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集合論においては、自然数を構成するためのいくつかの方法が提案されてきた。これらには、公理的集合論で一般的に用いられるフォン・ノイマン順序数による表現や、ゴットロープ・フレーゲとバートランド・ラッセルによって提案された等数性に基づく体系などが含まれる。
ツェルメロ・フレンケル（ZF）集合論では、自然数は、0 = {}を空集合とし、各nに対してn + 1（後継関数）= n ∪ { n }とすることで再帰的に定義されます。このようにして、各自然数nに対してn = {0, 1, …, n − 1}となります。この定義は、 nがn個の要素を持つ集合であるという性質を持ちます。このように定義された最初のいくつかの数は次のとおりです。（Goldrei 1996 ）
この体系では、自然数の集合Nは、0 を含み、 S ( n ) = n ∪ { n }で定義される後継関数Sの下で閉じている最小の集合として定義されます。構造⟨ N , 0, S ⟩は、ペアノ公理のモデルです( Goldrei 1996 )。集合Nの存在は、ZF 集合論における無限公理と同等です。
このように構成された集合Nとその要素は、フォン・ ノイマン順序数の初期部分である。WVOクワインはこれらの集合を「カウンター集合」と呼んでいる。[ 1 ]
ゴットロープ・フレーゲとバートランド・ラッセルはそれぞれ、自然数n をn個の要素を持つすべての集合の集合として定義することを提案した。より厳密には、自然数は等数性という同値関係の下での有限集合の同値類である。この定義は循環論法のように見えるかもしれないが、そうではない。なぜなら、等数性は別の方法で定義できるからである。例えば、2 つの集合が1 対 1 の対応関係に置ける場合、それらは等数であると言うことができる。これはヒュームの原理として知られることもある。
この定義は型理論、および型理論から派生した集合論（新基礎論や関連システムなど）では有効です。しかし、公理的集合論ZFCや特定の関連システムでは有効ではありません。なぜなら、そのようなシステムでは、等数性に基づく同値類は集合ではなく真のクラスだからです。ただし、スコットのトリックを使えば、ZFでも基数を定義することができます。
自然数が集合を形成できるようにするため、同数のクラスは基数と呼ばれる特別な集合に置き換えられます。基数を導入する最も簡単な方法は、ZF集合論（選択公理なし）に原始概念Card()と基数公理を追加することです。[ 2 ]
濃度公理：集合AとBが同数であるのは、Card(A) = Card(B)である場合に限る。
定義：集合 A と B が互いに素であるとき、K = Card(A) および L = Card(B) のような基数 K と L の和は Card (A ∪ B) である。
有限集合の定義は自然数とは独立して与えられます: [ 3 ]
定義：集合が有限であるのは、その部分集合の空でない族が包含順序の最小要素を持つ場合に限る。
定義：基数 n が自然数であるのは、基数が n であるような有限集合が存在する場合に限る。
0 = カード (∅)
1 = カード({A}) = カード({∅})
定義：基数 K の後継数は基数 K + 1 である。
定理：自然数はペアノの公理を満たす
ウィリアム・S・ハッチャー（1982）は、ZFCや圏論を含むいくつかの基礎体系、およびフレーゲの『算術の基本法』体系から、現代的な記法と自然演繹を用いてペアノの公理を導出した。ラッセルのパラドックスはこの体系の矛盾を証明したが、ジョージ・ブーロス（1998）とデイビッド・J・アンダーソンおよびエドワード・ザルタ（2004）は、その修正方法を示した。
