クォークモデル

素粒子物理学において、クォークモデルは、ハドロンの量子数を生む価クォークと反クォークの観点からハドロンを分類する体系である。クォークモデルは、 「フレーバーSU(3)」、すなわち八重法の基礎となっている。これは、1950年代から1960年代にかけて発見され続けた大量の軽いハドロンを体系化した成功した分類体系である。1960年代後半から実験的に検証され、現在まで有効かつ効果的な分類法となっている。このモデルは、簡潔な論文で「クォーク」と名付けた物理学者マレー・ゲルマン^[1]と、より長い原稿で「エース」と名付けたジョージ・ツヴァイク^{[2] [3]}によって独立に提案された。アンドレ・ペーターマンも1963年から1965年にかけて、定量的な裏付けはあまりないまま、中心的なアイデアに触れた。^{[4] [5]今日では、このモデルは本質的に、}標準モデルと呼ばれる、確立された強い粒子と電弱粒子の相互作用の量子場理論の構成要素として取り入れられています。

ハドロンは実際には「素粒子」ではなく、「価クォーク」と反クォークの束縛状態とみなすことができ、これがハドロンの量子数を生み出します。これらの量子数はハドロンを識別するラベルであり、2 種類あります。1 つはポアンカレ対称性J PCから来ており、ここで^J、 P 、 Cはそれぞれ全角運動量、P 対称性、C 対称性を表します。

もう 1 つのセットは、アイソスピン、ストレンジネス、チャームなどのフレーバー量子数です。クォークを結合する強い相互作用はこれらの量子数には影響されないため、量子数の変化によって、同じフレーバー多重項内のハドロン間の系統的な質量と結合関係が生まれます。

すべてのクォークには、重粒子数が割り当てられている。1/3アップ、チャーム、トップクォークの電荷は+ ⁠2/3⁠、ダウン、ストレンジ、ボトムクォークの電荷は − ⁠1/3⁠。反クォークは反対の量子数を持ちます。クォークはスピン- ⁠1/2⁠粒子、つまりフェルミオン。各クォークまたは反クォークは個別にゲルマン-西島の公式に従うため、それらの加法的集合も同様に従います。

中間子は価クォークと反クォークのペアで構成され（したがって重粒子数は 0）、重粒子は3 つのクォークで構成されます（したがって重粒子数は 1）。この記事では、クォークのアップ、ダウン、ストレンジ フレーバー（近似フレーバーSU(3) 対称性を形成する）のクォーク モデルについて説明します。より多くのフレーバーに一般化できます。

ハドロンの分類体系の開発は、新しい実験技術によって非常に多くのハドロンの発見があり、そのすべてが基本的なものではないことが明らかになった後、時宜を得た問題となった。これらの発見により、ヴォルフガング・パウリは「それを予見していたら、植物学に進んでいただろう」と叫び、エンリコ・フェルミは弟子のレオン・レーダーマンに「若者よ、これらの粒子の名前を覚えていたら、植物学者になっていただろう」と助言した。これらの新しい体系により、ルイス・アルバレスを含む実験粒子物理学者がノーベル賞を受賞した。アルバレスはその開発の多くで最前線に立っていた。ハドロンを、より少ない構成要素の束縛状態として構築することで、手近の「動物園」を整理することができる。エンリコ・フェルミと楊振寧(1949) によるものや、坂田モデル(1956) などの初期の提案のいくつかは、中間子については満足のいく結果となったが、重粒子については失敗し、すべてのデータを説明することができなかった。

マレー・ゲルマンと西島和彦によって開発されたゲルマン・西島の公式は、ユヴァル・ネーマンの重要な独立した貢献により、1961年にゲルマンによって発明された八重道分類につながった。ハドロンは、強い相互作用により、ほぼ同じ質量のSU(3)表現の多重項、八重項、十重項に整理され、より小さな質量差は、強い相互作用では見えないフレーバー量子数に関連付けられていた。ゲルマン・大久保の質量公式は、 SU(3)の 明示的な対称性の破れによって制御されるハドロン多重項のメンバー間のこれらの小さな質量差の定量化を体系化した。

