ポンテコルボ～牧～中川～酒田の行列

素粒子物理学において、ポンテコルボ・牧・中川・坂田行列（PMNS行列）、牧・中川・坂田行列（MNS行列）、レプトン混合行列、あるいはニュートリノ混合行列は、ニュートリノが自由に伝播するときと弱い相互作用に参加するときの量子状態の不一致に関する情報を含むユニタリ^[a] 混合行列である。これはニュートリノ振動のモデルである。この行列は、ブルーノ・ポンテコルボ^[2] によって予測されたニュートリノ振動を説明するために、1962年に牧次郎、中川正己、坂田正一[1]によって導入された^。

素粒子物理学の標準モデルには、ニュートリノの 3 つの世代または「フレーバー」、、、およびが含まれており、それぞれ に、荷電カレント の 弱い相互作用でパートナーとなる荷電レプトンを示す下付き文字が付けられています。弱い相互作用のこれら 3 つの固有状態は、標準モデルのニュートリノの完全な正規直交基底を形成します。同様に、ニュートリノの自由粒子ハミルトニアンを対角化する、確定質量の 3 つのニュートリノ状態、、、およびから固有基底を構築できます。ニュートリノ振動の観測により、ニュートリノの場合もクォークの場合と同様に、これら 2 つの固有基底は異なること、つまり互いに対して「回転」していることが実験的に確立されました。 ${\displaystyle \nu _{\mathrm {e} }}$${\displaystyle \nu _{\mu }}$${\displaystyle \nu _{\tau }}$${\displaystyle \nu _{1}}$${\displaystyle \nu _{2}}$${\displaystyle \nu _{3}}$

その結果、各フレーバー固有状態は、「重ね合わせ」と呼ばれる質量固有状態の組み合わせとして記述することができ、逆もまた同様です。フレーバー「e」、「μ」、「τ 」に関して質量固有状態の振幅に対応するコンポーネントを持つ PMNS 行列は、2 つの基底間のユニタリ変換をパラメータ化します。 ${\displaystyle U_{\alpha \,i}}$${\displaystyle \,i=1,2,3\;}$${\displaystyle ~\alpha =\;}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}~\nu _{\mathrm {e} }\\~\nu _{\mu }\\~\nu _{\tau }~\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}~U_{\mathrm {e} 1}~&~U_{\mathrm {e} 2}~&~U_{\mathrm {e} 3}\\~U_{\mu 1}&~U_{\mu 2}~&~U_{\mu 3}\\~U_{\tau 1}~&~U_{\tau 2}~&~U_{\tau 3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}~\nu _{1}\\~\nu _{2}\\~\nu _{3}~\end{bmatrix}}~.}$

左側のベクトルは、フレーバー固有状態基底で表現された一般的なニュートリノを表し、右側は、同じニュートリノを質量固有状態基底で表すベクトルに掛け合わせた PMNS 行列です。したがって、特定のフレーバーのニュートリノは、異なる質量を持つニュートリノの「混合」状態です。つまり、そのニュートリノの質量を直接測定できれば、確率 で質量があることがわかります。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle \left|U_{\alpha \,i}\right|^{2}}$

反ニュートリノのPMNS行列は、CPT対称性のもとでのニュートリノの行列と同一です。

ニュートリノの検出は難しいため、クォークの等価行列（CKM行列）よりも個々の係数を決定するのがはるかに困難です。

標準モデルでは、PMNS 行列はユニタリです。これは、同じ開始点を与えられた異なる可能性のあるイベントの確率を表す各行と各列の値の二乗の合計が 100% になることを意味します。

最も単純なケースでは、標準モデルは、3 つのニュートリノ質量固有値の間を振動するディラック質量を持つ 3 つのニュートリノ世代を想定しており、これはそのパラメータの最適な値が計算されるときに行われる仮定です。

他のモデルでは、PMNS 行列は必ずしもユニタリではなく、シーソーモデルなどのニュートリノ振動と質量生成の他のモデル、および一般にディラック質量ではなくマヨラナ質量を持つニュートリノの場合には、すべての可能なニュートリノ混合パラメータを記述するために追加のパラメータが必要です。

PMNS 行列の単純な拡張では、ニュートリノの質量の特性に関係なく、3 種類以上のニュートリノが存在する場合、追加の質量パラメータと混合角も存在します。2014 年 7 月現在、ニュートリノ振動を研究している科学者は、実験的ニュートリノ振動データを、4 つ目の軽い「不活性」ニュートリノと 4 つの質量固有値を持つ拡張 PMNS 行列に適合させることを積極的に検討していますが、現在の実験データではその可能性は低いようです。^{[3] [4] [5]}

