で何らかの「累計値」を更新する必要があります。このパターンは、モノイド演算によって簡潔に表現できます。また、モノイド演算の結合性により、プレフィックス和などのアルゴリズムを用いて演算を並列化し、複数のコアやプロセッサを効率的に利用することが可能になります。

単位元 $ε$ と結合法則 $•を持つ型$ $M$ の値のシーケンスが与えられた場合、折り畳み演算は次のように定義されます。 $\mathrm {fold} :M^{*}\rightarrow M=\ell \mapsto {\begin{cases}\varepsilon &{\text{if }}\ell =\mathrm {nil} \\m\bullet \mathrm {fold} \,\ell '&{\text{if }}\ell =\mathrm {cons} \,m\,\ell '\end{cases}}$

さらに、要素のシリアル化が与えられれば、あらゆるデータ構造を同様の方法で「折り畳む」ことができます。例えば、二分木を「折り畳む」結果は、前順走査と後順走査によって異なる場合があります。

MapReduce

コンピュータサイエンスにおけるモノイドの応用例として、いわゆるMapReduceプログラミングモデルがあります（「左折り畳み付きモノイドとしてのMapReduceの符号化」を参照）。コンピューティングにおけるMapReduceは、2つまたは3つの操作から構成されます。データセットが与えられた場合、「Map」は任意のデータを特定のモノイドの要素にマッピングします。「Reduce」はそれらの要素を折り畳み、最終的に1つの要素を生成する操作です。

例えば、マルチセットがある場合、プログラムでは要素からその数値へのマップとして表現されます。この場合、要素はキーと呼ばれます。異なるキーの数が多すぎる場合、マルチセットはシャーディングされます。リダクションを適切に完了するために、「シャッフル」ステージでは、ノード間でデータを再グループ化します。このステップが不要な場合、Map/Reduce 全体はマッピングとリダクションで構成されます。どちらの操作も並列化可能で、前者は要素ごとの性質により、後者はモノイドの結合性により並列化可能です。

完全モノイド

完全モノイドとは、無限和演算を備えた可換モノイドのことである。 $\Sigma _{I}$ 任意のインデックス集合 $I$ に対して^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}^{[ 12 ]} $\sum _{i\in \emptyset }{m_{i}}=0;\quad \sum _{i\in \{j\}}{m_{i}}=m_{j};\quad \sum _{i\in \{j,k\}}{m_{i}}=m_{j}+m_{k}\quad {\text{ for }}j\neq k$ そして $\sum _{j\in J}{\sum _{i\in I_{j}}{m_{i}}}=\sum _{i\in I}m_{i}\quad {\text{ if }}\bigcup _{j\in J}I_{j}=I{\text{ and }}I_{j}\cap I_{j'}=\emptyset \quad {\text{ for }}j\neq j'$ 。

順序付き可換モノイドとは、可換モノイド $M$ と部分順序 $\leq が$ 組み合わさったもので、すべての $a$ $\in$ $M$ に対して $a \geq 0$ であり、すべての $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ $\in$ $M$ に対して $a$ $\leq$ $bならば$ $a$ $+$ $c$ $\leq$ $b$ $+$ $c$ が成り立つ。

連続モノイドとは、順序付き可換モノイド $(M, \leq)$ であり、すべての有向部分集合に最小上界が存在し、これらの最小上界がモノイド演算と互換性があるものです。 $a+\sup S=\sup(a+S)$ $すべてのa \in M$ および $M$ の有向部分集合 $S$ に対して。

$(M, \leq)$ が連続モノイドである場合、任意のインデックス集合 $I$ と要素の集合 $(a i) i \in I$ に対して、次のように定義できます。 $\sum _{I}a_{i}=\sup _{{\text{finite }}E\subset I}\;\sum _{E}a_{i},$ そして、 $M$ とこの無限和演算は完全なモノイドである。^{[ 12 ]}

