特殊ユニタリ群

数学において、SU( n )と表記されるn次の特殊ユニタリ群は、行列式が 1 であるn × nユニタリ行列のリー群です。

より一般的なユニタリ群の行列は、特殊なケースにおける実数 1 ではなく、絶対値 1 の 複素行列式を持つ場合があります。

群演算は行列の乗算である。特殊ユニタリ群は、ユニタリ群U( n )の正規部分群であり、すべてのn × nユニタリ行列からなる。コンパクトな古典群として、U( n )は上の標準内積を保存する群である。^{[a]それはそれ自体が}一般線型群の部分群であり、 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {SU} (n)\subset \operatorname {U} (n)\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} ).}$

SU ( n )群は素粒子物理学の標準モデルにおいて広く応用されており、特にSU(2)は電弱相互作用において、SU(3)は量子色力学において広く応用されている。^[1]

最も単純なケースSU(1)は、単一の要素のみを持つ自明な群です。群SU(2)は、ノルム1の四元数群 と同型であり、したがって3 次元球面と微分同相です。単位四元数は3 次元空間 (符号を除く) の回転を表すために使用できるため、SU(2)から核が{+ I , − I }である回転群SO(3)への射影準同型が存在します。^{[b]四元数はクリフォード代数}Cl(3)の偶数部分代数として識別できるため、SU(2)は実際には、回転のスピノル表現を可能にするスピノルの対称群の 1 つSpin (3) と同一です。

特殊ユニタリ群SU( n )は、厳密に実リー群である（より一般的な複素リー群に対して）。実多様体としての次元はn ² − 1である。位相的には、コンパクトかつ単連結である。^{[2]代数的には、}単純リー群である（つまり、そのリー代数は単純である。以下を参照）。^[3]

SU( n )の中心は巡回群と同型であり、対角行列ζI （ζはn乗根、Iはn × nの単位行列）で構成されます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

n ≥ 3 のときのその外部自己同型群は であり、 SU(2)の外部自己同型群は自明群である。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,}$

階数n − 1の最大トーラスは、行列式が1である対角行列の集合によって与えられます。SU( n )のワイル群は対称群S _nであり、符号付き置換行列によって表されます(符号は、行列式が1であることを保証するために必要です)。

SU( n )のリー代数はと表記され、通常の交換子をリー括弧とする、トレースレス反エルミートn × n複素行列の集合と同一視できます。素粒子物理学者は、交換子の− i倍で与えられるリー括弧を持つ、トレースレスエルミートn × n複素行列の集合という、同等の異なる表現をよく使用します。 ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$

のリー代数は、トレースがゼロのn × n歪エルミート行列から構成されます。 ^[4]この（実）リー代数は次元がn ² − 1です。このリー代数の構造に関する詳細は、以下の§ リー代数構造で説明します。 ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$

物理学の文献では、リー代数をトレースゼロのエルミート行列（歪エルミート行列ではなく）の空間と同一視するのが一般的です。つまり、物理学者のリー代数は数学者のものとは係数 だけ異なります。この慣例に従うと、トレースレスのエルミート複素n × n行列である生成子T _{a を}選択できます。ここで、 ${\displaystyle i}$

$${\displaystyle T_{a}\,T_{b}={\tfrac {1}{\,2n\,}}\,\delta _{ab}\,I_{n}+{\tfrac {1}{2}}\,\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\left(if_{abc}+d_{abc}\right)\,T_{c}}$$

ここで、f は構造定数であり、すべてのインデックスで反対称ですが、d係数はすべてのインデックスで対称です。

結果として、コミュテータは次のようになります。

$${\displaystyle ~\left[T_{a},\,T_{b}\right]~=~i\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\,f_{abc}\,T_{c}\;,}$$

対応する反交換子は次のようになります。

$${\displaystyle \left\{T_{a},\,T_{b}\right\}~=~{\tfrac {1}{n}}\,\delta _{ab}\,I_{n}+\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{d_{abc}\,T_{c}}~.}$$

