メトリック接続

数学 において、計量接続とは、束計量を備えたベクトル束Eの接続である。つまり、任意の 2 つのベクトルを任意の曲線に沿って平行移動させたときに、それらのベクトルの内積が同じままになる計量である。^[1] これは次と同等である。

• E上の計量の共変微分が消える接続。
• Eの正規直交フレームのバンドル上の主接続。

計量接続の特殊なケースはリーマン接続です。捩れのない唯一の接続、レヴィ・チヴィタ接続が存在します。この場合、バンドルE は多様体の接バンドル TMであり、 E上の計量はM上のリーマン計量によって誘導されます。

計量接続の別の特殊なケースはヤン・ミルズ接続であり、これはヤン・ミルズの運動方程式を満たします。接続とその曲率を定義する仕組みのほとんどは、バンドル計量との互換性を必要とせずに実行できます。ただし、互換性が必要になると、この計量接続は、ヤン・ミルズ方程式を定式化するために必要な内積、ホッジスター（さらに方向の選択が必要）、およびラプラシアンを定義します。

をベクトル束Eの任意の局所断面とし、X を束の基底空間M上のベクトル場とします。束計量、つまりEのベクトルファイバー上の計量を定義します。このとき、E上の接続D は、次の条件を満たす場合計量接続です。 ${\displaystyle \sigma ,\tau }$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

${\displaystyle d\langle \sigma ,\tau \rangle =\langle D\sigma ,\tau \rangle +\langle \sigma ,D\tau \rangle .}$

ここでd はスカラー関数の常微分です。共変微分は、基底空間上の E値微分形式への写像として機能するように拡張できます。

${\displaystyle D:\Gamma (E)\otimes \Omega ^{p}(M)\to \Gamma (E)\otimes \Omega ^{p+1}(M).}$

関数 に対して定義し、 ${\displaystyle D_{X}f=d_{X}f\equiv Xf}$${\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M)}$

${\displaystyle D(\sigma \otimes \omega )=D\sigma \wedge \omega +\sigma \otimes d\omega }$

ここで、はベクトル束の局所滑らかな断面であり、は（スカラー値の）p形式です。上記の定義は、局所滑らかなフレームと局所断面にも適用されます。 ${\displaystyle \sigma \in \Gamma (E)}$${\displaystyle \omega \in \Omega ^{p}(M)}$

Eに課せられたバンドル メトリックは、任意のベクトル バンドルに固有のベクトル空間とその双対の自然なペアリングと混同してはならない。後者は自己準同型バンドル上の関数であり、 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle {\mbox{End}}(E)=E\otimes E^{*},}$

${\displaystyle (\cdot ,\cdot ):E\otimes E^{*}\to M\times \mathbb {R} }$

Mの各点の上にある双対ベクトル（関数）を持つベクトルをペアにします。つまり、 がE上の任意の局所座標フレームである場合、 を満たすE *上の双対座標フレームが自然に得られます。 ${\displaystyle \{e_{i}\}}$${\displaystyle \{e_{i}^{*}\}}$${\displaystyle (e_{i},e_{j}^{*})=\delta _{ij}}$

対照的に、バンドルメトリックは${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle E\otimes E,}$

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :E\otimes E\to M\times \mathbb {R} }$

Eの各ベクトル空間ファイバー上の内積を与える。バンドル計量により、次の式で正規直交座標系を定義することができる。${\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle =\delta _{ij}.}$

ベクトルバンドルが与えられれば、その上にバンドルメトリックを定義することが常に可能です。

標準的な慣例に従うと、^[1]では、バンドル メトリックを参照せずに、ペアリング のみを使用して、接続形式、クリストッフェル記号、リーマン曲率を定義できます。これらは通常の対称性特性に従います。たとえば、曲率テンソルは最後の 2 つのインデックスで反対称になり、2 番目のビアンキ恒等式を満たします。ただし、ホッジ スター、ラプラシアン、最初のビアンキ恒等式、およびヤン–ミルズ関数を定義するには、バンドル メトリックが必要です。ホッジ スターはさらに方向の選択を必要とし、その引数のホッジ双対を生成します。 ${\displaystyle (\cdot ,\cdot ).}$

