フェルマー点

ユークリッド幾何学において、三角形のフェルマー点は、トリチェリ点またはフェルマー・トリチェリ点とも呼ばれ、三角形の3つの頂点のそれぞれからその点までの距離の合計が最小となる点である^[1]。または、 3つの頂点の幾何学的中線と同義である。この問題はフェルマーがエヴァンジェリスタ・トリチェリに宛てた私信の中で初めて提起し、トリチェリがそれを解決した ため、このように名付けられた。

フェルマー点は、 3 点の幾何中央値問題とシュタイナー木問題の解を与えます。

最大角が120°以下の三角形のフェルマー点は、単純にその第一等角中心またはX(13)であり、^[2]次のように構築されます。

1. 与えられた三角形の任意に選ばれた 2 辺のそれぞれに正三角形を作成します。
2. 新しい各頂点から元の三角形の反対側の頂点まで線を引きます。
3. 2本の直線はフェルマー点で交差します。

別の方法は次のとおりです。

1. 任意に選んだ 2 辺のそれぞれに、その辺を底辺とし、底辺の角度が 30 度で、各二等辺三角形の 3 番目の頂点が元の三角形の外側に位置する二等辺三角形を作成します。
2. それぞれの二等辺三角形に対して、その二等辺三角形の新しい頂点を中心とし、その二等辺三角形の新しい 2 辺のそれぞれに等しい半径を持つ円を描きます。
3. 元の三角形の内側にある 2 つの円の交点がフェルマー点です。

三角形の角度が 120° を超える場合、フェルマー点は鈍角の頂点に位置します。

以下の「ケース 1」は、三角形の角度が 120° を超えることを意味します。「ケース 2」は、三角形のどの角度も 120° を超えないことを意味します。

図 2 は、任意の三角形△ ABCの辺に取り付けられた正三角形△ ARB、△ AQC、△ CPB を示しています。図 2 の3 つの直線RC、BQ、AP がすべて点Fで交差し、60° の角度で互いに切断されることを、 同心円上の点の性質を使用して証明します。

三角形△ RAC、 △ BAQ は、2 番目の三角形が最初の三角形をA を中心に 60° 回転させたものであるため、合同です。したがって、∠ ARF = ∠ ABFおよび∠ AQF = ∠ ACFです。線分AFに適用された円周角定理の逆により、点ARBF は同心円です(円上にあります)。同様に、点AFCQ も同心円です。

∠ ARB = 60°なので、円周角の定理を用いると ∠ AFB = 120° となります。同様に、∠ AFC = 120° となります。

したがって、 ∠ BFC = 120°です。したがって、∠ BFC + ∠ BPC = 180°です。円周角の定理を使用すると、点BPCF は同心円であることがわかります。したがって、円周角の定理を線分BPに適用すると、∠ BFP = ∠ BCP = 60°となります。∠ BFP + ∠ BFA = 180°であるため、点F は線分AP上にあります。したがって、線分RC、BQ、AP は共線です （1 点で交差します） 。QED

この証明はケース 2 にのみ適用されます。なぜなら、 ∠ BAC > 120°の場合、点A は△ BPCの外接円の内側にあり、 AとFの相対的な位置が入れ替わるからです。ただし、ケース 1 をカバーするように簡単に変更できます。すると、∠ AFB = ∠ AFC = 60°となり、∠ BFC = ∠ AFB + ∠ AFC = 120°となり、BPCF は同心円であるため、∠ BFP = ∠ BCP = 60° = ∠ BFAとなります。したがって、A はFP上にあります。

図2の円の中心を結ぶ線は、線分AP、BQ、CRに垂直です。たとえば、△ ARB を含む円の中心と△ AQC を含む円の中心を結ぶ線は、線分APに垂直です。したがって、円の中心を結ぶ線も60°の角度で交差します。したがって、円の中心は正三角形を形成します。これはナポレオンの定理として知られています。

任意のユークリッド三角形△ ABCと任意の点P が与えられている場合、このセクションの目的は、すべてに対してとなる点P ₀を特定することです。そのような点が存在する場合、それはフェルマー点になります。以下では、Δ は三角形内の点を示し、その境界Ωを含むものとみなします。 ${\displaystyle d(P)=|PA|+|PB|+|PC|.}$${\displaystyle d(P_{0})<d(P)}$${\displaystyle P\neq P_{0}.}$