交換関係における iの係数は物理学の慣例から生じるものであり、数学者の慣例を使用する場合には存在しません。

従来の正規化条件は

$${\displaystyle \sum _{c,e=1}^{n^{2}-1}d_{ace}\,d_{bce}={\frac {\,n^{2}-4\,}{n}}\,\delta _{ab}~.}$$

生成子はヤコビ恒等式を満たす: ^[5]

$${\displaystyle [T_{a},[T_{b},T_{c}]]+[T_{b},[T_{c},T_{a}]]+[T_{c},[T_{a},T_{b}]]=0.}$$

慣例により、物理学の文献では、生成子は前因子を持つトレースレスエルミート複素行列として定義されます。群の場合、生成子は次のように選択されます。ここではパウリ行列、 1の場合は として定義されます。ここではゲルマン行列です。^[6]これらの定義により、生成子は次の正規化条件を満たします。 ${\displaystyle T_{a}}$${\displaystyle 1/2}$${\displaystyle SU(2)}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma _{1},{\frac {1}{2}}\sigma _{2},{\frac {1}{2}}\sigma _{3}}$${\displaystyle \sigma _{a}}$${\displaystyle SU(3)}$${\displaystyle T_{a}={\frac {1}{2}}\lambda _{a}}$${\displaystyle \lambda _{a}}$

$${\displaystyle Tr(T_{a}T_{b})={\frac {1}{2}}\delta _{ab}.}$$

( n ² − 1)次元の随伴表現では、生成元は( n ² − 1) × ( n ² − 1)行列で表され、その要素は構造定数自体によって定義されます。

$${\displaystyle \left(T_{a}\right)_{jk}=-if_{ajk}.}$$

二項演算に行列乗算を用いると、 SU(2)は群を形成する。^[7]

$${\displaystyle \operatorname {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}~,}$$

ここで上線は複素活用を表します。

を およびのペアとして考えると、方程式は次のようになる。 ${\displaystyle \alpha ,\beta }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle \alpha =a+bi}$${\displaystyle \beta =c+di}$${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$

$${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1}$$

これは3次元球面S ³の方程式である。これは埋め込みを使っても見ることができる。つまり、写像

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \colon \mathbb {C} ^{2}\to {}&\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )\\[5pt]\varphi (\alpha ,\beta )={}&{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$$

ここで、 は2 行 2 列の複素行列の集合を表し、 は実線型写像の入射的写像です（ がに微分同相で に微分同相であると考えることにより）。したがって、φの3 次元球面への制限（モジュラスが 1 であるため）は、S ³で表され、 のコンパクトな部分多様体への 3 次元球面の埋め込み、つまりφ ( S ³ ) = SU(2)です。 ${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$

したがって、多様体として、S ^{3 は}SU(2)に微分同相であり、これは SU(2)が単連結であり、S ^{3 が}コンパクトで連結なリー群の構造を備えることができることを示しています。

ノルム1の四元数は回転群SO(3)を生成するためバーソルと呼ばれる。SU (2)行列:

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}\quad (a,b,c,d\in \mathbb {R} )}$$

四元数にマッピングできる

$${\displaystyle a\,{\hat {1}}+b\,{\hat {i}}+c\,{\hat {j}}+d\,{\hat {k}}}$$

この写像は実際には群同型である。さらに、行列の行列式は対応する四元数の二乗ノルムである。明らかにSU(2)の任意の行列はこの形式であり、行列式が 1であるため、対応する四元数はノルムが1である。したがってSU(2)はベルソル群と同型である。^[8]

すべてのバーソルは、3次元の空間回転に自然に関連付けられ、バーソルの積は、関連付けられた回転の合成に関連付けられます。さらに、すべての回転は、このように正確に2つのバーソルから生じます。簡単に言うと、SU(2)からSO(3)への2:1 射影準同型があり、その結果、SO(3) は商群 SU(2)/{±I}に同型であり、 SO(3)の基礎となる多様体は、3次元球面S ³の反対称点を特定することによって得られ、SU(2) はSO(3)の普遍被覆です。

