偶然の対称性

物理学、特に繰り込み理論において、偶然の対称性は、有効場理論に存在する対称性であり、これは、この対称性を破るラグランジアン内の演算子が無関係な演算子であるためである。^[1]低エネルギーでの無関係な演算子の寄与は小さいため、低エネルギー理論はこの対称性を持つように見える。

標準モデルでは、レプトン数と重粒子数は偶然の対称性ですが、格子モデルでは回転不変性は偶然です。

対称性と退化の関係 (つまり、一見無関係な量が等しいという事実) は、日常の経験でよく知られています。平面上に 3 つの点を描き、3 つの点間の距離を計算するという簡単な例を考えてみましょう。点がランダムに配置されている場合、一般的にこれらの距離はすべて異なります。ただし、120 度回転しても画像が変わらないように点が配置されている場合、点間の距離はすべて等しくなります (この状況は正三角形を表します)。観察された退化は、システムが D ₃対称性を持つという事実に要約されます。

量子力学では、計算は（少なくとも形式的には）エルミート行列の対角化、特にハミルトニアン、または連続の場合は線形微分方程式の解に要約されます。ここでも、固有スペクトルで観察される退化は、離散的（または連続的）対称性の結果です。後者の場合、ノイマンの定理によっても保存電流が保証されます。「偶然の」対称性は、明らかに対称性の結果ではない観察される退化に付けられた名前です。

この用語は誤解を招く恐れがあります。なぜなら、観察される縮退は偶然ではなく、与えられた基底のハミルトニアンからすぐには明らかではない「隠れた」対称性の結果であることが多いからです。非相対論的な水素原子は、この良い例です。構造上、そのハミルトニアンは 3 次元の完全な回転群 SO(3) の下で不変です。あまり明らかではない特徴は、ハミルトニアンは SO(3) の 4D への拡張である SO(4) の下でも不変であるということです。SO(3) はそのサブグループです (別の言い方をすると、3D で可能なすべての回転は 4D でも可能であり、追加の軸を中心に回転しないだけであるということです)。これが、水素の固有スペクトルで観察される「偶然の」縮退を引き起こします。

別の例として、エルミート行列を考えてみましょう。行列要素間にはすでに示唆的な関係がいくつか存在しますが、この行列の対称性が一目見ただけでは明らかではありません。ただし、ユニタリ変換により、この行列が次と同等であることは簡単に示せます。これは、最初の行と列を削除して形成された部分行列を数値的に（または解析的に -チェビシェフ多項式を参照）対角化することで直接確認できます。結果として得られるユニタリを使用してこの部分行列を定義する基底を回転すると、元の行列が最初に述べた形式になります。この行列には P ₄置換対称性があり、この基底ではそれがはるかに簡単にわかり、「隠れた」対称性を構成できます。この場合、固有スペクトルに退化はありません。この技術的な理由は、各固有状態が P _{4の異なる}既約表現に関して変換されるためです。固有状態のいくつかのグループが「隠れた」対称群の同じ既約表現に対応するケースに遭遇した場合、退化が観察されます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&-0.5&-{\sqrt {0.5}}&0.5\\-0.5&-{\sqrt {2}}&0&0\\-{\sqrt {0.5}}&0&0&0\\0.5&0&0&{\sqrt {2}}\\\end{bmatrix}}}$



${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1&0&0\\1&0&1&0\\0&1&0&1\\0&0&1&0\\\end{bmatrix}}}$

この単純な 4x4 マトリックスの場合、対称性は推測できましたが (結局のところ、対称性は常に最初から存在していました)、マトリックスが大きければ、見つけるのはより困難だったでしょう。

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• 量子物理学における偶然の対称性