使用される重要な結果はドッグレッグルールです。これは、三角形と多角形が 1 辺を共有し、三角形の残りの部分が多角形の内側にある場合、三角形の周囲は多角形よりも短くなることを主張します。

AB が共通辺である場合、 AC を延長して点Xで多角形を切断します。三角不等式により、多角形の周囲は次のようになります。

${\displaystyle {\text{周囲}}>|AB|+|AX|+|XB|=|AB|+|AC|+|CX|+|XB|\geq |AB|+|AC|+|BC|.}$

P をΔ の外側の任意の点とします。各頂点をその遠隔ゾーン、つまり (延長された) 反対側の半平面と関連付けます。これらの 3 つのゾーンはΔ自体を除く平面全体をカバーし、P は明らかにそのうちの 1 つまたは 2 つのゾーンにあります。Pが 2 つのゾーン ( BゾーンとCゾーンの交差点など) にある場合、ドッグレッグ ルールにより設定が成立します。一方、 Pが1 つのゾーン ( Aゾーンなど) のみにある場合は、P' がAPとBCの交差点である場合、次の式が成立します。したがって、 Δ の外側にあるすべての点Pに対して、Ω内に点P' が存在し、${\displaystyle P'=A}$${\displaystyle d(P')=d(A)<d(P)}$${\displaystyle d(P')<d(P)}$ ${\displaystyle d(P')<d(P).}$

ケース1. 三角形の角度は120°以上です。

一般性を失うことなく、 Aにおける角度が ≥ 120° であると仮定します。正三角形△ AFBを作成し、 Δ内の任意の点P ( A自体を除く)に対して、三角形△ AQPが正三角形で図示の向きになるようにQ を作成します。すると、三角形△ ABPは、三角形△ AFQ をAについて60° 回転させたものなので、これら 2 つの三角形は合同であり、したがって、パスCPQFの長さに等しい次の式が導かれます。 P は△ ABC内にあるように制約されるため、ドッグレッグ規則により、このパスの長さは を超えます。したがって、すべて に対して となります。ここで、 P が Δ の外側の範囲になるようにします。上記から、 となる点が存在し、したがって、Δの外側にあるすべてのPに対してとなります。したがって、 すべて に対してとなり、${\displaystyle d(P)=|CP|+|PQ|+|QF|}$${\displaystyle |AC|+|AF|=d(A).}$${\displaystyle d(A)<d(P)}$${\displaystyle P\in \Delta ,P\neq A.}$${\displaystyle P'\in \Omega }$${\displaystyle d(P')<d(P)}$${\displaystyle d(A)\leq d(P')}$${\displaystyle d(A)<d(P)}$${\displaystyle d(A)<d(P)}$${\displaystyle P\neq A}$

ケース2. 三角形に120°以上の角度はありません。

正三角形△ BCD を描き、Δ内の任意の点をPとし、正三角形△ CPQ を描きます。すると△ CQD は△ CPB をC を中心に60° 回転させたものなので、

${\displaystyle d(P)=|PA|+|PB|+|PC|=|AP|+|PQ|+|QD|}$

これは単に経路APQDの長さです。ADとCF が交差する点をP ₀とします。この点は一般に第 1 等角中心と呼ばれます。Pの場合と同じ演習をP ₀で実行し、点Q _{0 を}見つけます。角度制限により、P 0 は △ ABC の内側にあります。さらに、 △ BCF は △ BDA を B を中心に 60° 回転させたものなので、 Q 0 は AD 上のどこかにあるはずです。∠ CDB = ₆₀ °なので、Q 0はP 0とDの間に_あることになり、AP 0 _Q 0 _Dは直線なのでさらに、_の場合_、PとQのどちらもAD上にはないため、つまりP がΔの外側になるようにします。上記から、となる点が存在し、 Δの外側にあるすべてのP_についてとなる${\displaystyle d(P_{0}=|AD|.}$${\displaystyle P\neq P_{0}}$${\displaystyle d(P_{0})=|AD|<d(P)。}$${\displaystyle P'\in \Omega }$${\displaystyle d(P')<d(P)}$${\displaystyle d(P_{0})\leq d(P')}$${\displaystyle d(P_{0})<d(P)}$

