同心円点

幾何学では、一組の点が共通の円上にある場合、それらの点の集合は同心円状(または共環状)であると言われます。頂点が同心円状である多角形は環状多角形と呼ばれ、その円はその外接円または外接円と呼ばれます。すべての同心円上の点は、円の中心から 等距離にあります。

平面上の 3 点がすべて一直線上にない場合、その 3 点は同心円であるため、すべての三角形は明確に定義された外接円を持つ環状多角形になります。ただし、平面上の 4 点以上が必ずしも同心円になるわけではありません。三角形の次に、環状四辺形の特殊なケースが最も広く研究されてきました。

一般に、点Pと点 Qがある円の中心Oは、 OPとOQが等距離になるようなものでなければなりません。したがって、 O は線分PQの垂直二等分線上になければなりません。^[1] n 個の異なる点に対して、n ( n  − 1)/2本の二等分線があり、共円条件はそれらがすべて 1 つの点、つまり中心Oで交わることです。

すべての三角形の頂点は、外接円と呼ばれる円上に存在します。(このため、一部の著者は「同心円」を円上の4点以上の場合のみに定義しています。) ^[2]三角形から定義される他のいくつかの点の集合も、異なる円を持つ同心円です。9点円^[3]とレスターの定理^[4]を参照してください。

定義により、点の集合がある円の半径は、それらの点の任意の3点を頂点とする三角形の外接円の半径である。3点間の距離がa、b、cである場合、円の半径は

${\displaystyle R={\sqrt {\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)}}}.}$

ここでは、三角形の外接円の方程式と、頂点の直交座標による円の半径と中心の座標を表す式を示します。

どのような三角形でも、次の 9 つの点はすべて、いわゆる9 点円上に共存します。3 つの辺の中点、3 つの高さの足、垂心と 3 つの各頂点の間の中間点です。

レスター定理は、任意の不等辺三角形において、2 つのフェルマー点、9 点の中心、および外心は同心円状になることを述べています。

ルモワーヌ点を通り三角形の辺と平行な線を引くと、線と三角形の辺の 6 つの交点は同円となり、ルモワーヌ円と呼ばれます。

任意の三角形に関連付けられたvan Lamoen 円には、その 3 つの中線によって内部に定義される 6 つの三角形の外心が含まれます。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$

三角形の外心、ルモワーヌ点、および最初の2つのブロカール点は同心円であり、外心からルモワーヌ点までの線分は直径となる。 [ ^5]

同心円状の頂点を持つ四辺形ABCD は、円周四辺形と呼ばれます。これは、四辺形の内部の反対角が補角である場合にのみ 成り立ちます( 内接角定理) 。^{[6]連続する辺}a、b、c、dと半周s = ( a + b + c + d ) / 2を持つ円周四辺形の円周半径は次のように与えられます^{[7] [8]}${\displaystyle \angle CAD=\angle CBD}$

${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(sa)(sb)(sc)(sd)}}},}$

15 世紀に インドの数学者 Vatasseri Parameshvaraによって導き出された表現。

プトレマイオスの定理によれば、四辺形が 4 つの頂点A、B、C、Dの間の距離で順に表される場合、対角線の積が対辺の積の和に等しいときに限り、四辺形は巡回的になります。

${\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD.}$

線分ACを含む直線と線分BDを含む直線がXで交差する場合、4つの点A、B、C、Dが同心円となるのは、^[9]

${\displaystyle \displaystyle AX\cdot XC=BX\cdot XD.}$

交点X は円の内側または外側にある可能性があります。この定理は点のべき乗として知られています。

凸四辺形が直交対角線（対角線が垂直である）となるのは、辺の中点と 4 つの高さの足が、いわゆる8 点円上にある 8 つの同心円上の点である場合のみです。

より一般的には、すべての頂点が共円である多角形を循環多角形と呼びます。多角形が循環的であるためには、その辺の垂直二等分線が共線である必要があります。^[10]すべての正多角形は循環多角形です。

奇数辺を持つ環状多角形の場合、多角形が正多角形である場合にのみ、すべての角度が等しくなります。偶数辺を持つ環状多角形の場合、交互の辺が等しい場合（つまり、辺1、3、5、…が等しく、辺2、4、6、…が等しい場合）にのみ、すべての角度が等しくなります。^[11]

有理数の辺と面積を持つ環状五角形はロビンスの五角形として知られています。既知のすべてのケースでは、その対角線の長さも有理数ですが、これがすべてのロビンスの五角形に当てはまるかどうかは未解決の問題です。^[12]

nが偶数の任意の巡回n角形において、交互角 (第 1、第 3、第 5 など) の 1 セットの合計は、他の交互角の合計に等しくなります。これは、n = 4 の場合からの帰納法によって証明できます。各ケースで、1 つの辺をさらに 3 つの辺に置き換え、これら 3 つの新しい辺と古い辺を組み合わせると、それ自体がこの特性を持つ四辺形が形成されることに留意します。後者の四辺形の交互角は、前のn角形の交互角の合計への加算を表します。

接線多角形とは、多角形の各辺に接する内接円を持つ多角形のことである。したがって、これらの接点は内接円上で共円となる。1つのn角形が円に内接し、別のn角形が最初のn角形の頂点でその円に接しているとしよう。すると、円上の任意の点Pから、 Pから最初のn角形の辺までの垂直距離の積は、Pから2番目のn角形の辺までの垂直距離の積に等しくなる。^[13]

