分配カテゴリー

数学 において、ある圏が分配的であるとは、有限積と有限余積を持ち、かつ、任意の対象の選択に対して、となるようなものであることを意味する。${\displaystyle A,B,C}$正準マップ

${\displaystyle [{\mathit {id}}_{A}\times \iota _{1},{\mathit {id}}_{A}\times \iota _{2}]:A\!\times \!B\,+A\!\times \!C\to A\!\times \!(B+C)}$

は同型写像であり、すべてのオブジェクトに対して${\displaystyle A}$正準マップ${\displaystyle 0\to A\times 0}$は同型写像である（0は初期オブジェクトを表す）。同等に、すべてのオブジェクトに対して${\displaystyle A}$エンドファンクター${\displaystyle A\times -}$定義される${\displaystyle B\mapsto A\times B}$同型写像までの副産物を保存する${\displaystyle f}$^{[ 1 ]}したがって、${\displaystyle f}$また、前述の標準マップは、オブジェクトの選択肢ごとに等しい。

特に、ファンクターが${\displaystyle A\times -}$右随伴圏を持つ（つまり、圏がデカルト閉圏である場合）、必然的にすべての余極限を保存するので、有限余積を持つ任意のデカルト閉圏（つまり、任意の双デカルト閉圏）は分配的である。

集合のカテゴリーは分配法則を満たす。A 、B、Cを集合とする。すると

${\displaystyle {\begin{aligned}A\times (B\amalg C)&=\{(a,d)\mid a\in A{\text{ and }}d\in B\amalg C\}\\&\cong \{(a,d)\mid a\in A{\text{ and }}d\in B\}\amalg \{(a,d)\mid a\in A{\text{ and }}d\in C\}\\&=(A\times B)\amalg (A\times C)\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle \amalg }$は集合における余積、すなわち互いに素な和集合を表し、${\displaystyle \cong }$は全単射を表します。A 、B、Cが有限集合の場合、この結果は分配法則を反映しています。上記の集合はそれぞれ濃度を持ちます。${\displaystyle |A|\cdot (|B|+|C|)=|A|\cdot |B|+|A|\cdot |C|}$。

GrpとAbというカテゴリーは、製品と副産物の両方を含んでいるにもかかわらず、分配的ではありません。

積と余積の両方を持つが分配法則を満たさないさらに単純なカテゴリーは、有向集合のカテゴリーである。^{[ 2 ]}