ガンマ行列

数理物理学において、ガンマ行列はディラック行列とも呼ばれ、特定の反交換関係を持つ従来の行列の集合であり、クリフォード代数の行列表現を生成することを保証する。より高次元のガンマ行列を定義することも可能である。ミンコフスキー空間における反変ベクトルに対する直交基底ベクトルの集合の作用の行列として解釈すると、行列が作用する列ベクトルはスピノルの空間となり、その上に時空のクリフォード代数が作用する。これにより、無限小の空間回転やローレンツブーストを表現することが可能となる。スピノルは一般に時空の計算を容易にし、特に相対論的スピン粒子のディラック方程式の基礎となる。ガンマ行列は1928年にポール・ディラックによって導入された。^{[1] [2]}${\displaystyle \ \left\{\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right\}\ ,}$ ${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )~.}$ ${\displaystyle {\tfrac {\ 1\ }{2}}}$

ディラック表現では、4つの反変ガンマ行列は

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},&\gamma ^{1}&={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}},\\\\\gamma ^{2}&={\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{pmatrix}},&\gamma ^{3}&={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}~.\end{aligned}}}$

${\displaystyle \gamma ^{0}}$は時間的なエルミート行列です。他の 3 つは空間的な反エルミート行列です。より簡潔に言えば、 およびです。ここで はクロネッカー積を表し、( j = 1, 2, 3の場合) はパウリ行列を表します。 ${\displaystyle \ \gamma ^{0}=\sigma ^{3}\otimes I_{2}\ ,}$${\displaystyle \ \gamma ^{j}=i\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{j}\ ,}$${\displaystyle \ \otimes \ }$${\displaystyle \ \sigma ^{j}\ }$

さらに、群論の議論では、単位行列（I ）が4つのガンマ行列に含まれることがあり、通常のガンマ行列と組み合わせて使用​​される補助的な「5番目の」トレースレス行列 があります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\ I_{4}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\ ,\qquad \gamma ^{5}\equiv i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}~.\end{aligned}}}$

「第 5 行列」は、4 つのメイン セットの適切なメンバーではありません。名目上の左キラル表現と右キラル表現を分離するために使用されます。 ${\displaystyle \ \gamma ^{5}\ }$

ガンマ行列には、ガンマ群という群構造があり、これは、任意の次元の、任意の計量のシグネチャの群のすべての行列表現によって共有されます。たとえば、2×2パウリ行列は、ユークリッド シグネチャ (3, 0) の計量を持つ 3 次元空間の「ガンマ」行列のセットです。5 つの時空次元では、上記の 4 つのガンマと、以下に示す 5 番目のガンマ行列によって、クリフォード代数が生成されます。

ガンマ行列がクリフォード代数を生成するための定義的性質は反交換関係である。

${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}\ ,}$

ここで、中括弧は反交換子を表し、は符号(+ − − −)を持つミンコフスキー計量、は4 × 4の単位行列です。 ${\displaystyle \ \{,\}\ }$${\displaystyle \ \eta _{\mu \nu }\ }$${\displaystyle I_{4}}$

この定義的性質は、ガンマ行列の特定の表現で使用される数値よりも基本的なものである。 共変ガンマ行列は次のように定義される。

${\displaystyle \ \gamma _{\mu }=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }=\left\{\gamma ^{0},-\gamma ^{1},-\gamma ^{2},-\gamma ^{3}\right\}\ ,}$

アインシュタイン表記法が想定されます。

メトリックの他の符号規則(- + + +)では、定義式の変更が必要になることに注意してください。

${\displaystyle \ \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=-2\eta ^{\mu \nu }I_{4}\ }$

または、すべてのガンマ行列に を掛けたもので、もちろん、以下に詳述するそれらのエルミート性特性が変化する。計量の別の符号規則の下では、共変ガンマ行列は次のように定義される。 ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \ \gamma _{\mu }=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }=\left\{-\gamma ^{0},+\gamma ^{1},+\gamma ^{2},+\gamma ^{3}\right\}~.}$