スピン- ⁠3/2⁠
Ω⁻
基底状態の10重項を構成する重粒子は、この分類の重要な予測であった。ブルックヘブン国立研究所での実験でこの重粒子が発見された後、ゲルマン氏は1969年に八正道に関する研究で ノーベル物理学賞を受賞した。

最終的に、1964 年に、ゲルマンおよびジョージ・ツヴァイクは、八正道の図が何をコード化しているかを独立して解明しました。彼らは、観測されておらず、おそらく自由形では観測できない 3 つの基本的なフェルミオン構成要素 (「アップ」、「ダウン」、「ストレンジ」クォーク) を想定しました。これら 3 つの構成要素とその反粒子の単純なペアワイズまたはトリプレットの組み合わせが、八正道の分類の基礎となり、経済的で緊密な構造で簡潔にコード化され、さらなる単純化をもたらしました。ハドロン質量の違いは、構成要素のクォークの異なる質量に関連付けられるようになりました。

これらのクォークの予想外の性質、そして物理的実在性が十分に理解されるまでには、約 10 年かかりました (クォークを参照)。直感に反して、クォークは単独では観測できず (色の閉じ込め)、常に他のクォークと結合して完全なハドロンを形成し、閉じ込められたクォーク自体に関する十分な間接情報を提供します。逆に、クォークは、強い相互作用を完全に説明する基本理論である量子色力学の定義に役立ちます。また、八正道は、クォークの中で最も軽い 3 つのフレーバー対称構造の結果であると現在では理解されています。

八重道の分類は、次の事実にちなんで名付けられました。3種類のクォークのフレーバーを取ると、クォークはフレーバーSU(3)の基本表現3 （三重項と呼ばれる）に存在します。反クォークは複素共役表現 3 に存在します。ペアから構成される9つの状態（ノネット）は、自明表現1（シングレットと呼ばれる）と随伴表現8 （オクテットと呼ばれる）に分解できます。この分解の表記法は次のとおりです。

${\displaystyle \mathbf {3} \otimes \mathbf {\overline {3}} =\mathbf {8} \oplus \mathbf {1} ~.}$

図 1 は、この分解を中間子に適用した様子を示しています。フレーバー対称性が正確であれば (強い相互作用のみが作用し、電弱相互作用は概念的にオフになるという極限の場合など)、9 つの中間子はすべて同じ質量を持ちます。ただし、完全な理論の物理的内容^{[明確化が必要]}には、クォークの質量差によって引き起こされる対称性の破れの考慮、およびさまざまな多重項 (オクテットとシングレットなど) 間の混合の考慮が含まれます。

注: それにもかかわらず、
η
そして
η′
クォークモデルが収容できるサイズよりも大きく、この「
η
–
η′
「パズル」は、インスタントン構成などの強い相互作用真空の位相的な特異性に起源があります 。

中間子は重粒子数がゼロのハドロンである。クォーク・反クォーク対が軌道角運動量 L状態にあり、スピン Sを持つ場合、

• | L − S | ≤ J ≤ L + S、ただしS = 0 または 1、
• P = (−1) ^{L +1}、ここで指数の1はクォーク-反クォーク対の固有パリティから生じます。
• フレーバーを持たない中間子の場合、C = (−1) ^{L + Sです。フレーバーを持つ中間子の場合、} Cの値は不定です。
• アイソスピン I = 1および0の状態では、 G = (−1) ^{I + L + S}となるGパリティと呼ばれる新しい乗法量子数を定義できます。

P = (−1) ^Jならば、 S = 1 となり、PC = 1となる。これらの量子数を持つ状態は自然パリティ状態と呼ばれ、他のすべての量子数はエキゾチック状態と呼ばれる（たとえば、状態J ^PC = 0 ⁻⁻）。