SU(2)のリー代数はトレースゼロの2×2歪エルミート行列から構成される。 ^[9]明示的には、

$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\left\{{\begin{pmatrix}i\ a&-{\overline {z}}\\z&-i\ a\end{pmatrix}}:\ a\in \mathbb {R} ,z\in \mathbb {C} \right\}~.}$$

リー代数は次の行列によって生成される。

$${\displaystyle u_{1}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}},\quad u_{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\quad u_{3}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}~,}$$

上記で指定した一般要素の形式を持ちます。

これはパウリ行列を使用してと書くこともできます。 ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \left\{i\sigma _{1},i\sigma _{2},i\sigma _{3}\right\}}$

これらは四元数関係を 満たし 、 したがって交換子括弧は次のように指定さ れる。${\displaystyle u_{2}\ u_{3}=-u_{3}\ u_{2}=u_{1}~,}$ ${\displaystyle u_{3}\ u_{1}=-u_{1}\ u_{3}=u_{2}~,}$${\displaystyle u_{1}u_{2}=-u_{2}\ u_{1}=u_{3}~.}$

$${\displaystyle \left[u_{3},u_{1}\right]=2\ u_{2},\quad \left[u_{1},u_{2}\right]=2\ u_{3},\quad \left[u_{2},u_{3}\right]=2\ u_{1}~.}$$

上記の生成子は、および によってパウリ行列と関連付けられます。この表現は、電子などの基本粒子のスピンを表すために量子力学で日常的に使用されます。また、ループ量子重力における 3 つの空間次元の記述の単位ベクトルとしても機能します。これらは、ブロッホ球の軸を中心とした 3D 回転に対応する、単一量子ビット ゲートの標準的な生成子であるパウリ X、Y、Z ゲートにも対応します。 ${\displaystyle u_{1}=i\ \sigma _{1}~,\,u_{2}=-i\ \sigma _{2}}$${\displaystyle u_{3}=+i\ \sigma _{3}~.}$

リー代数はSU(2)の表現を解明するために役立ちます。

SU(3)群は、行列式が1であるすべての3×3ユニタリ行列からなる8次元の単純リー群です。

群SU(3)は単連結でコンパクトなリー群である。^{[10]その位相構造は、} SU(3) がの単位球面に推移的に作用することに注目することで理解できる。球面上の任意の点の安定化群は、位相的には 3 次元球面であるSU(2)と同型である。したがって、 SU(3)は、ファイバーS ³を持つ基底S ⁵上のファイバー束である。ファイバーと基底は単連結であるため、SU(3)の単純連結性は、標準的な位相的結果（ファイバー束のホモトピー群の長い正確な列）によって導かれる。 ^[11]${\displaystyle S^{5}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}\cong \mathbb {R} ^{6}}$

S ⁵上のSU (2)バンドルはによって分類される。なぜなら、そのようなバンドルは、2つの半球面上の自明なバンドルと、それらの交差上の遷移関数（ S ⁴のコピー）を見ることによって構成できるためである。 ${\displaystyle \pi _{4}{\mathord {\left(S^{3}\right)}}=\mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle S_{\text{N}}^{5},S_{\text{S}}^{5}}$

$${\displaystyle S_{\text{N}}^{5}\cap S_{\text{S}}^{5}\simeq S^{4}}$$

そして、そのような遷移関数はすべて写像のホモトピー類によって分類される。

$${\displaystyle \left[S^{4},\mathrm {SU} (2)\right]\cong \left[S^{4},S^{3}\right]=\pi _{4}{\mathord {\left(S^{3}\right)}}\cong \mathbb {Z} /2}$$

そして、ではなく、SU(3)は自明なバンドルSU(2) × S ⁵ ≅ S ³ × S ⁵にはなれないので、唯一の非自明な（ねじれた）バンドルでなければなりません。これは、ホモトピー群上の誘導された長い完全列を見ることによって示されます。 ${\displaystyle \pi _{4}(\mathrm {SU} (3))=\{0\}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$