時空V上のクリフォード代数は、 Vからそれ自身への実線型作用素の集合End( V )と見なすことができます。または、より一般的には、に複素化されると、任意の 4 次元複素ベクトル空間からそれ自身への線型作用素の集合と見なすことができます。より簡単に言えば、 Vの基底が与えられれば、はすべての4×4複素行列の集合にクリフォード代数構造が備わっているだけです。時空はミンコフスキー計量η _μνを備えていると仮定します。ビスピノル空間U _xも、時空内のすべての点で想定され、ローレンツ群のビスピノル表現が備わっていると仮定します。時空内の任意の点xで評価されるディラック方程式のビスピノル場Ψ は、 U _xの要素です(以下を参照)。クリフォード代数はU _xにも作用すると仮定されます (すべてのxに対してU _xの列ベクトルΨ( x )との行列乗算により)。これは、このセクションの 要素の主なビューになります。${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )\ }$${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\ ,}$${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\ }$ ${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\ }$

U _xの各線型変換Sに対して、 End( U _x )の変換がEに対してSES ⁻¹で与えられます。S がローレンツ群の表現に属する場合、誘導作用E ↦ SES −1^もローレンツ群の表現に属します。ローレンツ群の表現論を参照してください。 ${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\approx \operatorname {End} (U_{x})~.}$

S(Λ) が、Vに作用する標準 (4 ベクトル) 表現における任意のローレンツ変換ΛのU _xに作用するビスピノル表現である場合、対応する演算子が存在し、その演算子は次の式で表されます。 ${\displaystyle \ \operatorname {End} \left(U_{x}\right)=\mathrm {Cl} _{1,3}\left(\mathbb {R} \right)_{\mathbb {C} }\ }$

${\displaystyle \ \gamma ^{\mu }\ \mapsto \ S(\Lambda )\ \gamma ^{\mu }\ {S(\Lambda )}^{-1}={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu }\ \gamma ^{\nu }={\Lambda _{\nu }}^{\mu }\ \gamma ^{\nu }\ ,}$

γ ^μの量はクリフォード代数の内部にあるローレンツ群の4 ベクトル表現の表現空間の基底として見ることができることを示している。最後の恒等式は、インデックス表記で書かれた不定直交群に属する行列の定義関係として認識できる。これは、 ${\displaystyle \ \eta \Lambda ^{\textsf {T}}\eta =\Lambda ^{-1}\ ,}$

${\displaystyle a\!\!\!/\equiv a_{\mu }\gamma ^{\mu }}$

は、操作においては 4 つのベクトルとして扱われるべきである。また、 γ上の添え字は、他の 4 つのベクトルと同様に、計量η _{μν を}使って上げ下げできる。この表記法は、ファインマンスラッシュ表記法と呼ばれる。スラッシュ演算は、 Vまたは任意の 4 次元ベクトル空間の基底e _{μ を}基底ベクトルγ _μに写像する。スラッシュされた量の変換規則は、単に

${\displaystyle {a\!\!\!/}^{\mu }\mapsto {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }{a\!\!\!/}^{\nu }~.}$

これは、現在（固定）基底ベクトルとして扱われているγ ^μの変換規則とは異なることに注意する必要があります。文献で時々見られる 4 タプルを 4 ベクトルと呼ぶことは、したがって少し誤った呼び方です。後者の変換は、スラッシュされた量の成分を基底γ ^μに関して能動的に変換し、前者は基底γ ^μ自体を受動的に変換します。 ${\displaystyle \left(\gamma ^{\mu }\right)_{\mu =0}^{3}=\left(\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right)}$

要素はローレンツ群のリー代数の表現を形成します。これはスピン表現です。これらの行列とそれらの線形結合をべき乗すると、ローレンツ群のビスピノル表現になります。たとえば、上記のS(Λ)はこの形式です。6 次元空間σ ^μνスパンは、ローレンツ群のテンソル表現の表現空間です。一般的なクリフォード代数の高次要素とその変換規則については、記事「ディラック代数」を参照してください。ローレンツ群のスピン表現は、スピン群Spin(1, 3) (実数、非荷電スピノルの場合) と、荷電 (ディラック) スピノルの 複素化スピン群Spin(1, 3)にエンコードされます。${\displaystyle \ \sigma ^{\mu \nu }=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\ }$