局所バンドルチャートが与えられた場合、共変微分は次のように表される。

${\displaystyle D=d+A}$

ここで、A は接続 1 形式です。

表記法の仕組みを少し説明しましょう。 はE上の微分可能セクションの空間、 はM上のp形式の空間、​​ はE上の自己準同型写像を表します。ここで定義されている共変微分は、写像です。 ${\displaystyle \Gamma (E)}$${\displaystyle \Omega^{p}(M)}$${\displaystyle {\mbox{End}}(E)=E\otimes E^{*}}$

${\displaystyle D:\Gamma (E)\to \Gamma (E)\otimes \Omega ^{1}(M)}$

接続形式は接続係数を用いて次のよう に表すことができる。

${\displaystyle A_{j}{}^{k}\ =\ \Gamma^{k}{}_{ij}\,dx^{i}.}$

この表記のポイントは、ファイバーのn次元にわたるインデックスj、kを、 m次元の基本空間にわたるインデックスiと区別することです。以下のリーマン接続の場合、ベクトル空間E は接束TMとみなされ、n = mとなります。

接続形式のAの表記は物理学に由来し、歴史的には電磁気学とゲージ理論のベクトルポテンシャル場を参照しています。数学では、接続形式に関する記事にあるように、Aの代わりにこの表記がよく使用されます。残念ながら、接続形式に を使用すると、ベクトル束上の一般的な交代形式を表すの使用と衝突します。 ${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega}$

接続はベクトル空間（ファイバー）インデックスにおいて歪対称です。つまり、与えられたベクトル場に対して、行列は歪対称です。つまり、それはリー代数の要素です。 ${\displaystyle X\in TM}$${\displaystyle A(X)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {o}}(n)}$

これは次のように考えることができます。ファイバーがn次元であるとすると、バンドルEにはi = 1, 2, ..., nの正規直交ローカルフレーム が与えられます。定義により、 となり、次のようになります。 ${\displaystyle \{e_{i}\}}$${\displaystyle de_{i}\equiv 0}$

${\displaystyle De_{i}=Ae_{i}=A_{i}{}^{j}e_{j}.}$

さらに、バンドル チャートの各点に対して、ローカル フレームは正規直交です。 ${\displaystyle x\in U\subset M}$

${\displaystyle \langle e_{i}(x),e_{j}(x)\rangle =\delta _{ij}.}$

あらゆるベクトルに対して、 ${\displaystyle X\in T_{x}M}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=X\langle e_{i}(x),e_{j}(x)\rangle \\&=\langle A(X)e_{i}(x),e_{j}(x)\rangle +\langle e_{i}(x),A(X)e_{j}(x)\rangle \\&=A_{i}{}^{j}(X)+A_{j}{}^{i}(X)\\\end{aligned}}}$

つまり、歪対称です。 ${\displaystyle A=-A^{\text{T}}}$

これはバンドルメトリックを明示的に使用することで得られます。これを使用せず、ペアリングのみを使用すると、 AからEへの接続をその双対A ^∗からE ^∗への接続に関連付けることしかできません。 これは、双対接続の定義から次のように導かれます。${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle A^{*}=-A^{\text{T}}.}$${\displaystyle d(\sigma ,\tau ^{*})=(D\sigma ,\tau ^{*})+(\sigma ,D^{*}\tau ^{*}).}$

接続の曲率を表す表記法はいくつかあり、その中には、場の強度テンソル を表すためにF を使用する現代的な表記法、曲率テンソルとしてR を使用する古典的な表記法、リーマン曲率テンソルを表す古典的な表記法などがあり、そのほとんどはベクトル束の場合に自然に拡張できます。これらの定義はいずれも計量テンソルや束計量を必要としないため、これらを参照しなくても非常に具体的に定義できます。ただし、定義には、上で説明したように、 Eの自己準同型性の明確な考え方が必要です。

曲率Fの最も簡潔な定義は、接続が正確でなくなる量によって与えられる、内の値を取る2次元形式として定義することです。つまり、 ${\displaystyle {\mbox{End}}(E)}$

${\displaystyle F=D\circ D}$

これは

${\displaystyle F\in \Omega ^{2}(M)\otimes {\mbox{End}}(E),}$

または同等に、

${\displaystyle F:\Gamma (E)\to \Gamma (E)\otimes \Omega ^{2}(M)}$

これを他の一般的な定義や表記法と関連づけるために、E上のセクションを とする。上記に挿入して展開すると、 ${\displaystyle \sigma \in \Gamma (E)}$

${\displaystyle F\sigma =(D\circ D)\sigma =(d+A)\circ (d+A)\sigma =(dA+A\wedge A)\sigma }$

