吸収要素

数学において、吸収元（または消滅元）とは、集合の二項演算に関して集合の特別な種類の元である。吸収元を集合の任意の元と組み合わせると、その吸収元自体が得られる。半群論では、吸収元は零元^{と呼ばれる[1] [2]。これは、}他の零の概念と混同する恐れがないからである。ただし、注目すべき例外として、加法表記では零は当然モノイドの中立元を表す場合がある。この記事では、「零元」と「吸収元」は同義語である。

正式には、( S , •) を、閉二項演算 • （マグマと呼ばれる）を持つ集合Sとします。ゼロ元（または吸収/消滅元）とは、 S内のすべてのsに対して、z • s = s • z = zとなる元zです。この概念は、 z • s = z のみを必要とする左ゼロと、 s • z = zとなる右ゼロの概念に洗練することができます。^[2]

吸収元は半群、特に半環の乗法半群にとって特に興味深い。0 を含む半環の場合、吸収元の定義が緩和され、0 を吸収する必要がなくなることがある。そうでない場合、0 が唯一の吸収元となる。^[3]

• マグマに左ゼロzと右ゼロz ′ の両方がある場合、 z = z • z ′ = z ′であるため、ゼロが存在します。
• マグマには最大で 1 つのゼロ要素を含めることができます。

• 吸収要素の最もよく知られた例は、初等代数学から来ており、任意の数をゼロに掛けるとゼロになります。したがって、ゼロは吸収要素です。
• 任意の環の零点は吸収元でもある。環Rの元rについては、r 0 = r (0 + 0) = r 0 + r 0であり、したがって0 = r 0である。零点は環Rの任意のrに対してr − r = aとなる唯一の元aだからである。この特性はrngでも成り立つ。乗法単位元は必要ではないからである。
• IEEE-754 標準で定義されている浮動小数点演算には、非数 ("NaN") と呼ばれる特殊な値が含まれます。これは、すべての演算の吸収要素です。つまり、x + NaN = NaN + x = NaN、x − NaN = NaN − x = NaNなどです。
• 集合X上の二項関係の集合は、関係の合成とともに、ゼロを持つモノイドを形成します。ここで、ゼロ要素は空関係(空集合) です。
• x • y = min( x , y )となる閉区間H = [0, 1]も零点モノイドであり、零元は0である。
• その他の例:

• 吸収セット – 任意のポイントに到達するために「膨らませる」ことができるセット
• アナイアレイター（曖昧さ回避）
• 消滅器（環理論）  - モジュールのサブセットをゼロに写像するイデアル
• 冪等性（環論） - 数学において、その平方に等しい元、つまり環の元xがx ² = xとなるような 元x
• 単位元 – 代数構造の特定の要素
• ヌル半群 - 吸収元を持つ半群。ゼロと呼ばれる。任意の2つの元の積はゼロになる。フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ

• ハウィー、ジョン・M（1995）。半群論の基礎。クラレンドン・プレス。ISBN 0-19-851194-9。
• キルプ、M.クナウアー、U. Mikhalev、AV (2000)、「モノイド、アクト、カテゴリーとリース積およびグラフへの応用」、De Gruyter Expositions in Mathematics、29、Walter de Gruyter、ISBN 3-11-015248-7
• ゴラン、ジョナサン S. (1999)。半環とその応用。シュプリンガー。ISBN 0-7923-5786-8。

• PlanetMath の吸収要素