自然単位では、ディラック方程式は次のように表される。

${\displaystyle \ \left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi =0\ }$

ここにディラックスピノルがあります。 ${\displaystyle \ \psi \ }$

ファインマン記法に切り替えると、ディラック方程式は

${\displaystyle \ (i{\partial \!\!\!/}-m)\psi =0~.}$

4つのガンマ行列の積を と定義すると便利である 。 ${\displaystyle \gamma ^{5}=\sigma _{1}\otimes I}$

${\displaystyle \ \gamma ^{5}\equiv i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}\qquad }$（ディラック基底において）。

文字 gamma を使用していますが、 のガンマ行列の 1 つではありません。インデックス番号 5 は古い表記法の名残であり、以前は " " と呼ばれていました。 ${\displaystyle \ \gamma ^{5}\ }$${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )~.}$${\displaystyle \ \gamma ^{0}\ }$${\displaystyle \gamma ^{4}}$

${\displaystyle \ \gamma ^{5}\ }$代替形式もあります:

${\displaystyle \ \gamma ^{5}={\tfrac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\gamma _{\alpha }\gamma _{\beta }\ }$

慣例を使用するか、 ${\displaystyle \varepsilon _{0123}=1\ ,}$

${\displaystyle \ \gamma ^{5}=-{\tfrac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\gamma _{\alpha }\gamma _{\beta }\ }$

慣例を用いた 証明: ${\displaystyle \varepsilon ^{0123}=1~.}$

これは、4つのガンマ行列がすべて反交換であるという事実を利用することでわかる。

${\displaystyle \gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}=\gamma ^{[0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3]}={\tfrac {1}{4!}}\delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{0123}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }\ ,}$

ここで は、 4 次元の(4,4)型一般化クロネッカーデルタで、完全反対称化である。 がn次元のレヴィ・チヴィタ記号を表す場合、恒等式 を使用できる。すると、慣例に従って、${\displaystyle \delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{\alpha \beta \gamma \delta }}$${\displaystyle \ \varepsilon _{\alpha \dots \beta }\ }$${\displaystyle \delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{\alpha \beta \gamma \delta }=\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }}$${\displaystyle \ \varepsilon ^{0123}=1\ ,}$

${\displaystyle \ \gamma ^{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\frac {i}{4!}}\varepsilon ^{0123}\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }={\tfrac {i}{4!}}\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }=-{\tfrac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\gamma _{\varrho }\gamma _{\sigma }}$

この行列は量子力学的キラリティーの議論に役立ちます。たとえば、ディラック場は次のように左手系と右手系の成分に投影できます。

${\displaystyle \ \psi _{\mathrm {L} }={\frac {\ I-\gamma ^{5}\ }{2}}\ \psi ,\qquad \psi _{\mathrm {R} }={\frac {\ I+\gamma ^{5}\ }{2}}\ \psi ~.}$

いくつかのプロパティは次のとおりです。

• それはエルミートです:

  ${\displaystyle \left(\gamma ^{5}\right)^{\dagger }=\gamma ^{5}~.}$

• 固有値は ±1 です。理由は次の通りです。

  ${\displaystyle \left(\gamma ^{5}\right)^{2}=I_{4}~.}$

• これは 4 つのガンマ行列と反交換します。

  ${\displaystyle \left\{\gamma ^{5},\gamma ^{\mu }\right\}=\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=0~.}$

実際、とは の固有ベクトルである。${\displaystyle \ \psi _{\mathrm {L} }\ }$${\displaystyle \ \psi _{\mathrm {R} }\ }$${\displaystyle \ \gamma ^{5}\ }$