O、A、B、C、Xを平面上の任意の 5 つの点とします。ベクトルをそれぞれa、b、c、xで表し、i、j、kをOからa、b、cに沿った単位ベクトルとします。 ${\displaystyle {\overrightarrow {OA}},\ {\overrightarrow {OB}},\ {\overrightarrow {OC}},\ {\overrightarrow {OX}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {a} |&=\mathbf {a\cdot i} =(\mathbf {a} -\mathbf {x} )\mathbf {\,\cdot \,i} +\mathbf {x\cdot i} \leq |\mathbf {a} -\mathbf {x} |+\mathbf {x\cdot i} ,\\|\mathbf {b} |&=\mathbf {b\cdot j} =(\mathbf {b} -\mathbf {x} )\mathbf {\,\cdot \,j} +\mathbf {x\cdot j} \leq |\mathbf {b} -\mathbf {x} |+\mathbf {x\cdot j} ,\\|\mathbf {c} |&=\mathbf {c\cdot k} =(\mathbf {c} -\mathbf {x} )\mathbf {\,\cdot \,k} +\mathbf {x\cdot k} \leq |\mathbf {c} -\mathbf {x} |+\mathbf {x\cdot k} .\end{aligned}}}$

a、b、cを加える と

${\displaystyle |\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |\leq |\mathbf {a} -\mathbf {x} |+|\mathbf {b} -\mathbf {x} |+|\mathbf {c} -\mathbf {x} |+\mathbf {x} \cdot (\mathbf {i} +\mathbf {j} +\mathbf {k} ).}$

a、b、cが120°の角度でOで交わる場合、 i + j + k = 0なので、

${\displaystyle |\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |\leq |\mathbf {a} -\mathbf {x} |+|\mathbf {b} -\mathbf {x} |+|\mathbf {c} -\mathbf {x} |}$

すべてのxに対して。言い換えれば、

${\displaystyle |OA|+|OB|+|OC|\leq |XA|+|XB|+|XC|}$

したがってOは△ ABCのフェルマー点である。

この議論は、三角形の角度が∠ C > 120°のときには成り立たない。なぜなら、 a、b、c が120° の角度で交わる点Oが存在しないからである。しかし、 k = − ( i + j )を再定義し、 c = 0となるようにO をCに置くことで簡単に修正できる。単位ベクトルi、jの間の角度は∠ Cであり、これは 120° を超える ため、 | k | ≤ 1 となることに注意されたい。

${\displaystyle |\mathbf {0} |\leq |\mathbf {0} -\mathbf {x} |+\mathbf {x\cdot k} ,}$

3 番目の不等式は依然として有効ですが、他の 2 つの不等式は変わりません。証明は上記と同じように続行され (3 つの不等式を追加し、i + j + k = 0を使用)、 O (またはこの場合はC ) は△ ABCのフェルマー点であるという同じ結論に達します。

三角形内の点を見つける別の方法は、三角形の頂点までの距離の合計が最小となる点を見つけるために、数学的最適化手法の 1 つ、具体的にはラグランジュ乗数法と余弦定理を使用することです。

三角形内の点から頂点まで線を引き、それをX、Y、Zと呼びます。また、これらの線の長さをそれぞれx、 y、 zとします。 XとY の間の角度をα、YとZ の間の角度をβとします。すると、 XとZ の間の角度はπ − α − βです。ラグランジュ乗数法を使用して、次のように表されるラグランジュLの最小値を見つける必要があります。

${\displaystyle L=x+y+z+\lambda _{1}(x^{2}+y^{2}-2xy\cos(\alpha )-a^{2})+\lambda _{2}(y^{2}+z^{2}-2yz\cos(\beta )-b^{2})+\lambda _{3}(z^{2}+x^{2}-2zx\cos(\alpha +\beta )-c^{2})}$

ここで、a、b、cは三角形の辺の長さです。

5 つの偏導関数をそれぞれ0 に等しくし、λ ₁、λ ₂、λ ₃を消去すると、最終的にsin α = sin βおよびsin( α + β ) = − sin βとなり、α = β = 120° となります。ただし、消去は時間がかかり面倒な作業であり、最終結果はケース 2 のみをカバーします。 ${\displaystyle {\tfrac {\partial L}{\partial x}},{\tfrac {\partial L}{\partial y}},{\tfrac {\partial L}{\partial z}},{\tfrac {\partial L}{\partial \alpha }},{\tfrac {\partial L}{\partial \beta }}}$