注記

↑ $e$ $1$ と $e$ $2$ の両方が上記の式を満たす場合 $、 e$ $1$ $=$ $e$ $1$ $•$ $e$ $2$ $=$ $e$ $2$ となります。
↑一部の著者は、サブモノイドが単位元を含まなければならないという要件を定義から除外し、単位元を持つことだけを要求しており、その単位元は $M$ の単位元とは異なる場合がある。
↑証明:モノイド内の要素 $x$ を固定します。モノイドは有限なので、ある $m$ $>$ $n$ $> 0に対して$ $x n = x m が$ $成り立ちます。しかし、消去法により、 x$ $m$ $-$ $n$ $=$ $e$ となりますここで $e$ は単位元です。したがって、 $x$ $•$ $x$ $m$ $-$ $n$ $-1$ $=$ $e$ となり、 $x$ は逆元を持ちます。
↑ $f (x) * f (e M) = f (x * e M) = f (x)$ は $、 f が$ 半群準同型であり、 $e$ $M$ $がその領域モノイドM$ の単位元である場合、 $M$ の $各x$ に対して成り立ちます。

引用文献

↑ジェイコブソン 2009
↑ゴンドランとミヌー、2008 年、p. 13
↑ Rhodes & Steinberg 2009、p. 22
↑ Jacobson 2009、p. 29、例1、2、4、5
↑ジェイコブソン 2009、35ページ
↑ジェイコブソン 2009、31ページ、§1.2
↑ヴェールング 1996
1 2 3 Awodey 2006、p. 10
↑ドロステ&クイヒ 2009 、 7–10ページ
↑ヘビッシュ 1992
↑クイッチ 1990
1 2 Kuich 2011。

参考文献

アウォディ、スティーブ（2006）。『圏論』オックスフォード論理ガイド第 49巻。オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-856861-4. Zbl 1100.18001 .
Droste, M.; Kuich, W (2009)、「セミリングと形式的冪級数」、重み付きオートマタハンドブック、理論計算機科学モノグラフ。EATCSシリーズ、pp. 3–28、CiteSeerX 10.1.1.304.6152、doi : 10.1007/978-3-642-01492-5_1、ISBN 978-3-642-01491-8
ゴンドラン、ミシェル；ミヌー、ミシェル（2008）。グラフ、ディオイド、セミリング：新しいモデルとアルゴリズム。オペレーションズリサーチ／コンピュータサイエンスインターフェースシリーズ。第 41巻。ドルトレヒト：シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 978-0-387-75450-5. Zbl 1201.16038 .
Hebisch、Udo (1992)。「Eine algebraische Theorie unendlicher Summen mit Anwendungen auf Halbgruppen und Halbringe」。Bayreuther Mathematische Schriften (ドイツ語)。40 : 21–152 . Zbl 0747.08005。
Howie, John M. (1995), 『半群理論の基礎』、ロンドン数学会モノグラフ新シリーズ、第 12巻、オックスフォード：クラレンドン・プレス、ISBN 0-19-851194-9、Zbl 0835.20077
ジェイコブソン、ネイサン（1951）、『抽象代数学講義』第1巻、D.ヴァン・ノストランド社、ISBN 0-387-90122-1{{citation}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）
ジェイコブソン、ネイサン（2009）、『基礎代数学』第1巻（第2 版）、ドーバー出版、ISBN 978-0-486-47189-1
Kilp, Mati; Knauer, Ulrich; Mikhalev, Alexander V. (2000), Monoids, acts and categories. With applications to wreath products and graphs. A handbook for students and researchers , de Gruyter Expositions in Mathematics, vol. 29, Berlin: Walter de Gruyter, ISBN 3-11-015248-7、Zbl 0945.20036
Kuich, Werner (1990). 「ω連続半環、代数系、プッシュダウンオートマトン」 . Paterson, Michael S. (編)『オートマトン、言語、プログラミング：第17回国際コロキウム、ウォーリック大学、イギリス、1990年7月16日～20日、議事録』 . Lecture Notes in Computer Science. Vol. 443. Springer-Verlag . pp. 103–110 . ISBN 3-540-52826-1。
Kuich, Werner (2011). 「代数システムとプッシュダウンオートマタ」。Kuich, Werner (編)『コンピュータサイエンスにおける代数的基礎： Symeon Bozapalidis氏の退職記念論文集』所収。Lecture Notes in Computer Science、第 7020巻。ベルリン：Springer-Verlag、pp. 228–256。ISBN 978-3-642-24896-2. Zbl 1251.68135 .
Lothaire, M.編 (1997)、「単語の組み合わせ論」、数学とその応用百科事典、第 17 巻 (第 2 版)、ケンブリッジ大学出版局、doi : 10.1017/CBO9780511566097、ISBN 0-521-59924-5MR 1475463、Zbl 0874.20040
Rhodes, John; Steinberg, Benjamin (2009)『有限半群のq理論：新しいアプローチ』、Springer Monographs in Mathematics、第 71巻、Springer、ISBN 9780387097817
ヴェールング、フリードリヒ (1996)。「補間を伴う構造のテンソル積」。パシフィック・ジャーナル・オブ・マセマティクス。176 (1): 267–285。doi : 10.2140 / pjm.1996.176.267。S2CID 56410568。Zbl 0865.06010。