${\displaystyle \gamma ^{5}\psi _{\mathrm {L} }={\frac {\ \gamma ^{5}-\left(\gamma ^{5}\right)^{2}\ }{2}}\psi =-\psi _{\mathrm {L} }\ ,}$そして${\displaystyle \gamma ^{5}\psi _{\mathrm {R} }={\frac {\ \gamma ^{5}+\left(\gamma ^{5}\right)^{2}\ }{2}}\psi =\psi _{\mathrm {R} }~.}$

奇数次元のクリフォード代数は、1次元少ないクリフォード代数の2つのコピー、つまり左コピーと右コピーのように動作します。[ 3 ] ^{: 68}したがって、ちょっとしたトリックを使って、 i  γ ^{5 を} 5次元のクリフォード代数の生成元の1つとして再利用することができます。 この場合、集合{ γ ⁰、γ ¹、γ ²、γ ³、i γ ⁵ }は、最後の2つの特性（ i ² ≡ −1であることに留意）と「古い」ガンマの特性により、計量シグネチャ(1,4)に対する5 時空次元のクリフォード代数の基礎を形成します。^[a]  。^{[4] : 97} 計量シグネチャ(4,1)では、集合{ γ0 , γ1 , γ2 , γ3 , γ5 }が使用され、γμ^は(3,1)シグネチャに適切なものである^。 [ ^{5]このパターンは 、 すべて}のn≥1に対して、^{時空 次元}2nが偶数次元、次の奇数次元2n +1で繰り返される。^{[6] : 457} 詳細については、高次元ガンマ行列を参照してください。 

次の恒等式は基本的な反交換関係から導かれるため、任意の基底で成り立ちます（ただし最後の恒等式は の符号の選択に依存します）。 ${\displaystyle \gamma ^{5}}$

1.${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=4I_{4}}$

2.${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\nu }}$

3.${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I_{4}}$

4.${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }}$

5.${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }=\eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\rho }+\eta ^{\nu \rho }\gamma ^{\mu }-\eta ^{\mu \rho }\gamma ^{\nu }-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}}$

6.どこで${\displaystyle \gamma ^{5}\sigma ^{\nu \rho }={\tfrac {i}{2}}\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\sigma _{\sigma \mu }\ ,}$${\displaystyle \ \sigma _{\mu \nu }={\tfrac {i}{2}}[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]={\tfrac {i}{2}}(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }-\gamma _{\nu }\gamma _{\mu })\ }$

ガンマ行列は次のトレースの恒等式に従います。

上記を証明するには、トレース演算子の 3 つの主な特性を使用する必要があります。

• tr( A + B ) = tr( A ) + tr( B )
• tr( rA ) = r tr( A )
• tr( ABC ) = tr( CAB ) = tr( BCA ) です。

ガンマ行列は、上記の反交換関係によって制限される追加のエルミート条件で選択することができます。

${\displaystyle \left(\gamma ^{0}\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}}$、互換性あり${\displaystyle \left(\gamma ^{0}\right)^{2}=I_{4}}$

他のガンマ行列（ k = 1, 2, 3） については、

${\displaystyle \left(\gamma ^{k}\right)^{\dagger }=-\gamma ^{k}}$、互換性あり${\displaystyle \left(\gamma ^{k}\right)^{2}=-I_{4}.}$

これらの隠蔽関係がディラック表現に当てはまるかどうかはすぐに確認できます。

上記の条件は、次のような関係で組み合わせることができる。

${\displaystyle \left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\gamma ^{0}.}$

ローレンツ変換はローレンツ群の非コンパクト性により必ずしもユニタリ変換ではないため、エルミート条件はローレンツ変換の作用下では不変ではない。 ^[要出典]${\displaystyle \gamma ^{\mu }\to S(\Lambda )\gamma ^{\mu }{S(\Lambda )}^{-1}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle S(\Lambda )}$

任意の基底における電荷共役演算子は次のように定義される。

${\displaystyle C\gamma _{\mu }C^{-1}=-(\gamma _{\mu })^{\textsf {T}}}$

ここで、 は行列の転置 を表します。 が取る明示的な形式は、任意の位相係数まで、ガンマ行列に選択された特定の表現に依存します。これは、電荷共役がガンマ群の自己同型ではあるものの、 (群の)内部自己同型ではないためです。共役行列は見つかりますが、表現に依存します。 ${\displaystyle (\cdot )^{\textsf {T}}}$${\displaystyle C}$

