アナログフィルター

アナログフィルタは、電子工学でよく使用される信号処理の基本的な構成要素です。その用途は多岐にわたりますが、低音、中音、ツイータースピーカーに送る前のオーディオ信号の分離、複数の電話会話を 1 つのチャネルに結合して後で分離すること、ラジオ受信機で特定のラジオ局を選択して他の局を拒否することなどがあります。

パッシブ線形電子アナログ フィルタは、線形微分方程式(線形)で記述できるフィルタです。コンデンサ、インダクタ、場合によっては抵抗器(パッシブ) で構成され、連続的に変化するアナログ信号で動作するように設計されています。実装がアナログではない線形フィルタ(デジタル フィルタ)が多数あり、パッシブ トポロジを持たない電子フィルタも多数あります。どちらも、この記事で説明するフィルタと同じ伝達関数を持つ場合があります。アナログ フィルタは、波形フィルタリング アプリケーション、つまり、アナログ (連続時間) 信号から特定の周波数成分を通過させ、その他を拒否する必要がある場合に最もよく使用されます。

アナログ フィルタは、エレクトロニクスの発展において重要な役割を果たしてきました。特に電気通信の分野では、フィルタは数多くの技術革新において極めて重要な役割を果たし、電気通信会社に莫大な利益をもたらしてきました。したがって、フィルタの初期の開発が伝送線路と密接に関係していたことは驚くことではありません。伝送線路理論はフィルタ理論を生み出しましたが、フィルタ理論は当初非常によく似た形をとり、フィルタの主な用途は電気通信伝送線路での使用でした。しかし、ネットワーク合成技術の登場により、設計者の制御レベルが大幅に向上しました。

今日では、複雑なアルゴリズムを実装するのがはるかに簡単なデジタル領域でフィルタリングを実行することが好まれることが多いですが、アナログ フィルタは、特に低次の単純なフィルタリング タスクではまだ使用されています。また、デジタル技術がまだ実用的ではない、または少なくともコスト効率が低い高周波数では、依然として標準であることがよくあります。可能な限り、特に低周波数では、アナログ フィルタは、パッシブトポロジに必要な巻線コンポーネント (インダクタ、トランスなど) を回避するために、アクティブなフィルタ トポロジで実装されるようになりました。

機械振動や音波をフィルタリングする機械部品を使用して、線形アナログ機械フィルタを設計することができます。このようなデバイス自体の機械工学への応用はほとんどありませんが、電気領域との間で変換するトランスデューサーを追加することで、電子工学で使用できます。実際、フィルタの最も初期のアイデアのいくつかは、当時の電子工学技術が十分に理解されていなかったため、音響共振器でした。原理的には、このようなフィルタの設計は、運動エネルギー、位置エネルギー、熱エネルギーがそれぞれインダクタ、コンデンサ、抵抗器のエネルギーに対応する、機械量の電子的対応物の観点から完全に実現できます。

パッシブアナログフィルタの開発の歴史には、主に 3 つの段階があります。

1. 単純なフィルタ。コンデンサとインダクタの電気応答の周波数依存性は、かなり早い時期から知られていました。共振現象も古くから知られており、これらの部品を使用して単純な単分岐フィルタを作成することができました。1880 年代にこれを電信に適用する試みがなされましたが、これらの設計は周波数分割多重化を成功させるには不十分であることが判明しました。ネットワーク分析はまだ、より複雑なフィルタの理論を提供できるほど強力ではなく、信号の周波数領域の性質を一般に理解できなかったために進歩がさらに妨げられました。
2. イメージ フィルタ。イメージ フィルタ理論は伝送線路理論から発展し、その設計は伝送線路解析と同様の方法で進められました。初めて、通過帯域やその他のパラメータを正確に制御できるフィルタが製造されました。これらの開発は 1920 年代に行われ、これらの設計に基づいて製造されたフィルタは 1980 年代にも広く使用されていましたが、アナログ通信の使用が減少するにつれて減少しました。それらの直接的な応用は、都市間および国際線で使用するための経済的に重要な周波数分割多重化の開発でした。
3. ネットワーク合成フィルタ。ネットワーク合成の数学的基礎は 1930 年代と 1940 年代に築かれました。第二次世界大戦後、ネットワーク合成はフィルタ設計の主要なツールとなりました。ネットワーク合成により、フィルタ設計は堅固な数学的基礎の上に築かれ、数学的にずさんな画像設計の手法から解放され、物理的な線とのつながりが断ち切られました。ネットワーク合成の本質は、(少なくとも理想的なコンポーネントで実装された場合)ブラック ボックスの用語で最初に指定された応答を正確に再現する設計を作成することです。

