拡張自然数

数学において、拡張自然数は、値と(無限大)を含む集合です。つまり、自然数に最大元を加えた結果です。加算と乗算は有限値に対して通常どおり機能し、 に対して規則( )、およびによって拡張されます。 ${\displaystyle 0,1,2,\dots }$${\displaystyle \infty}$ ${\displaystyle \infty}$${\displaystyle n+\infty =\infty +n=\infty }$${\displaystyle n\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}}$${\displaystyle 0\times \infty =\infty \times 0=0}$${\displaystyle m\times \infty =\infty \times m=\infty }$${\displaystyle m\neq 0}$

加法と乗法により、は半環となるが、加法逆元がないので環にはならない。^[1]集合は、 、 、またはで表すことができる。^{[2] [3] [4]}これは、とを加えて実数を拡張する拡張実数直線の部分集合である。^[2]${\displaystyle \mathbb {N} \cup \{\infty \}}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {N} }}}$${\displaystyle \mathbb {N} _{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {N} ^{\infty }}$${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle +\infty}$

グラフ理論では、拡張自然数はグラフの距離を定義するために使用され、 2つの接続されていない頂点間の距離が定義されます。 ^{[2]これらは、}最大フロー最小カット定理などのいくつかの結果を無限グラフに拡張することを示すために使用できます。 ^[5]${\displaystyle \infty}$

位相幾何学において、拡張された自然数への右作用のトポスは射影代数のカテゴリPROである。^[4]

構成的数学において、拡張された自然数は自然数の1点コンパクト化であり、非増加2進数列の集合、すなわち となるものを生成します。数列はを表し、数列はを表します。これはの撤回であり、全知の限定原理を暗示する主張です。^[3]${\displaystyle \mathbb {N} _{\infty }}$ ${\displaystyle (x_{0},x_{1},\dots )\in 2^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle \forall i\in \mathbb {N} :x_{i}\geq x_{i+1}}$${\displaystyle 1^{n}0^{\omega }}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1^{\omega}}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle \mathbb {N} \cup \{\infty \}\subseteq \mathbb {N} _{\infty }}$

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• nラボでの拡張自然数