表現に依存しないアイデンティティには次のものがあります。

${\displaystyle {\begin{aligned}C\gamma _{5}C^{-1}&=+(\gamma _{5})^{\textsf {T}}\\C\sigma _{\mu \nu }C^{-1}&=-(\sigma _{\mu \nu })^{\textsf {T}}\\C\gamma _{5}\gamma _{\mu }C^{-1}&=+(\gamma _{5}\gamma _{\mu })^{\textsf {T}}\\\end{aligned}}}$

電荷共役演算子もユニタリ ですが、 については任意の表現に対してが成り立ちます。ガンマ行列の表現が与えられた場合、電荷共役演算子の任意の位相係数も となるように選択できます。これは、以下に示す 4 つの表現 (ディラック、マヨラナ、および両方のカイラル変種) の場合と同様です。 ${\displaystyle C^{-1}=C^{\dagger }}$${\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle C^{T}=-C}$${\displaystyle C^{\dagger }=-C}$

ファインマンスラッシュ記法は次のように定義される。

${\displaystyle {a\!\!\!/}:=\gamma ^{\mu }a_{\mu }}$

任意の 4 次元ベクトルに対して。 ${\displaystyle a}$

以下は、上記と似たアイデンティティですが、スラッシュ表記を含むものです。

• ${\displaystyle {a\!\!\!/}{b\!\!\!/}=\left[a\cdot b-ia_{\mu }\sigma ^{\mu \nu }b_{\nu }\right]I_{4}}$
• ${\displaystyle {a\!\!\!/}{a\!\!\!/}=\left[a^{\mu }a^{\nu }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\right]I_{4}=\left[{\tfrac {1}{2}}a^{\mu }a^{\nu }\left(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }+\gamma _{\nu }\gamma _{\mu }\right)\right]I_{4}=\left[\eta _{\mu \nu }a^{\mu }a^{\nu }\right]I_{4}=a^{2}I_{4}}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} \left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\right)=4(a\cdot b)}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} \left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\right)=4\left[(a\cdot b)(c\cdot d)-(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)\right]}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\right)=0}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\right)=-4i\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }a^{\mu }b^{\nu }c^{\rho }d^{\sigma }}$
• ${\displaystyle \gamma _{\mu }{a\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=-2{a\!\!\!/}}$^[7]
• ${\displaystyle \gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=4(a\cdot b)I_{4}}$^[7]
• ${\displaystyle \gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=-2{c\!\!\!/}{b\!\!\!/}{a\!\!\!/}}$^[7]

  ここで はレヴィ・チヴィタ記号であり、の奇数の積のトレースはゼロであり、したがって${\displaystyle \epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }}$${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }={\tfrac {i}{2}}\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right]~.}$${\displaystyle \ \gamma \ }$

• ${\displaystyle \operatorname {tr} (a_{1}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,a_{2}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,\cdots a_{n}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,)=0\ }$nが奇数の場合。^[8]

多くは、スラッシュ表記法を展開し、ガンマ行列に関して適切な恒等式を持つ 形式の表現を縮小することから直接得られます。${\displaystyle \ a_{\mu }b_{\nu }c_{\rho }\ \ldots \ }$

行列は2×2単位行列、、およびを使用して表記されることもある。 ${\displaystyle I_{2}}$

${\displaystyle \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}}}$

ここでkは1から3までの値をとり、σk^はパウリ行列です。

これまで記述してきたガンマ行列は、ディラック基底で記述されたディラックスピノルに作用するのに適しています。実際、ディラック基底はこれらの行列によって定義されます。要約すると、ディラック基底では次のようになります。

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}~.}$

ディラック基底では、荷電共役演算子は実反対称であり、^{[9] : 691–700}

${\displaystyle C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{2}\\-i\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&~~0&~~0&-1\\0&~~0&~~1&~~0\\0&-1&~~0&~~0\\1&~~0&~~0&~~0\end{pmatrix}}~.}$