SU(3)の表現論はよく理解されている。^[12]複素化リー代数の観点から見たこれらの表現の記述は、リー代数表現またはSU(3)のクレプシュ・ゴルダン係数に関する論文に記載されている。 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {C} )}$

SU(3)のリー代数の定義的（素粒子物理学、エルミート）表現における 生成元Tは、${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$

$${\displaystyle T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}~,}$$

ここでλa、ゲルマン行列は_SU (2)のパウリ行列のSU(3)類似体である。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}={}&{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{2}={}&{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{3}={}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{4}={}&{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{5}={}&{\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{6}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}},&\lambda _{7}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}},&\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$

これらのλ _{a は}、要求に応じて、リー代数のすべてのトレースレスエルミート行列 Hを張ります。λ ₂、λ ₅、λ ₇は反対称であることに注意してください。

彼らは関係に従う

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[T_{a},T_{b}\right]&=i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}T_{c},\\\left\{T_{a},T_{b}\right\}&={\frac {1}{3}}\delta _{ab}I_{3}+\sum _{c=1}^{8}d_{abc}T_{c},\end{aligned}}}$$

あるいは、同等に、

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\lambda _{a},\lambda _{b}\right]&=2i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}\lambda _{c},\\\{\lambda _{a},\lambda _{b}\}&={\frac {4}{3}}\delta _{ab}I_{3}+2\sum _{c=1}^{8}{d_{abc}\lambda _{c}}.\end{aligned}}}$$

fはリー代数の 構造定数であり、次のように与えられる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{123}&=1,\\f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}&={\frac {1}{2}},\\f_{458}=f_{678}&={\frac {\sqrt {3}}{2}},\end{aligned}}}$$

一方、これらと順列関係のない他のすべてのf _{abc は}ゼロです。一般に、集合{2, 5, 7}からの奇数のインデックスを含まない限り、それらは消えます。^[c]

対称係数dは値を取る

$${\displaystyle {\begin{aligned}d_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\\d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}&=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\\d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}=-d_{247}=d_{146}=d_{157}=d_{256}&={\frac {1}{2}}~.\end{aligned}}}$$

集合{2, 5, 7}のインデックスの数が奇数の場合、それらは消えます。

トレースレス3×3エルミート行列Hによって生成される一般的なSU(3)群要素は、 tr( H ² ) = 2として正規化され、 Hの2次行列多項式として表すことができます。^[13]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(i\theta H)={}&\left[-{\frac {1}{3}}I\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin(\varphi )-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin(\varphi )\right)}{\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\end{aligned}}}$$ LPは

$${\displaystyle \varphi \equiv {\frac {1}{3}}\left[\arccos \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\det H\right)-{\frac {\pi }{2}}\right].}$$

上で述べたように、 SU( n )のリー代数はトレースゼロを持つn × nの歪エルミート行列から構成される。^[14]${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$

リー代数の複素化は、トレースがゼロであるすべてのn × n複素行列の空間です。^[15]カルタン部分代数はトレースがゼロである対角行列で構成され、^[16]これは、要素の合計がゼロになるベクトルと同一視されます。根は、 (1, −1, 0, ..., 0)のすべてのn（n −1）順列で構成されます。 ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

単純なルートの選択は

$${\displaystyle {\begin{aligned}(&1,-1,0,\dots ,0,0),\\(&0,1,-1,\dots ,0,0),\\&\vdots \\(&0,0,0,\dots ,1,-1).\end{aligned}}}$$

したがって、SU( n )はランク n −1であり、そのディンキン図はAn _{− 1 、つまり}n −1個のノードのチェーンで表されます。...^[17]そのカルタン行列は

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&0&\dots &0\\-1&2&-1&\dots &0\\0&-1&2&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &2\end{pmatrix}}.}$$

そのワイル群またはコクセター群は対称群 S _n、つまり( n − 1)単体の対称群です。

体 Fに対して、F上の一般化された特殊ユニタリ群SU( p , q ; F )は、符号( p , q )の非退化エルミート形式を不変にする、階数n = p + qのF上のベクトル空間の行列式1のすべての線型変換の群です。この群は、しばしば、符号p qのF上の特殊ユニタリ群と呼ばれます。体F は可換環で置き換えることができ、その場合、ベクトル空間は自由加群で置き換えられます。