クォークはフェルミオンなので、スピン統計定理によれば、重粒子の 波動関数は、任意の 2 つのクォークの交換において反対称でなければならない。この反対称波動関数は、後述するように、色に関して完全に反対称にし、フレーバー、スピン、空間を合わせた点で対称にすることで得られる。3 つ のフレーバーの場合、フレーバー分解は次のようになる。10 重項はフレーバーに関して対称、1 重項は反対称、2 つの 8 重項は混合対称である。そのため、軌道角運動量が与えられると、状態の空間部分とスピン部分は固定される。 $${\displaystyle \mathbf {3} \otimes \mathbf {3} \otimes \mathbf {3} =\mathbf {10} _{S}\oplus \mathbf {8} _{M}\oplus \mathbf {8} _{M}\oplus \mathbf {1} _{A}~.}$$

クォークの基底状態を、 3つのフレーバーとフレーバーごとに2つのスピンの6つの状態として考えると便利な場合があります。この近似対称性はスピンフレーバーSU(6)と呼ばれます。これに基づいて分解すると、 $${\displaystyle \mathbf {6} \otimes \mathbf {6} \otimes \mathbf {6} =\mathbf {56} _{S}\oplus \mathbf {70} _{M}\oplus \mathbf {70} _{M}\oplus \mathbf {20} _{A}~.}$$

スピンとフレーバーの対称的な組み合わせを持つ 56 の状態は、フレーバーSU(3)の下で次のよう に分解されます。 ここで、上付き文字は重粒子のスピンSを表します。これらの状態はスピンとフレーバーで対称であるため、空間でも対称であるはずです。この条件は、軌道角運動量L = 0にすることで簡単に満たされます。これらは基底状態の重粒子です。 $${\displaystyle \mathbf {56} =\mathbf {10} ^{\frac {3}{2}}\oplus \mathbf {8} ^{\frac {1}{2}}~,}$$

S = ⁠​1/2⁠オクテットバリオンは2つの核子（
p⁺
、
ん⁰
）、3つのシグマ（
Σ⁺
、
Σ⁰
、
Σ⁻
）、二つのXi（
Ξ⁰
、
Ξ⁻
）、ラムダ（
Λ⁰
）。S = ⁠3/2⁠ 10重項バリオンは4つのデルタ（
Δ⁺⁺
、
Δ⁺
、
Δ⁰
、
Δ⁻
）、3シグマ（
Σ^∗+
、
Σ^∗0
、
Σ^∗−
）、2つのX（
Ξ^∗0
、
Ξ^∗−
）、オメガ（
Ω⁻
）。

例えば、陽子の構成要素であるクォークモデルの波動関数は $${\displaystyle |{\text{p}}_{\uparrow }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {18}}}[2|{\text{u}}_{\uparrow }{\text{d}}_{\downarrow }{\text{u}}_{\uparrow }\rangle +2|{\text{u}}_{\uparrow }{\text{u}}_{\uparrow }{\text{d}}_{\downarrow }\rangle +2|{\text{d}}_{\downarrow }{\text{u}}_{\uparrow }{\text{u}}_{\uparrow }\rangle -|{\text{u}}_{\uparrow }{\text{u}}_{\downarrow }{\text{d}}_{\uparrow }\rangle -|{\text{u}}_{\uparrow }{\text{u}}_{\downarrow }{\text{d}}_{\uparrow }\rangle -|{\text{u}}_{\uparrow }{\text{d}}_{\uparrow }{\text{u}}_{\downarrow }\rangle -|{\text{u}}_{\downarrow }{\text{d}}_{\uparrow }{\text{u}}_{\uparrow }\rangle -|{\text{d}}_{\uparrow }{\text{u}}_{\downarrow }{\text{u}}_{\uparrow }\rangle -|{\text{d}}_{\uparrow }{\text{u}}_{\uparrow }{\text{u}}_{\downarrow }\rangle -|{\text{u}}_{\downarrow }{\text{u}}_{\uparrow }{\text{d}}_{\uparrow }\rangle ]~.}$$