もう一つの一般的な選択肢は、ワイル基底またはカイラル基底であり、これは同じままだが異なり、したがっても異なり、対角である。 ${\displaystyle \gamma ^{k}}$${\displaystyle \gamma ^{0}}$${\displaystyle \gamma ^{5}}$

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-I_{2}&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}},}$

またはより簡潔な表記では:

${\displaystyle \gamma ^{\mu }={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{\mu }\\{\overline {\sigma }}^{\mu }&0\end{pmatrix}},\quad \sigma ^{\mu }\equiv (1,\sigma ^{i}),\quad {\overline {\sigma }}^{\mu }\equiv \left(1,-\sigma ^{i}\right).}$

ワイル基底の利点は、そのカイラル射影が単純な形をとることである。

${\displaystyle \psi _{\mathrm {L} }={\tfrac {1}{2}}\left(1-\gamma ^{5}\right)\psi ={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ,\quad \psi _{\mathrm {R} }={\tfrac {1}{2}}\left(1+\gamma ^{5}\right)\psi ={\begin{pmatrix}0&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}\psi ~.}$

カイラル射影のべき等性は明白 です。

表記法を少し乱用して記号を再利用することで、 ${\displaystyle \psi _{\mathrm {L} /R}}$

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\mathrm {L} }\\\psi _{\mathrm {R} }\end{pmatrix}},}$

ここで、 と は左手系と右手系の 2 成分ワイルスピノルです。 ${\displaystyle \psi _{\mathrm {L} }}$${\displaystyle \psi _{\mathrm {R} }}$

この基底における荷電共役演算子は実反対称であり、

${\displaystyle C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}i\sigma ^{2}&0\\0&-i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}}$

ディラック基底はワイル基底から次のように得られる。

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {W} }^{\mu }=U\gamma _{\mathrm {D} }^{\mu }U^{\dagger },\quad \psi _{\mathrm {W} }=U\psi _{\mathrm {D} }}$

ユニタリ変換を介して

${\displaystyle U={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}\left(1+\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}{\begin{pmatrix}I_{2}&-I_{2}\\I_{2}&I_{2}\end{pmatrix}}.}$

ワイル基底の もう一つの可能​​な選択肢^[10]は

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-I_{2}\\-I_{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}}.}$

カイラル射影は他のワイル選択とは少し異なる形をとる。

${\displaystyle \psi _{\mathrm {R} }={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ,\quad \psi _{\mathrm {L} }={\begin{pmatrix}0&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}\psi .}$

言い換えると、

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\mathrm {R} }\\\psi _{\mathrm {L} }\end{pmatrix}},}$

ここで、およびは、前述と同様に、左手系と右手系の 2 成分ワイル スピノルです。 ${\displaystyle \psi _{\mathrm {L} }}$${\displaystyle \psi _{\mathrm {R} }}$

この基底における電荷共役演算子は

${\displaystyle C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}&0\\0&i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1&~~0&~~0\\1&~~0&~~0&~~0\\0&~~0&~~0&~~1\\0&~~0&-1&~~0\\\end{pmatrix}}~=-i\sigma ^{3}\otimes \sigma ^{2}.}$

この基底は、上記のディラック基底からユニタリ変換によって 得られる。${\displaystyle \gamma _{\mathrm {W} }^{\mu }=U\gamma _{\mathrm {D} }^{\mu }U^{\dagger },~~\psi _{\mathrm {W} }=U\psi _{\mathrm {D} }}$

${\displaystyle U={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}\left(1-\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}{\begin{pmatrix}~~I_{2}&I_{2}\\-I_{2}&I_{2}\end{pmatrix}}~.}$