具体的には、シグネチャp qのエルミート行列 Aを に固定すると、 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle M\in \operatorname {SU} (p,q,\mathbb {R} )}$$

満足する

$${\displaystyle {\begin{aligned}M^{*}AM&=A\\\det M&=1.\end{aligned}}}$$

環や体を参照せずにSU( p , q )という表記を目にすることが多い。この場合、参照される環や体は であり、これは古典的なリー群の1つを与える。のときのAの標準的な選択は ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \operatorname {F} =\mathbb {C} }$

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&0&i\\0&I_{n-2}&0\\-i&0&0\end{bmatrix}}.}$$

しかし、の部分環への制限下でより多くの動作を示す特定の次元については、 Aのより良い選択肢がある可能性があります。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$

このタイプの群の重要な例としては、ピカール・モジュラー群が挙げられる。ピカール・モジュラー群は、2次元の実 双曲空間に（射影的に）作用するのと同様に、2次元の複素双曲空間に（射影的に）作用する。2005年にガボール・フランシックとピーター・ラックスはこの群のHC ²への作用の明示的な基本領域を計算した。^[18]${\displaystyle \operatorname {SU} (2,1;\mathbb {Z} [i])}$${\displaystyle \operatorname {SL} (2,9;\mathbb {Z} )}$

さらなる例としては があり、これは と同型です。 ${\displaystyle \operatorname {SU} (1,1;\mathbb {C} )}$${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$

物理学では、特殊ユニタリー群はフェルミオン対称性を表すのに用いられる。対称性の破れの理論では、特殊ユニタリー群の部分群を見つけられることが重要である。GUT物理学で重要なSU( n )の部分群は、p >1、n − p >1の場合、

$${\displaystyle \operatorname {SU} (n)\supset \operatorname {SU} (p)\times \operatorname {SU} (n-p)\times \operatorname {U} (1),}$$

ここで、 × は直積を表し、U(1) は円群として知られ、絶対値が1であるすべての複素数の乗法群です 。

完全性のために、直交部分群とシンプレクティック部分群も存在する。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {SU} (n)&\supset \operatorname {SO} (n),\\\operatorname {SU} (2n)&\supset \operatorname {Sp} (n).\end{aligned}}}$$

SU( n )のランクはn −1でU(1)のランクは1なので、サブグループのランクの合計が元のグループのランク以下であることを確認することが有用である。SU ( n )は他の様々なリー群のサブグループであり、

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {SO} (2n)&\supset \operatorname {SU} (n)\\\operatorname {Sp} (n)&\supset \operatorname {SU} (n)\\\operatorname {Spin} (4)&=\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)\\\operatorname {E} _{6}&\supset \operatorname {SU} (6)\\\operatorname {E} _{7}&\supset \operatorname {SU} (8)\\\operatorname {G} _{2}&\supset \operatorname {SU} (3)\end{aligned}}}$$E ₆、E ₇、G ₂については、スピン群と単純リー群を 参照してください。

偶然の同型も存在する：SU(4) = Spin(6)、SU(2) = Spin(3) = Sp(1)、^[d]、U(1) = Spin(2) = SO(2)。

最後に、 SU(2)はSO(3)の二重被覆群であり、この関係は非相対論的量子力学における2スピノルの回転の理論で重要な役割を果たすことに言及しておく。

${\displaystyle \mathrm {SU} (1,1)=\left\{{\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}\in M(2,\mathbb {C} ):uu^{*}-vv^{*}=1\right\},}$ここで、 は複素数uの複素共役を表します。 ${\displaystyle ~u^{*}~}$

この群はSL(2,ℝ)およびSpin(2,1) ^[19]と同型であり、コンマで区切られた数字は群によって保存される二次形式の符号を表します。SU (1,1)の定義の式はエルミート形式であり、 uとvを実数成分で展開すると 等方二次形式になります。${\displaystyle ~uu^{*}-vv^{*}~}$

