接線台形

ユークリッド幾何学において、接線台形（外接台形とも呼ばれる）とは、4辺すべてが台形内部の円（内接円または内接円）に接する台形のことです。これは、少なくとも1組の対辺が平行である接線四角形の特殊な場合です。他の台形と同様に、平行な辺は底辺、残りの2辺は脚と呼ばれます。脚の長さは等しい場合もありますが（下記の二等辺接線台形を参照）、必ずしも等しい必要はありません。

接線台形の例としては、ひし形や正方形が挙げられる。

内接円がそれぞれWとYで辺ABとCDに接する場合、接線四角形ABCDは、辺ABとCDが平行な台形でもあるのは、 ^{[ 1 ] :定理2の}場合に限る。

$\displaystyle {\overline {AW}}\cdot {\overline {DY}}={\overline {BW}}\cdot {\overline {CY}}}$

ADとBC が台形の平行な辺であるのは、

$\displaystyle {\overline {AW}}\cdot {\overline {BW}}={\overline {CY}}\cdot {\overline {DY}}.}$

台形の面積の公式は、ピトーの定理を用いて簡略化し、接線台形の面積の公式を得ることができます。底辺の長さがa、bで、他の 2 辺のうちいずれか 1 辺の長さがcの場合、面積Kは次の公式で与えられます^{[ 2 ]} (この公式は、底辺が平行な場合にのみ使用できます)。

${\displaystyle K={\frac {a+b}{|ba|}}{\sqrt {ab(ac)(cb)}}.}$

面積は接線の長さe、f、g、hを用いて次のように表すことができる^{[ 3 ] : p.129}

${\displaystyle K={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h).}$

面積と同じ表記法を用いると、内接円の半径は^{[ 2 ]となります。}

${\displaystyle r={\frac {K}{a+b}}={\frac {\sqrt {ab(ac)(cb)}}{|ba|}}.}$

内接円の直径は、接線台形の高さに等しい。

内接半径は接線の長さで次のように表すこともできます^{[ 3 ]： p.129}

${\displaystyle r={\sqrt[{4}]{efgh}}.}$

さらに、接線の長さe、f、g、h がそれぞれ頂点A、B、C、Dから出ており、ABがDCに平行である場合、^{[ 1 ]}

${\displaystyle r={\sqrt {eh}}={\sqrt {fg}}.}$

内接円がP、Qで基線に接する場合、P、I、Qは共線であり、Iは内心である。^{[ 4 ]}

底辺がABとDCである接線台形ABCDの角∠ AIDと∠ BICは直角である。^{[ 4 ]}

内心は正中線（脚の中点を結ぶ線分とも呼ばれる）上にある。 ^{[ 4 ]}

接線台形の中央線（中点線）は、台形の周長の4分の1に等しい。また、すべての台形と同様に、底辺の和の半分にも等しい。

直径が接線台形の脚と一致する2つの円を描くと、これらの2つの円は互いに接する。 ^{[ 5 ]}

直角接線台形とは、隣接する2つの角が直角である接線台形のことです。底辺の長さがa、bの場合、内接半径は^{[ 6 ]です。}

${\displaystyle r={\frac {ab}{a+b}}.}$

したがって、内接円の直径は底辺の調和平均となる。

直接台形の面積は^{[ 6 ]}

${\displaystyle \displaystyle K=ab}$

そしてその周囲長Pは^{[ 6 ]}

${\displaystyle \displaystyle P=2(a+b).}$

二等辺接線台形とは、2辺の長さが等しい接線台形のことです。二等辺台形は円に内接するため、二等辺接線台形は二心四角形です。つまり、内接円と外接円の両方を持ちます。

底辺がa、bの場合、内半径は^{[ 7 ]で与えられる。}

${\displaystyle r={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {ab}}.}$

この公式を導き出すのは、日本の簡単な三学問題でした。ピトーの定理から、脚の長さは底辺の和の半分であることがわかります。内接円の直径は底辺の積の平方根であるため、二等辺接線台形は、底辺の算術平均と幾何平均をそれぞれ脚の長さと内接円の直径として、幾何学的にうまく解釈することができます。

底辺がa、b の二等辺接線台形の面積Kは^{[ 8 ]}で与えられる。

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {ab}}(a+b).}$