周期的なn角形が単位円上に頂点A ₁ , …, A _{n を}持つとする。このとき、小弧A ₁ A _n上の任意の点Mについて、 Mから頂点までの距離は^{[14]を満たす。}

${\displaystyle {\begin{cases}{\overline {MA_{1}}}+{\overline {MA_{3}}}+\cdots +{\overline {MA_{n-2}}}+{\overline {MA_{n}}}<n/{\sqrt {2}}&{\text{if }}n{\text{ が奇数}};\\{\overline {MA_{1}}}+{\overline {MA_{3}}}+\cdots +{\overline {MA_{n-3}}}+{\overline {MA_{n-1}}}\leq n /{\sqrt {2}}&{\text{if }}n{\text{ が偶数}}.\end{cases}}}$

正n角形の場合、外接円上の任意の点Mから頂点A _iまでの距離が^[15]${\displaystyle {\overline {MA_{i}}}}$

${\displaystyle 3({\overline {MA_{1}}}^{2}+{\overline {MA_{2}}}^{2}+\dots +{\overline {MA_{n}}}^{ 2})^{2}=2n({\overline {MA_{1}}}^{4}+{\overline {MA_{2}}}^{4}+\dots +{\overline {MA_{n}}}^{4})。}$

正多角形はどれも円周状です。単位円を考え、各辺が円に接するように正三角形に外接します。円に外接し、次に正方形に外接します。また円に外接し、次に正五角形に外接します。外接円の半径は、いわゆる多角形外接定数に収束します。

${\displaystyle \prod _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}=8.7000366\ldots .}$

（OEISの配列A051762）。この定数の逆数はケプラー・バウカンプ定数です。

直線が無限半径を持つ一般化された円の一種であるとみなされる文脈では、共線上の点（一本の直線上の点）は共円であると考えられる。この観点は、例えば円を通した反転や、より一般的にはメビウス変換（反射と円の反転によって生成される幾何学的変換）を研究するときに役立つ。なぜなら、これらの変換は、この拡張された意味でのみ点の共円性を保持するからである。^[16]

複素平面（複素数の実部と虚部を平面のxとyの直交座標として見ることによって形成される）では、同心円性は特に単純な定式化を持つ：複素平面上の4つの点は、それらの交差比が実数である場合に限り、同心円または共線的である。^[17]

一部の環状多角形には、面積とすべての辺の長さが正の整数であるという性質があります。この性質を持つ三角形はヘロン三角形と呼ばれ、この性質 (および反対側の頂点を結ぶ対角線の長さが整数である) を持つ環状四辺形はブラフマグプタ四辺形と呼ばれ、この性質を持つ環状五角形はロビンスの五角形と呼ばれます。より一般的には、これらの環状多角形を有理数で拡大縮小したものは、面積と辺の長さが有理数になります。

θ _{1 を}、外接円の中心から見たときの、環状多角形の 1 辺が張る角度とします。同様に、残りの n − 1 辺の中心角 θ 2 、...、 θ n を定義します。すべてのヘロンの 三角形_とすべての_{ブラフマグプタ}四辺形は、 kのすべての値に対して、四分の一角の正接tan θ _k /4に有理値を持ちます。既知のすべてのロビンズ五角形 (対角線の長さが有理数) にはこの特性がありますが、すべてのロビンズ五角形がこの特性を持つかどうかは未解決の問題です。

任意の数の辺を持つすべての環状多角形については、逆のことが当てはまります。すべての中心角の 1/4 角の接線が有理数である場合、単位円で囲まれた環状多角形は、同時に有理数辺の長さと有理数面積を持ちます。さらに、2 つの頂点を結ぶ対角線は、2 つの頂点が隣接しているかどうかに関係なく、それぞれ有理数の長さを持ちます。このような環状多角形は、面積と長さがすべて整数になるように拡大縮小できます。

この逆の関係により、整数の面積、辺、対角線を持つ環状多角形を生成できます。n辺の多角形について、0 < c ₁ < ... < c _{n −1} < +∞を有理数とします。これらは、累積角度θ ₁、θ ₁ + θ ₂、 ...、θ ₁ + ... + θ _{n −1}の 4 分の 1 のタンジェントです。q ₁ = c ₁、q _n = 1 / c _{n −1}、 k = 2 、 ...、n −1についてq _k = ( c _k − c _{k −1} ) / (1 + c _k c _{k −1} )とします。これらの有理数は、角度の差のタンジェントの公式を使用した、個々の 4 分の 1 角のタンジェントです。したがって、単位円で囲まれた多角形の有理数辺の長さは、s _k = 4 q _k / (1 + q _k ² )として得られます。有理面積はA = ∑ _k 2 q _k (1 − q _k ² ) / (1 + q _k ² ) ²です。これらは、辺の長さを共有定数でスケーリングすることで整数にすることができます。

5点以上の集合が同心円であるためには、すべての4点の部分集合が同心円である必要がある。^[18]この性質は、凸集合の ヘリー性質の同心円性に対する類似物と考えることができる。

関連する概念として、最小境界円があります。これは、点の集合を完全に包含する最小の円です。平面上のすべての点の集合には、線形時間アルゴリズムによって構築できる一意の最小境界円があります。^[19]

点の集合が同心円であっても、その外接円は最小境界円と異なる場合があります。たとえば、鈍角三角形の場合、最小境界円は最長辺を直径とし、反対の頂点を通りません。

• Weisstein、Eric W.「Concyclic」。MathWorld。
• Michael Schreiber 著「Four Concyclic Points」 、 The Wolfram Demonstrations Project。

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