この記事全体を通して、文字 R、L、C は、それぞれ抵抗、インダクタンス、静電容量を表す通常の意味で使用されています。特に、LC などの組み合わせで使用され、たとえばインダクタとコンデンサのみで構成されるネットワークを意味します。Z は、RLC 要素の任意の 2 端子^{[注 1]の組み合わせである}電気インピーダンスに使用され、一部のセクションでは、D は、静電容量の逆数である、めったに見られない量である弾性に使用されます。

初期のフィルタは、共鳴現象を利用して信号をフィルタリングしていました。電気共鳴は研究者によって非常に早い段階から研究されていましたが、当初は電気技術者に広く理解されていませんでした。その結果、はるかに馴染みのある音響共鳴の概念（これは、さらに馴染みのある機械的共鳴の観点から説明できます）が、電気共鳴よりも先にフィルタ設計に取り入れられました。^[1]共鳴デバイスは共鳴周波数またはその近くの周波数に反応しますが、共鳴から遠い周波数には反応しないため、共鳴を使用してフィルタリング効果を得ることができます。したがって、共鳴から遠い周波数はデバイスの出力からフィルタリングされます。^[2]

共鳴は、1746 年に発明されたライデン瓶の実験で早くから注目されていました。ライデン瓶は静電容量によって電気を蓄えるもので、実はコンデンサの初期の形態です。ライデン瓶の電極間で火花が飛び交うことで放電すると、放電は振動します。このことは、1826 年にフランスのフェリックス サヴァリ、後に (1842 年)アメリカのジョセフ ヘンリー^{[3] が}、放電の近くに置かれた鋼鉄の針が必ずしも同じ方向に磁化するわけではないことに気付くまで、疑われませんでした。2 人とも独立して、一時的な振動があり、それが時間とともに消えていくという結論に至りました。^[4]

ヘルマン・フォン・ヘルムホルツは1847年にエネルギー保存に関する重要な研究を発表した^[5]。その一部で彼はこれらの原理を使って振動がなぜ消えていくのかを説明し、回路の抵抗が各連続サイクルで振動のエネルギーを消散させるとしている。ヘルムホルツはまた、ウィリアム・ハイド・ウォラストンの電気分解実験から振動の証拠があることにも注目している。ウォラストンは電気ショックで水を分解しようとしていたが、水素と酸素の両方が両方の電極に存在することを発見した。通常の電気分解では、それらは各電極に1つずつ分離する。^[6]

ヘルムホルツは振動が減衰する理由を説明したが、そもそも振動がなぜ発生するのかについては説明していなかった。これはウィリアム・トムソン卿（ケルビン卿）に委ねられ、彼は1853年に回路にインダクタンスが存在すること、また瓶の静電容量と負荷の抵抗が存在することを仮定した。^[7]これにより、この現象の物理的基礎が確立された。瓶から供給されるエネルギーは、一部は負荷で消散されるが、一部はインダクタの磁場に蓄えられる。^[8]

これまでの研究は、突然の刺激によって生じる共振回路の過渡振動の固有周波数について行われてきた。フィルタ理論の観点からより重要なのは、外部交流信号によって駆動されたときの共振回路の挙動である。駆動信号周波数が回路の共振周波数にあるとき、回路の応答に突然のピークが生じる。^{[注 2]} ジェームズ・クラーク・マクスウェルは、 1868 年にウィリアム・グローブ卿からダイナモの実験に関連してこの現象について聞き、^[9]また、1866 年のヘンリー・ワイルドの以前の研究についても知っていた。マクスウェルは、共振を^{[注 3]微分方程式のセットを使って数学的に説明したが、これは今日の}RLC 回路の説明とほぼ同じ用語である。 ^{[1] [10] [11]}

ハインリッヒ・ヘルツ（1887）は、2つの共振回路を構築して共鳴現象を実験的に実証しました^{[12] 。そのうちの1つは発電機で駆動され、もう1つは}同調可能で最初の回路と電磁的にのみ結合されています（つまり、回路接続はありません）。ヘルツは、2番目の回路の応答は最初の回路と同調しているときに最大になることを示しました。この論文でヘルツが作成した図は、電気共振応答の最初の公開されたプロットでした。^{[1] [13]}