また、ディラック行列がすべて虚数で、スピノルとディラック方程式が実数であるマヨラナ基底もある。パウリ行列に関しては、基底は次のように書ける。

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}\ ,~&\gamma ^{1}&={\begin{pmatrix}i\sigma ^{3}&0\\0&i\sigma ^{3}\end{pmatrix}}\ ,~&\gamma ^{2}&={\begin{pmatrix}0&-\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}},\\\gamma ^{3}&={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{1}&0\\0&-i\sigma ^{1}\end{pmatrix}}\ ,~&\gamma ^{5}&={\begin{pmatrix}\sigma ^{2}&0\\0&-\sigma ^{2}\end{pmatrix}}\ ,~&C&={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{2}\\-i\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}\ ,\end{aligned}}}$

ここで、は電荷共役行列であり、上で定義したディラック バージョンと一致します。 ${\displaystyle C}$

すべてのガンマ行列を虚数にする理由は、質量の二乗が正である素粒子物理学の計量(+, −, −, −)を得るためだけです。しかし、マヨラナ表現は実数です。を因数分解して、4 つの成分の実スピノルと実ガンマ行列を持つ別の表現を得ることができます。 を取り除いた結果、実ガンマ行列を持つ唯一の可能な計量は(−, +, +, +)になります。 ${\displaystyle \ i\ }$${\displaystyle \ i\ }$

マヨラナ基底は、上記のディラック基底からユニタリ変換によって 得られる。${\displaystyle \gamma _{\mathrm {M} }^{\mu }=U\gamma _{\mathrm {D} }^{\mu }U^{\dagger },~~\psi _{\mathrm {M} }=U\psi _{\mathrm {D} }}$

${\displaystyle U=U^{\dagger }={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}{\begin{pmatrix}I_{2}&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&-I_{2}\end{pmatrix}}~.}$

ディラック代数は、実代数Cl _1,3 ( )の複素化、つまり時空代数と呼ばれるものとみなすことができます。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {C} )=\mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )\otimes \mathbb {C} }$

Cl _1,3 ( ) は Cl _1,3 ( )と異なります。Cl _1,3 ( )では、ガンマ行列とその積の 実線形結合のみが許可されます。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

2 つの点を指摘しておく価値があります。クリフォード代数として、Cl _1,3 ( ) と Cl ₄ ( ) は同型です。クリフォード代数の分類を参照してください。その理由は、時空計量の基になるシグネチャが、複素化に移行するとシグネチャ (1,3) を失うためです。ただし、双線形形式を複素標準形式に変換するために必要な変換はローレンツ変換ではなく、したがって「許容されない」(少なくとも非実用的) です。これは、すべての物理学がローレンツ対称性と密接に結びついており、それを明示しておくことが望ましいためです。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

幾何代​​数の支持者は、可能な限り実代数を扱うよう努める。彼らは、物理方程式に虚数単位が存在するかどうかは一般に可能であり（そして通常は啓発的である）、そのような単位は実クリフォード代数における -1 に平方する多くの量の 1 つから生じ、代数の特性とそのさまざまな部分空間の相互作用により幾何学的な意味を持つ。これらの支持者の中には、ディラック方程式の文脈で追加の虚数単位を導入することが必要かどうか、あるいは有用かどうかについても疑問を呈する者もいる。^{[11] : x–xi}

リーマン幾何学の数学では、任意の次元p,qに対してクリフォード代数 Cl _p,q ( ) を定義するのが慣例です。ワイルスピノルは、スピン群の作用を受けて変換します。スピン群の複素化は spinc 群 と呼ばれ、スピン群と円 の積です。この積は、と同一視するための単なる表記法です。これの幾何学的な要点は、ローレンツ変換で共変な実スピノルを、電磁相互作用のファイバーと同一視できる成分から解き放つことです。 は、パリティと電荷共役を、ディラック粒子/反粒子状態 (ワイル基底のカイラル状態と同等) を関連付けるのに適した方法でエンタングルメントしています。ビスピノルは、線形独立な左成分と右成分を持つ限り、電磁場と相互作用できます。これは、マヨラナスピノルやELKOスピノル（固有スピン共役演算子）とは対照的である。これらは、複素化から来る部分と相互作用しないようにスピノルを明示的に制約するため、相互作用することができない（つまり、電気的に中性である）。ELKOスピノルは、ルネストクラス5スピノルである。^{[12] : 84}${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)}$${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(n)}$${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)\times _{\mathbb {Z} _{2}}S^{1}}$${\displaystyle S^{1}\cong U(1).}$${\displaystyle \times _{\mathbb {Z} _{2}}}$${\displaystyle (a,u)\in \mathrm {Spin} (n)\times S^{1}}$${\displaystyle (-a,-u).}$${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$${\displaystyle \times _{\mathbb {Z} _{2}}}$${\displaystyle S^{1}}$

