平行四辺形

ユークリッド幾何学において、平行四辺形とは、2組の平行な辺を持つ、キラルな単純四角形（自己交差しない四角形）のことである。平行四辺形の向かい合う辺は長さが等しく、向かい合う角も大きさが等しい。向かい合う辺と向かい合う角が合同であることは、ユークリッドの平行線公準の直接的な結果であり、これらの条件は、ユークリッドの平行線公準、あるいはそれと同等の定式化を用いなければ証明できない。

それに比べて、少なくとも1組の平行な辺を持つ四角形は、アメリカ英語では台形（trapezoid）、イギリス英語では台形（trapezium）と呼ばれる。

平行四辺形の三次元版は平行六面体である。

「平行線」という言葉は、「平行線の形状」を意味するギリシャ語の παραλληλό-γραμμον, parallēló-grammonに由来しています。

• 長方形― 4つの角が直角である平行四辺形。
• ひし形― 4辺の長さがすべて等しい平行四辺形。
• 正方形― 4辺の長さが等しく、4つの角が直角である平行四辺形。
• 菱形 – 隣接する辺の長さが等しくなく、直角でない平行四辺形（したがって、長方形でも菱形でもない）。この用語は現代数学では使用されていないが、生物学では菱形筋や菱形の葉の形などの名称で残っている。^{[ 1 ]}

単純な（自己交差しない）四角形は、次のいずれかの記述が真である場合に限り平行四辺形である。 ^{[ 2 ] [ 3 ]}

• 定義上、向かい合う2組の辺は平行である。
• 向かい合う2組の辺の長さが等しい。
• 2組の対角は等しい大きさである。
• 対角線は互いに二等分する。
• 向かい合う辺のうち1組は平行で、長さが等しい。
• 隣接する角は補角の関係にある。
• それぞれの対角線は四角形を2つの合同な三角形に分割する。
• 辺の二乗の和は、対角線の二乗の和に等しい。（これは平行四辺形の法則である。）
• それは2次の回転対称性を持つ。
• 任意の内部点から辺までの距離の合計は、その点の位置に依存しない。^{[ 4 ]} （これはヴィヴィアーニの定理の拡張である。）
• 四角形の平面上に点Xが存在し、 Xを通る任意の直線は四角形を等しい面積の2つの領域に分割するという性質を持つ。^{[ 5 ]}

したがって、すべての平行四辺形は上記のすべての性質を備えており、逆に、単純な四角形においてこれらの記述のいずれか一つでも真であれば、それは平行四辺形とみなされます。

• 平行四辺形の対辺は（定義上）平行であるため、決して交わることはありません。
• 平行四辺形の面積は、その対角線の一つによって作られる三角形の面積の2倍である。
• 平行四辺形の面積は、隣接する2辺のベクトル積の大きさに等しい。
• 平行四辺形の中点を通る線は、その領域を二等分する。^{[ 6 ]}
• 非退化アフィン変換は、平行四辺形を別の平行四辺形に変換する。
• 平行四辺形は、 2次（180°まで）の回転対称性を持ちます（正方形の場合は4次）。また、線対称軸がちょうど2本ある場合は、ひし形または長方形（正方形ではない長方形）になります。線対称軸が4本ある場合は、正方形になります。
• 平行四辺形の周長は 2( a + b )で、 aとbは隣接する辺の長さです。
• 他の凸多角形とは異なり、平行四辺形は面積が2倍未満の三角形には内接できない。^{[ 7 ]}
• 平行四辺形の辺の内側または外側に構築された4つの正方形の中心は、正方形の頂点である。^{[ 8 ]}
• 平行四辺形の辺に平行な2本の線が対角線と交わるように引かれると、その対角線の反対側に形成される平行四辺形の面積は等しくなります。^{[ 8 ]}
• 平行四辺形の対角線は、それを面積が等しい4つの三角形に分割する。

一般的な凸四角形の面積公式はすべて平行四辺形にも適用できます。さらに、平行四辺形に特有の公式もあります。

底辺がb、高さがhの平行四辺形は、左図に示すように、台形と直角三角形に分割し、長方形に再構成することができます。これは、平行四辺形の面積が、同じ底辺と高さを持つ長方形の面積と同じであることを意味します。

${\displaystyle K=bh.}$

底辺×高さの面積公式は、右の図からも導き出すことができます。右の平行四辺形（青色の領域）の面積Kは、長方形の総面積から2つのオレンジ色の三角形の面積を引いたものです。長方形の面積は

${\displaystyle K_{\text{rect}}=(B+A)\times H\,}$

そして、1つの三角形の面積は

${\displaystyle K_{\text{tri}}={\frac {A}{2}}\times H.\,}$

したがって、平行四辺形の面積は

${\displaystyle K=K_{\text{rect}}-2\times K_{\text{tri}}=((B+A)\times H)-(A\times H)=B\times H.}$

2辺BとC 、および角度θの場合の別の面積公式は次のとおりです。

${\displaystyle K=B\cdot C\cdot \sin \theta .\,}$

平行四辺形がひし形である場合、面積は辺BとCと角度を用いて表すことができる。${\displaystyle \gamma }$対角線の交点において：^{[ 9 ]}

${\displaystyle K={\frac {|\tan \gamma |}{2}}\cdot \left|B^{2}-C^{2}\right|.}$

平行四辺形が、隣接する2辺の長さBとC、およびいずれかの対角線の長さD1によって指定される場合_、面積はヘロンの公式から求めることができます。具体的には、

${\displaystyle K=2{\sqrt {S(SB)(SC)(S-D_{1})}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {(B+C+D_{1})(-B+C+D_{1})(B-C+D_{1})(B+C-D_{1})}},}$

どこ${\displaystyle S=(B+C+D_{1})/2}$そして、主要な要因である2は、選択された対角線が平行四辺形を2つの合同な三角形に分割するという事実から生じます。

平行四辺形の対角線が互いに二等分することを証明するために、合同な三角形を用います。

${\displaystyle \angle ABE\cong \angle CDE}$（錯角は等しい大きさである）

${\displaystyle \angle BAE\cong \angle DCE}$（錯角は等しい大きさである）。

（これらは横断線が平行線ABとDCと作る角度であるため）。

また、平行四辺形の対辺は長さが等しいので、辺ABの長さは辺DCの長さと等しい。

したがって、三角形ABEと三角形 CDEは合同です (ASA の公準、対応する 2 つの角と挟まれた辺)。

したがって、

${\displaystyle AE=CE}$

${\displaystyle BE=DE.}$

対角線ACとBDは互いを等しい長さの線分に分割するため、これらの対角線は互いに二等分する。

また、対角線ACとBDは点Eで互いに二等分しているため、点Eはそれぞれの対角線の中点である。

平行四辺形は平行移動によって平面を敷き詰めることができます。辺の長さが等しい場合、または角度が直角である場合、格子の対称性は高くなります。これらは、2次元における4つのブラベー格子を表しています。

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• 反平行四辺形
• レヴィ＝チヴィタ平行四辺形

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• ワイススタイン、エリック W. 「平行四辺形」 . MathWorld .
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