または、セクションを削除する

${\displaystyle F=dA+A\wedge A}$

簡潔な定義として。

成分に関しては、 が余接バンドルT ^* Mに基づく標準の1 形式座標であるとします。 を上に挿入して展開すると、次式が得られます (和の規則を使用)。 ${\displaystyle A=A_{i}dx^{i},}$${\displaystyle dx^{i}}$

${\displaystyle F={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial A_{j}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{j}}}+[A_{i},A_{j}]\right)dx^{i}\wedge dx^{j}.}$

n次元ベクトル空間の場合、それぞれはn × n行列であり、そのインデックスは非表示になっていますが、インデックスiとj は1,..., mにわたっており、mは基礎となる多様体の次元です。次のセクションで示すように、これらのインデックスは両方とも同時に明示することができます。 ${\displaystyle A_{i}}$

ここで提示した表記法は物理学で一般的に使用されているもので、例えばグルーオン場の強度テンソルとしてすぐに認識できます。アーベルの場合、n =1 であり、ベクトル束は 1 次元です。交換子は消え、上記はほぼ標準的な物理学の表記法で 電磁テンソルとして認識できます。

全てのインデックスは、滑らかなフレーム , i = 1, ..., nを に与えることで明示的に表すことができます。与えられたセクションは次のように記述できます。 ${\displaystyle \{e_{i}\}}$${\displaystyle \Gamma (E)}$${\displaystyle \sigma \in \Gamma (E)}$

${\displaystyle \sigma =\sigma ^{i}e_{i}}$

この局所フレームでは、接続形式は次のようになる。

${\displaystyle (A_{i}dx^{i})_{j}{}^{k}=\Gamma ^{k}{}_{ij}dx^{i}}$

はクリストッフェル記号である。また、添え字i は1, ..., m (基底多様体Mの次元)を通り、添え字 jとk は1, ..., n (ファイバーの次元)を通ります。クランクを挿入して回すと、次の式が得られます。 ${\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F\sigma &={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \Gamma ^{k}{}_{jr}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial \Gamma ^{k}{}_{ir}}{\partial x^{j}}}+\Gamma ^{k}{}_{is}\Gamma ^{s}{}_{jr}-\Gamma ^{k}{}_{js}\Gamma ^{s}{}_{ir}\right)\sigma ^{r}dx^{i}\wedge dx^{j}\otimes e_{k}\\&=R^{k}{}_{rij}\sigma ^{r}dx^{i}\wedge dx^{j}\otimes e_{k}\\\end{aligned}}}$

ここで、はリーマン曲率テンソルとして識別できます。これは、20 世紀中盤の一般相対性理論の多くの教科書で一般的に採用されているスタイルで書かれています (早い段階でインデックスなしの表記を推進したMTWなどのいくつかの注目すべき例外を除く)。ここでも、インデックスiとj は多様体Mの次元にわたっており、rとk はファイバーの次元にわたっています。 ${\displaystyle R^{k}{}_{rij}}$

上記は、接線束TMの標準基底要素として記述することで、ベクトル場スタイルにバックポートすることができます。次に、曲率テンソルを次のように定義します。 ${\displaystyle \partial /\partial x^{i}}$

${\displaystyle R\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}},{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right)\sigma =\sigma ^{r}R_{\;rij}^{k}e_{k}}$

空間方向が再吸収され、その結果、表記は次のようになる。

${\displaystyle F\sigma =R(\cdot ,\cdot )\sigma }$

あるいは、 TM上のベクトル場XとYで表現することで、インデックスを隠したまま空間方向を明らかにすることもできる。標準基底では、Xは

${\displaystyle X=X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$

Yについても同様です。少しの間プラグアンドチャグをすると、次のようになります。

${\displaystyle R(X,Y)\sigma =D_{X}D_{Y}\sigma -D_{Y}D_{X}\sigma -D_{[X,Y]}\sigma }$

どこ

${\displaystyle [X,Y]={\mathcal {L}}_{Y}X}$

はベクトル場YのXに関するリー微分です。

要約すると、曲率テンソルは繊維を繊維にマッピングします。

${\displaystyle R(X,Y):\Gamma (E)\to \Gamma (E)}$

となることによって

${\displaystyle R(\cdot ,\cdot ):\Omega ^{2}(M)\otimes \Gamma (E)\to \Gamma (E)}$