重粒子の混合、多重項内および多重項間の質量分裂、磁気モーメントなどは、モデルが正しく予測する他の量の一部です。

上で説明した群論的アプローチでは、クォークは 1 つの粒子の 8 つの構成要素であると仮定しているため、反対称化はすべてのクォークに適用されます。より単純なアプローチは、8 つのフレーバー クォークを 8 つの別個の、区別可能な、同一ではない粒子と見なすことです。その場合、反対称化は 2 つの同一のクォーク (たとえば uu) にのみ適用されます。^[6]

すると、陽子の波動関数はより単純な形で表すことができます。

${\displaystyle {\text{p}}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)={\frac {{\text{u}}{\text{u}}{\text{d}}}{\sqrt {6}}}[2\uparrow \uparrow \downarrow -\uparrow \downarrow \uparrow -\downarrow \uparrow \uparrow ]}$

そして

${\displaystyle \Delta ^{+}\left({\frac {3}{3}},{\frac {3}{2}}\right)={\text{u}}{\text{u}}{\text{d}}[\uparrow \uparrow \uparrow ]~.}$

クォーク間相互作用が二体相互作用に限定される場合、重粒子質量と磁気モーメントの合計則を含む、成功したクォークモデル予測をすべて導くことができます。

カラー量子数は強い力の特性電荷であり、電弱相互作用にはまったく関係ありません。これらは、スピンS = ⁠であることが認識されたときに、クォークモデルの分類の結果として発見されました。3/2⁠バリオン、
Δ⁺⁺
は、平行スピンとゼロ軌道角運動量を持つ3つのアップクォークを必要とした。したがって、反対称波動関数を持つことはできなかった（パウリの排他原理で要求される）。 オスカー・グリーンバーグは1964年にこの問題に気づき、クォークはパラフェルミオンであるべきだと示唆した。^[7]

その代わりに、6ヵ月後、ハン・ムヨンと南部陽一郎は隠れた自由度の存在を示唆し、それをSU(3)'（後に'カラー'と呼ばれる）と名付けた。これにより、波動関数がカラー自由度で反対称となる3つのクォークトリプレットが生まれた。このモデルではフレーバーとカラーは絡み合っており、可換ではなかった。^[8]

色が他のすべての電荷と完全に交換可能であり、強い力の電荷を提供するという現代的な概念は、1973年にウィリアム・バーディーン、ハラルド・フリッツ、マレー・ゲルマンによって明確に表現されました。^{[9] [10]}

クォークモデルは量子色力学の理論から導き出せるが、ハドロンの構造はこのモデルが許すよりも複雑である。ハドロンの完全な量子力学的 波動関数には、仮想クォーク対と仮想グルーオンが含まれなければならず、さまざまな混合が可能である。クォークモデルの外側にあるハドロンが存在する可能性がある。その中には、グルーボール（価電子グルーオンのみを含む）、ハイブリッド（価電子クォークとグルーオンを含む）、エキゾチックハドロン（テトラクォークやペンタクォーク など）がある。

• 素粒子
• ハドロン、重粒子、中間子、クォーク
• エキゾチックハドロン：エキゾチック中間子とエキゾチック重粒子
• 量子色力学、フレーバー、QCD真空

• S. Eidelman他、 Particle Data Group (2004)。「Review of Particle Physics」(PDF)。Physics Letters B。592 ( 1–4): 1。arXiv : astro - ph/0406663。Bibcode :2004PhLB..592....1P。doi :10.1016/ j.physletb.2004.06.001。S2CID 118588567  。
• リヒテンベルク、DB（1970）。ユニタリー対称性と素粒子。アカデミックプレス。ISBN 978-1483242729。
• トムソン、MA (2011)、講義ノート
• JJJ コッケディー (1969)。クォークモデル。WAベンジャミン。ASIN  B001RAVDIA。