しかし、物理学の現代実践では、時空代数ではなくディラック代数が、ディラック方程式の スピノルが「存在する」標準的な環境であり続けています。

ガンマ行列は、の固有値、の固有値を使用して対角化可能です。 ${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle \gamma ^{0}}$${\displaystyle \pm i}$${\displaystyle \gamma ^{i}}$

特に、これは が同時にエルミートかつユニタリであり、 が同時に反エルミートかつユニタリであることを意味します。 ${\displaystyle \gamma ^{0}}$${\displaystyle \gamma ^{i}}$

さらに、各固有値の重複度は 2 です。

より一般的には、が null でない場合、同様の結果が成り立ちます。具体的には、 が正のノルムの場合に限定します。負の場合も同様です。 ${\displaystyle \ \gamma ^{\mu }X_{\mu }\ }$${\displaystyle \ \gamma ^{\mu }p_{\mu }=p\!\!\!/\ }$${\displaystyle \ p\cdot p=m^{2}>0~.}$

したがって、解空間(つまり、左側の核) は次元 2 になります。つまり、ディラック方程式の平面波解の解空間は次元 2 になります。 ${\displaystyle \ p\!\!\!/-m=0\ }$

この結果は、質量のないディラック方程式にも当てはまります。言い換えると、ゼロの場合、ゼロ性 2 を持ちます。 ${\displaystyle p_{\mu }}$${\displaystyle p\!\!\!/}$

量子場理論では、時間軸をウィック回転させてミンコフスキー空間からユークリッド空間に遷移することができます。これは、格子ゲージ理論だけでなく、いくつかの繰り込み手順で特に役立ちます。ユークリッド空間では、ディラック行列の表現としてよく使用される 2 つの方法があります。

${\displaystyle \gamma ^{1,2,3}={\begin{pmatrix}0&i\sigma ^{1,2,3}\\-i\sigma ^{1,2,3}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{4}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}}$

の因子が空間ガンマ行列に挿入されているので、ユークリッドクリフォード代数は ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=2\delta ^{\mu \nu }I_{4}}$

が出現します。カイラル基底を使用する格子 QCD コードなど、 代わりに行列の 1 つに挿入するバリエーションがあることも注目に値します。${\displaystyle -i}$

ユークリッド空間では、

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {M} }^{5}=i\left(\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)_{\mathrm {M} }={\tfrac {1}{i^{2}}}\left(\gamma ^{4}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)_{\mathrm {E} }=\left(\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\gamma ^{4}\right)_{\mathrm {E} }=\gamma _{\mathrm {E} }^{5}~.}$

反交換子を使用し、ユークリッド空間でであることに注目すると、 ${\displaystyle \left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dagger }=\gamma ^{\mu }}$

${\displaystyle \left(\gamma ^{5}\right)^{\dagger }=\gamma ^{5}}$

ユークリッド空間のカイラル基底では、

${\displaystyle \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-I_{2}&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}}$

これはミンコフスキー版から変更されていません。

${\displaystyle \gamma ^{1,2,3}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{1,2,3}\\i\sigma ^{1,2,3}&0\end{pmatrix}}\ ,\quad \gamma ^{4}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&-I_{2}\\-I_{2}&0\end{pmatrix}}}$

• パウリ行列
• ゲルマン行列
• 高次元ガンマ行列
• フィエルズのアイデンティティ
• 時空代数

• Mathworld のディラック行列とそのグループ特性
• GroupNames 上の抽象群としてのディラック行列
• 「ディラック行列」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]