明確に言えば、は同じものの別の表記である。上記の操作のいずれも、バンドルメトリックを経由する必要がなかったことに注目してください。また、2番目のビアンキ恒等式を証明することもできます。 ${\displaystyle F=R(\cdot ,\cdot )}$

${\displaystyle DF=0}$

バンドル メトリックを一切使用する必要はありません。

曲率テンソルの上記の展開では、バンドル メトリックにはまったく言及していません。つまり、DまたはAがメトリック接続であると仮定する必要はありませんでした。ベクトル バンドル上の接続があるだ​​けで、上記の形式を取得できます。さまざまな表記法のバリエーションはすべて、バンドルのファイバーの自己準同型性を考慮するだけで直接得られます。

バンドル計量はホッジスターとホッジ双対を定義するために必要であり、それはラプラシアンを定義し、

${\displaystyle D{\star }F=0}$

この恒等式を満たす接続は、ヤン・ミルズ接続と呼ばれる。この接続は、ヤン・ミルズ作用に適用されるオイラー・ラグランジュ方程式の臨界点であることが示される。

${\displaystyle YM_{D}=\int _{M}(F,F){\star }(1)}$

ここで、は体積要素、定数 1 のホッジ双対です。このアクションを構築するには、 E上の計量接続、 End( E )上の内積(2 次カシミール演算子(行列のペアのトレース) と同等)、およびホッジ双対の 3 つの異なる内積が必要であることに注意してください。 ${\displaystyle {\star }(1)}$

計量接続の重要な特殊なケースはリーマン接続です。これは、擬似リーマン多様体( M、g )の接バンドル上の接続であり、 M上のすべてのベクトル場Xに対してとなります。同様に、それが定義する平行移動が計量g を保存する場合、 はリーマンです。 ${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle \nabla _{X}g=0}$${\displaystyle \nabla }$

与えられた接続がリーマン接続であるのは、 ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \partial _{X}(g(Y,Z))=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)}$

M上のすべてのベクトル場X、Y、Zに対して、このベクトル場に沿った関数の微分を表します。 ${\displaystyle \partial _{X}(g(Y,Z))}$${\displaystyle g(Y,Z)}$${\displaystyle X}$

レヴィ-チヴィタ接続は、多様体上のねじれのないリーマン接続です。リーマン幾何学の基本定理により一意です。すべてのリーマン接続に対して、対応する (一意の) レヴィ-チヴィタ接続を書くことができます。この 2 つの違いは、ねじれテンソルによって与えられます。

成分表記では、共変微分は 計量テンソルと互換性があり、 ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle g_{ab}}$

${\displaystyle \nabla _{\!c}\,g_{ab}=0.}$

他の共変微分も定義できますが、通常は計量に適合するものだけを考慮します。これは、2 つの共変微分 と が与えられた場合、一方から他方へ変換するテンソルが存在するためです。 ${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle \nabla '}$

${\displaystyle \nabla _{a}x_{b}=\nabla _{a}'x_{b}-{C_{ab}}^{c}x_{c}.}$

空間がねじれもない場合、テンソルは最初の 2 つのインデックスで対称になります。 ${\displaystyle {C_{ab}}^{c}}$

この設定では表記法を変えて、 Dの代わりにナブラ記号 ∇ を使用するのが慣例です。他の点では、これら 2 つは同じものです。つまり、前のセクションの ∇ = Dです。

同様に、 E上の内積はTM上の計量テンソルgに置き換えられます。これは歴史的な用法と一致していますが、混乱も避けられます。ベクトル束Eの一般的なケースでは、基礎となる多様体Mに計量が備わっているとは想定されていません。TM上の計量gとE上の束計量の両方を持つ多様体の特殊なケースは、カルツァ＝クラインの理論につながります。 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

• 垂直束と水平束

• ワシントン州ロドリゲス。フェルナンデス、バーモント州。モヤ、AM (2005)。 「メトリック互換の共変導関数」。arXiv : math/0501561。
• ウォルド、ロバート・M.（1984）『一般相対性理論』シカゴ大学出版局、ISBN 0-226-87033-2
• Schmidt, BG (1973). 「接続がメトリック接続となる条件」. Commun. Math. Phys . 29 (1): 55–59. Bibcode :1973CMaPh..29...55S. doi :10.1007/bf01661152. hdl : 10338.dmlcz/127117 . S2CID  121543450.