小カテゴリのカテゴリ

数学、特に圏論において、小圏の圏（こくかくのくう）はCatと表記され、その対象がすべて小圏であり、その射が圏間の関手である圏である。 Cat は実際には、自然変換が2射として機能する2 圏とみなすことができる。

Catの初期オブジェクトは空カテゴリ0であり、これはオブジェクトも射もないカテゴリです。^[1]終端オブジェクトは、単一のオブジェクトと射を持つ終端カテゴリまたは自明なカテゴリ1です。 ^[2]

カテゴリCat自体は大きなカテゴリであるため、それ自体はオブジェクトではありません。ラッセルのパラドックスに類似した問題を回避するために、 「すべてのカテゴリのカテゴリ」を形成することはできません。ただし、すべてのカテゴリの準カテゴリ(つまり、オブジェクトと射が単に集合体を形成する) を形成することは可能です。

カテゴリCat には、矢筒カテゴリQuivへの忘却関手 Uがあります。

U  :猫→クイヴ

この関手は与えられたカテゴリの恒等射を忘れ、また射の合成も忘れる。この関手の左随伴関数はQuiv を対応する自由カテゴリに導く関手 Fである:

F  :クイヴ→猫

• Cat にはすべての小さな極限と余極限があります。
• Cat は、関数カテゴリによって与えられる指数を持つ、デカルトの閉カテゴリです。 ${\displaystyle D^{C}}$ ${\displaystyle \mathrm {Fun} (C,D)}$
• Cat は局所的に直交座標系で閉じていません。
• 猫は局所的に有限に表現可能です。

• カテゴリーの神経
• 普遍集合、「すべての集合の集合」という概念

• 柏原正樹、シャピラ、ピエール(2006)。カテゴリーと層。

• nラボの猫