外部リンク

「モノイド」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
ワイススタイン、エリック W. 「モノイド」 . MathWorld .
PlanetMathのMonoid 。

[1] $e$ $1$ と $e$ $2$ の両方が上記の式を満たす場合 $、 e$ $1$ $=$ $e$ $1$ $•$ $e$ $2$ $=$ $e$ $2$ となります。

[3] 一部の著者は、サブモノイドが単位元を含まなければならないという要件を定義から除外し、単位元を持つことだけを要求しており、その単位元は $M$ の単位元とは異なる場合がある。

[9] 証明:モノイド内の要素 $x$ を固定します。モノイドは有限なので、ある $m$ $>$ $n$ $> 0に対して$ $x n = x m が$ $成り立ちます。しかし、消去法により、 x$ $m$ $-$ $n$ $=$ $e$ となりますここで $e$ は単位元です。したがって、 $x$ $•$ $x$ $m$ $-$ $n$ $-1$ $=$ $e$ となり、 $x$ は逆元を持ちます。

[11] $f (x) * f (e M) = f (x * e M) = f (x)$ は $、 f が$ 半群準同型であり、 $e$ $M$ $がその領域モノイドM$ の単位元である場合、 $M$ の $各x$ に対して成り立ちます。

[FOOTNOTEJacobson2009-2] ジェイコブソン 2009

[FOOTNOTEGondranMinoux200813-4] ゴンドランとミヌー、2008 年、p. 13

[FOOTNOTERhodesSteinberg2009[httpsbooksgooglecombooksid8L0QIEj0PI4CpgPA22_22]-5] Rhodes & Steinberg 2009、p. 22

[FOOTNOTEJacobson200929examples_1,_2,_4_&_5-6] Jacobson 2009、p. 29、例1、2、4、5

[FOOTNOTEJacobson200935-7] ジェイコブソン 2009、35ページ

[FOOTNOTEJacobson200931§1.2-8] ジェイコブソン 2009、31ページ、§1.2

[FOOTNOTEWehrung1996-10] ヴェールング 1996

[FOOTNOTEAwodey200610-12] 1 2 3 Awodey 2006、p. 10

[FOOTNOTEDrosteKuich20097–10-13] ドロステ&クイヒ 2009 、 7–10ページ

[FOOTNOTEHebisch1992-14] ヘビッシュ 1992

[FOOTNOTEKuich1990-15] クイッチ 1990

[FOOTNOTEKuich2011-16] 1 2 Kuich 2011。

[

]

]

[

[

[ 4 ]

[ 5 ]

[

[ c ]

[ 7 ]

[ d ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]