前述のように、音響共鳴はフィルタリングの応用にインスピレーションを与えたものであり、その最初のものは「ハーモニック テレグラフ」として知られる電信システムでした。そのバージョンは、エリシャ グレイ、アレクサンダー グラハム ベル(1870 年代)、^[1]アーネスト メルカディエらによって開発されました。その目的は、多数の電信メッセージを同じ回線で同時に送信することであり、周波数分割多重化(FDM) の初期の形態を表しています。FDM では、送信側が各通信チャネルごとに異なる周波数で送信する必要があります。これには、個別に調整された共振器と、受信側で信号を分離するためのフィルターが必要です。ハーモニック テレグラフは、送信側で電磁的に駆動される調整されたリードを使用してこれを実現し、受信側で同様のリードを振動させます。送信側と同じ共振周波数のリードのみが、受信側で目に見える程度に振動します。^[14]

ちなみに、ハーモニックテレグラフはベルに電話のアイデアを直接示唆しました。リードは、音を電気信号に変換したり電気信号を変換したりする変換器と見ることができます。ハーモニックテレグラフのこの見方から、音声を電気信号に変換したり電気信号を音声に変換したりできるというアイデアに至っても、それほど大きな飛躍ではありません。^{[1] [14]}

1890 年代までに、電気共振はより広く理解され、エンジニアのツールキットの通常の部分になりました。1891 年に Hutin と Leblanc は、共振回路フィルターを使用した電話回線の FDM 方式の特許を取得しました。^{[16] 1892 年に}Michael PupinとJohn Stone Stoneが同様のアイデアで競合する特許を申請しましたが、最終的に Pupin が優先権を得ました。しかし、単純な共振回路フィルターだけを使用する方式では、音声帯域幅の許容できない制限や、多重化の利点を不経済にするほど広いチャネル間隔なしに、電話チャネル (電信とは対照的に) のより広い帯域幅を多重化 (つまり結合) することができません。^{[1] [17]}

この難しさの基本的な技術的理由は、単純なフィルタの周波数応答が共振点から遠く離れたところで6 dB/オクターブの低下に近づくことです。つまり、電話チャネルを周波数スペクトルに並べて押し込むと、任意のチャネルで隣接チャネルからのクロストークが発生します。必要なのは、低 Q 共振回路のように必要な通過帯域で平坦な周波数応答を持ち、高Q共振回路のように通過帯域から阻止帯域への遷移時に応答が急激に低下する (6 dB/オクターブよりはるかに高速) はるかに高度なフィルタです。^{[注 5]}明らかに、これらは単一の共振回路で満たすには矛盾した要件です。これらの要件に対する解決策は伝送線路の理論に基づいており、したがって、この理論が完全に開発されるまで必要なフィルタは利用できませんでした。この初期の段階では、信号帯域幅の概念、およびそれに適合するフィルタの必要性が完全に理解されていませんでした。実際、帯域幅の概念が完全に確立されたのは 1920 年になってからでした。^[18]初期の無線では、Q値、選択性、チューニングの概念で十分でした。これは、次のセクションで説明するように、イメージフィルタの基礎となる伝送線路の理論の発展とともにすべて変わりました。^[1]

世紀の変わり目に電話回線が利用可能になると、アースリターンファントム回路を使用して電話回線に電信を追加することが一般的になった。^{[注 6]}電話回線で電信クリック音が聞こえるのを防ぐためにLCフィルタが必要だった。1920 年代以降、電話回線、またはこの目的専用の平衡回線が、オーディオ周波数での FDM 電信に使用された。英国で最初にこのようなシステムが構築されたのは、ロンドンとマンチェスター間のシーメンスとハルスケの設備だった。GECとAT&Tも FDM システムを持っていた。送信信号と受信信号には別々のペアが使用された。シーメンスとGECのシステムには各方向に 6 つの電信チャネルがあり、AT&T のシステムには 12 のチャネルがあった。これらのシステムはすべて、各電信信号に異なるキャリアを生成するために電子発振器を使用し、受信側で多重化された信号を分離するためにバンドパスフィルタバンクを必要とした。^[19]