一般に、任意の 3 x 3 のユニタリ行列には 9 つの自由度があります。ただし、PMNS 行列の場合、これらの実パラメータのうち 5 つはレプトン場の位相として吸収されるため、PMNS 行列は 4 つの自由パラメータで完全に記述できます。^[6] PMNS 行列は、3 つの混合角 ( 、、) と、電荷パリティ違反(つまり、反対の開始点を持つ 2 つの状態間の振動率の差。これにより、イベントの発生順序を時間の経過に従って予測する必要が生じる) に関連する と呼ばれる単一の位相角によって最も一般的にパラメータ化されます。この場合、行列は次のように記述できます。 ${\displaystyle \theta _{12}}$${\displaystyle \theta _{23}}$${\displaystyle \theta _{13}}$${\displaystyle \delta _{\mathrm {CP} }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&c_{23}&s_{23}\\0&-s_{23}&c_{23}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{13}&0&s_{13}e^{-i\delta _{\mathrm {CP} }}\\0&1&0\\-s_{13}e^{i\delta _{\mathrm {CP} }}&0&c_{13}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{12}&s_{12}&0\\-s_{12}&c_{12}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}c_{12}c_{13}&s_{12}c_{13}&s_{13}e^{-i\delta _{\mathrm {CP} }}\\-s_{12}c_{23}-c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta _{\mathrm {CP} }}&c_{12}c_{23}-s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta _{\mathrm {CP} }}&s_{23}c_{13}\\s_{12}s_{23}-c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta _{\mathrm {CP} }}&-c_{12}s_{23}-s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta _{\mathrm {CP} }}&c_{23}c_{13}\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$

ここで、 と はそれぞれ、 とを表すために使用されます。マヨラナニュートリノの場合、条件 によりマヨラナ場の位相を自由に再定義できないため、2 つの追加の複素位相が必要になります。可能なパラメータ化は無限に存在します。もう 1 つの一般的な例として、 Wolfenstein パラメータ化があります。 ${\displaystyle s_{ij}}$${\displaystyle c_{ij}}$${\displaystyle \sin \theta _{ij}}$${\displaystyle \cos \theta _{ij}}$${\displaystyle \nu =\nu ^{c}~}$

混合角はさまざまな実験によって測定されています (説明についてはニュートリノ混合を参照してください)。CP 非保存位相は直接測定されていませんが、他の測定値を使用して近似することで推定値を得ることができます。 ${\displaystyle \delta _{\mathrm {CP} }}$

2022年11月現在、Nu-FIT.orgの直接測定と間接測定による現在の最適値は、正規順序付けで次のとおりです。^[7] 2024年9月のデータについては、NuFIT6を参照してください^。[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{12}&={33.41^{\circ }}_{-0.72^{\circ }}^{+0.75^{\circ }}\\\theta _{23}&={49.1^{\circ }}_{-1.3^{\circ }}^{+1.0^{\circ }}\\\theta _{13}&={8.54^{\circ }}_{-0.12^{\circ }}^{+0.11^{\circ }}\\\delta _{\textrm {CP}}&={197^{\circ }}_{-25^{\circ }}^{+42^{\circ }}\\\end{aligned}}}$

2022年11月現在、 行列の要素の大きさの3σ範囲（99.7％の信頼度）は次のとおりです。[ ^7]

${\displaystyle |U|={\begin{bmatrix}~|U_{\mathrm {e} 1}|~&|U_{\mathrm {e} 2}|~&|U_{\mathrm {e} 3}|\\~|U_{\mu 1}|~&|U_{\mu 2}|~&|U_{\mu 3}|\\~|U_{\tau 1}|~&|U_{\tau 2}|~&|U_{\tau 3}|~\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{rrr}~0.803\sim 0.845~~&0.514\sim 0.578~~&0.142\sim 0.155~\\~0.233\sim 0.505~~&0.460\sim 0.693~~&0.630\sim 0.779~\\~0.262\sim 0.525~~&0.473\sim 0.702~~&0.610\sim 0.762~\end{array}}\right]}$

最適なパラメータ値に関する注意事項

• これらの最適値は、CKM行列内のクォークフレーバー間の混合よりもニュートリノ混合の方がはるかに多いことを示唆している（CKM行列では、対応する混合角は${\displaystyle \theta _{12}=\,}$13.04° ± 0.05°、 ${\displaystyle \theta _{23}=\,}$2.38° ± 0.06°、 ${\displaystyle \theta _{13}=\,}$0.201° ± 0.011° ）。
• これらの値は、 5 標準偏差を超える統計的有意性で、三重最大ニュートリノ混合(すなわち) と一致しません。三重最大ニュートリノ混合は、より正確な測定が利用可能になる前に、ニュートリノ振動を解析する理論物理学の論文で一般的な仮定でした。${\displaystyle \theta _{12}\approx 35.3^{\circ }\,,}$ ${\displaystyle \theta _{23}=45^{\circ }\,,}$ ${\displaystyle \theta _{13}=0^{\circ }\,}$
• の値を測定するのは非常に難しく、現在も研究が進められていますが、 180°付近の電流制約は、電荷パリティ違反に有利な明確なバイアスを示しています。${\displaystyle \delta _{\textrm {CP}}={197^{\circ }}_{-25^{\circ }}^{+42^{\circ }}}$${\displaystyle \,{169^{\circ }}\leq \delta _{\textrm {CP}}\leq {246^{\circ }}\,}$

• ニュートリノ振動
• 小出式
• カビボ-小林-益川行列

Gonzalez-Garcia, MC; Maltoni, Michele; Salvado, Jordi; Schwetz, Thomas (2012 年 12 月 21 日)。「3 ニュートリノ混合へのグローバルフィット: 現在の精度の批判的考察」。Journal of High Energy Physics。2012 (  12 ): 123。arXiv : 1209.3023。Bibcode : 2012JHEP...12..123G。CiteSeerX 10.1.1.762.7366。doi : 10.1007 /JHEP12(2012)123。S2CID 118566415。