この群の初期の登場は、1852年に ジェームズ・コックルによって導入されたコクアタニオンの「単位球面」でした。

$${\displaystyle j={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\,,\quad k={\begin{bmatrix}1&\;~0\\0&-1\end{bmatrix}}\,,\quad i={\begin{bmatrix}\;~0&1\\-1&0\end{bmatrix}}~.}$$

すると、2×2 単位行列、および、要素i、j、kはすべて、四元数の場合と同様に反交換になります。また、は依然として− I ₂ (単位行列の負)の平方根ですが、四元数の場合とは異なり、 はそうではありません。四元数と余四元数の両方において、すべてのスカラー量はI ₂の暗黙の倍数として扱われ、1と表記されます。 ${\displaystyle ~j\,k={\begin{bmatrix}0&-1\\1&\;~0\end{bmatrix}}=-i~,~}$ ${\displaystyle ~i\,j\,k=I_{2}\equiv {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}~,~}$${\displaystyle ~k\,i=j~,}$${\displaystyle \;i\,j=k\;,}$${\displaystyle i}$${\displaystyle ~j^{2}=k^{2}=+I_{2}~}$

スカラーwを持つコクオータニオンはハミルトンのクオータニオンと共役である。その二次形式は${\displaystyle ~q=w+x\,i+y\,j+z\,k~}$${\displaystyle ~q=w-x\,i-y\,j-z\,k~}$${\displaystyle ~q\,q^{*}=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

2 枚双曲面は代数の 虚数単位に対応しており、この双曲面上の任意の点p はオイラーの公式に従って正弦波の極として使用できることに注意してください。 ${\displaystyle \left\{xi+yj+zk:x^{2}-y^{2}-z^{2}=1\right\}}$

双曲面はSU(1, 1)の下で安定しており、 Spin(2, 1)と同型であることを示しています。偏光の研究で指摘されているように、波の極の可変性は、楕円偏光を極${\displaystyle ~p\neq \pm i~}$を持つ波の楕円形状の表れと見なすことができます。 1892年以来使用されているポアンカレ球モデルは2シート双曲面モデルと比較されており、^[20] SU(1, 1)干渉法の実践が導入されています。

SU(1, 1)の元をメビウス変換として解釈すると、単位円板は安定するので、この群は双曲平面幾何学のポアンカレ円板モデルの動きを表す。実際、複素射影直線上の点[ z, 1 ]に対して、 SU(1, 1)の作用は次のように与えられる。

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}\,{\bigl [}\;z,\;1\;{\bigr ]}=[\;u\,z+v,\,v^{*}\,z+u^{*}\;]\,=\,\left[\;{\frac {uz+v}{v^{*}z+u^{*}}},\,1\;\right]}$$

射影座標では ${\displaystyle (\;u\,z+v,\;v^{*}\,z+u^{*}\;)\thicksim \left(\;{\frac {\,u\,z+v\,}{v^{*}\,z+u^{*}}},\;1\;\right).}$

複素数演算の 書き方は${\displaystyle \;suv+{\overline {suv}}=2\,\Re {\mathord {\bigl (}}\,suv\,{\bigr )}\;,}$

$${\displaystyle {\bigl |}u\,z+v{\bigr |}^{2}=S+z\,z^{*}\quad {\text{ and }}\quad {\bigl |}v^{*}\,z+u^{*}{\bigr |}^{2}=S+1~,}$$ どこ${\displaystyle S=v\,v^{*}\left(z\,z^{*}+1\right)+2\,\Re {\mathord {\bigl (}}\,uvz\,{\bigr )}.}$

したがって、それらの比率は開いたディスク内にあります。^[21]${\displaystyle z\,z^{*}<1\implies {\bigl |}uz+v{\bigr |}<{\bigl |}\,v^{*}\,z+u^{*}\,{\bigr |}}$

• ユニタリ群
• 射影特殊ユニタリ群、PSU( n )
• 直交群
• パウリ行列の一般化
• SU(2)の表現論