伝送線路の最も初期のモデルは、おそらくゲオルク・オーム（1827年）によって記述されたもので、彼は電線の抵抗がその長さに比例することを立証した。 ^{[20] [注 7]}したがって、オームのモデルには抵抗しか含まれていなかった。ラティマー・クラークは、信号がケーブルに沿って遅延し、引き伸ばされることに気づいた。これは、現在では分散と呼ばれているが当時は遅延と呼ばれていた望ましくない形の歪みであり、マイケル・ファラデー（1853年）は、これが伝送線路に存在する静電容量によるものであることを立証した。 ^{[21] [注 8]} ケルビン卿（1854年）は、初期の大西洋横断ケーブルに関する研究で必要な正しい数学的記述を見つけ、金属棒に沿った熱パルスの伝導と同一の方程式に到達した。 ^[22]このモデルには抵抗と静電容量しか組み込まれていないが、静電容量効果が支配的な海底ケーブルに必要なのはそれだけだった。ケルビンのモデルはケーブルの電信信号速度の限界を予測するが、ケルビンは依然として帯域幅の概念を使用しておらず、限界は電信シンボルの分散の観点から完全に説明された。^{[1]伝送線路の数学的モデルは}、オリバー・ヘヴィサイドによって完全に発展した。ヘヴィサイド（1881）は直列インダクタンスと並列コンダクタンスをモデルに導入し、合計4つの分布要素を作成した。このモデルは現在、電信方程式として知られており、分布要素パラメータは一次線路定数と呼ばれている。^[23]

ヘヴィサイド (1887) の研究から、電信線、特に電話線のパフォーマンスは、線路にインダクタンスを追加することで改善できることが明らかになりました。^[24] AT&Tのジョージ・キャンベルは、線路に沿って間隔を置いて負荷コイルを挿入することでこのアイデアを実行しました (1899) 。 ^{[25]キャンベルは、通過帯域内の線路特性の望ましい改善に加えて、信号が大きく}減衰せずに通過できない明確な周波数があることも発見しました。 これは、負荷コイルと線路容量がローパスフィルタを形成する結果であり、負荷コイルなどの集中コンポーネントを組み込んだ線路でのみ顕著な効果です。 これにより、キャンベル (1910) は自然にラダートポロジーのフィルタを作成しましたが、このフィルタの回路図を一目見るだけで、負荷された伝送線路との関係がわかります。^[26]カットオフ現象は、負荷回線に関しては望ましくない副作用であるが、電話のFDMフィルタではまさにそれが必要とされるものである。この用途のために、キャンベルはインダクタとコンデンサをそれぞれ共振器と反共振器に置き換えて、同じラダートポロジーのバンドパスフィルタを製造した。 ^[注9]負荷回線とFDMはどちらもAT&Tにとって経済的に大きな利益をもたらし、この時点からフィルタリングの急速な発展につながった。^[27]

^{キャンベル[注 10]}が設計したフィルタは、一部の波を通過させ、他の波を強く阻止する特性から、波形フィルタと名付けられました。これらのフィルタの設計方法は、イメージパラメータ法^{[注 11] [29] [30]}と呼ばれ、この方法で設計されたフィルタはイメージフィルタと呼ばれます。^{[注 12]}イメージ法は、本質的に、同一のフィルタセクションの無限チェーンの伝送定数を開発し、次に、必要な有限数のフィルタセクションをイメージインピーダンスで終端することから構成されます。これは、有限長の伝送線路の特性が無限線路の理論的特性から導き出される方法と正確に一致しており、イメージインピーダンスは線路の特性インピーダンスに対応します。 ^[31]

1920年から、同じくAT&Tに勤務していたジョン・カーソンは、本質的には周波数領域で動作するヘヴィサイドの演算法を使用して、信号の新しい観察方法を開発し始めました。これにより、AT&Tのエンジニアはフィルターの動作方法について新しい洞察を得て、オットー・ゾベルは多くの改良型を発明しました。カーソンとゾベルは、古いアイデアの多くを着実に打ち破りました。たとえば、昔の電信エンジニアは、信号を単一の周波数として考えていました。このアイデアはラジオの時代まで続き、 1922年にカーソンの論文が発表されるまで、ベースバンド信号よりも狭い帯域幅で周波数変調 (FM) 送信を実現できると信じている人もいました。^[32]ノイズの性質に関するもう一つの進歩は、カーソンとゾベル（1923）^[33]がノイズを連続した帯域幅を持つランダムプロセスとして扱い、当時としてははるかに先駆的なアイデアであったため、フィルタリングによって除去できるノイズの量は、通過帯域外のノイズスペクトルの部分に限定されました。これもまた、最初は一般に受け入れられず、特にエドウィン・アームストロング（皮肉なことに、彼は実際に広帯域FMでノイズを減らすことに成功しました）の反対を受け、最終的にハリー・ナイキストの研究によって解決されました。彼の熱雑音電力式は現在よく知られています。^[34]