• 三角形の最大角が120°以下のとき、X (13)はフェルマー点である。
• X (13)における三角形の辺によって囲まれる角度はすべて120°(ケース2)、または60°、60°、120°(ケース1)に等しい。
• 3つの正三角形の外接円はX（13）で一致する。
• 第一等角中心Xの三線座標（13）: ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\csc \left(A+{\tfrac {\pi }{3}}\right):\csc \left(B+{\tfrac {\pi }{3}}\right):\csc \left(C+{\tfrac {\pi }{3}}\right)\\&=\sec \left(A-{\tfrac {\pi }{6}}\right):\sec \left(B-{\tfrac {\pi }{6}}\right):\sec \left(C-{\tfrac {\pi }{6}}\right).\end{aligned}}}$

• 第二等角中心Xの三線座標（14）: ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\csc \left(A-{\tfrac {\pi }{3}}\right):\csc \left(B-{\tfrac {\pi }{3}}\right):\csc \left(C-{\tfrac {\pi }{3}}\right)\\&=\sec \left(A+{\tfrac {\pi }{6}}\right):\sec \left(B+{\tfrac {\pi }{6}}\right):\sec \left(C+{\tfrac {\pi }{6}}\right).\end{aligned}}}$

• フェルマー点の三線座標:

${\displaystyle 1-u+uvw\sec \left(A-{\tfrac {\pi }{6}}\right):1-v+uvw\sec \left(B-{\tfrac {\pi }{6}}\right):1-w+uvw\sec \left(C-{\tfrac {\pi }{6}}\right)}$

ここでu、v、wはそれぞれブール変数 （A < 120°）、（B < 120°）、（C < 120°）を表します。

• X (13)の等角共役は最初の等力点X (15)である: ^[5]

${\displaystyle \sin \left(A+{\tfrac {\pi }{3}}\right):\sin \left(B+{\tfrac {\pi }{3}}\right):\sin \left(C+{\tfrac {\pi }{3}}\right).}$

• X (14)の等角共役点は2番目の等力点X (16)である: ^[6]

${\displaystyle \sin \left(A-{\tfrac {\pi }{3}}\right):\sin \left(B-{\tfrac {\pi }{3}}\right):\sin \left(C-{\tfrac {\pi }{3}}\right).}$

• 次の三角形は正三角形です。
  • Xの対角三角形（13）
  • Xの反足三角形（14）
  • ペダルのX三角形（15）
  • ペダルのX三角形（16）
  • サーカムビアンX三角形（15）
  • サーカムビアンX三角形（16）
• 直線X (13) X (15)とX (14) X (16)はオイラー直線に平行である。3本の直線はオイラー無限大点X (30)で交わる。
• 点X (13)、X (14)、外心、および9点中心はレスター円上にあります。
• 直線X（13）X （14）は、 X（2）とX （4）の中点でオイラー線と交わる。^[7]
• フェルマー点は、その中心に穴があけられた開いた直交重心円上に存在し、その中の任意の点になり得る。^[8]

等角中心 X ( 13) とX (14) は、それぞれ第 1 フェルマー点、第 2 フェルマー点とも呼ばれます。正フェルマー点、負フェルマー点とも呼ばれます。ただし、これらの異なる名前は混乱を招く可能性があるため、使用しない方がよいでしょう。問題は、文献の多くでフェルマー点と第 1 フェルマー点の区別が曖昧になっていることです。ただし、実際には、上記のケース 2 の場合のみ、これら 2 つは同じです。

この問題はフェルマーがエヴァンジェリスタ・トリチェリへの挑戦として提起した。トリチェリはフェルマーと同様の方法で問題を解いたが、代わりに3つの正三角形の外接円の交点を使用した。彼の弟子であるヴィヴィアーニは1659年にその解法を発表した。^[9]

• 幾何中点またはフェルマー・ウェーバー点。3 つ以上の指定された点までの距離の合計を最小化する点。
• レスターの定理
• 三角形の中心
• ナポレオンポイント
• ウェーバー問題

• 「フェルマー-トリチェリ問題」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Chris Boucher によるFermat Point、Wolfram Demonstrations Project。
• ダイナミック ジオメトリ スケッチでの Fermat-Torricelli の一般化 インタラクティブ スケッチは、Fermat-Torricelli ポイントを一般化します。
• フェルマー点の実例