オットー・ゾーベルは、画像フィルタとその動作理論にいくつかの改良を加えた。ゾーベルは、キャンベルのフィルタを、特にゾーベルのm導出フィルタ（またはm型フィルタ）などの後継タイプと区別するために、定数kフィルタ（またはk型フィルタ）という用語を作った。ゾーベルがこれらの新しい形式で解決しようとした特定の問題は、終端へのインピーダンス整合とロールオフの急峻さの改善であった。これらは、フィルタ回路の複雑さの増加を犠牲にして達成された。^{[35] [36]}

イメージ フィルタを作成するためのより体系的な方法は、ヘンドリック ボーデ(1930)によって導入され、ピロティ (1937–1939) やヴィルヘルム カウアー(1934–1937) を含む他の数人の研究者によってさらに開発されました。特定の回路の動作 (伝達関数、減衰関数、遅延関数など) を列挙するのではなく、イメージ インピーダンス自体の要件が開発されました。イメージ インピーダンスは、フィルタの開放回路インピーダンスと短絡回路インピーダンス^{[注 13]}によって次のように表すことができます。イメージ理論によれば、イメージ インピーダンスは通過帯域では実数、阻止帯域では虚数でなければならないため、Z _oとZ _sの極と零点は通過帯域で打ち消し合い、阻止帯域で対応する必要があります。フィルタの動作は、これらの極と零点のペアの複素平面での位置によって完全に定義できます。必要な極と零点を持つ回路は、必要な応答も持つ。カウアーは、この技術から生じる2つの関連する疑問を追求した。それは、どのような極と零点の仕様が受動フィルタとして実現可能か、そしてどのような実現が互いに同等であるかである。この研究の結果、カウアーはネットワーク合成と呼ばれる新しいアプローチを開発することになった。^{[36] [37] [38]}${\displaystyle \scriptstyle Z_{i}={\sqrt {Z_{o}Z_{s}}}}$

フィルタ設計におけるこの「極とゼロ」の考え方は、それぞれ異なる周波数で動作するフィルタバンクがすべて同じ伝送線路を介して接続されている場合に特に有用であった。以前のアプローチではこの状況を適切に処理できなかったが、極とゼロのアプローチでは、結合されたフィルタに一定のインピーダンスを指定することにより、この状況に対応できた。この問題はもともと FDM 電話に関連していたが、現在ではスピーカーのクロスオーバーフィルタで頻繁に発生している。^[37]

ネットワーク合成の本質は、必要なフィルタ応答から始めて、その応答を提供する、または指定された境界内でそれに近づくネットワークを作成することです。これは、与えられたネットワークから始めて、さまざまな電気回路定理を適用することによってネットワークの応答を予測するネットワーク分析の逆です。 ^{[39]この用語は、} Yuk-Wing Lee (1930)の博士論文でこの意味で最初に使用され、 Vannevar Bushとの会話から生まれたようです。^[40]以前の方法に対するネットワーク合成の利点は、設計仕様を正確に満たすソリューションを提供することです。これはイメージフィルタには当てはまりません。イメージフィルタは、非現実的なケースでのみ設計仕様を満たし、それを生成するには、求めている正確な回路が必要になるため、設計にはある程度の経験が必要です。一方、ネットワーク合成では、設計中のネットワークに組み込むだけで、終端インピーダンスを処理します。^[41]

ネットワーク合成が可能になる前に、ネットワーク分析の発展が必要でした。グスタフ・キルヒホッフらの定理と、チャールズ・シュタインメッツ（位相器）とアーサー・ケネリー（複素インピーダンス）のアイデア^[42]が基礎を築きました。^[43]ポートの概念も理論の発展に役立ち、ネットワーク端子よりも便利なアイデアであることが証明されました。^{[注 1] [36]}ネットワーク合成への道の最初のマイルストーンは、ロナルド・M・フォスター（1924）の重要な論文^[44] 「リアクタンス定理」でした。この論文でフォスターは、駆動点インピーダンス、つまり発電機に接続されたインピーダンスのアイデアを導入しています。このインピーダンスの表現はフィルターの応答を決定し、逆もまた同様です。フィルターの実現はこの表現を展開することで得られます。任意のインピーダンス表現をネットワークとして実現することはできません。フォスターのリアクタンス定理は実現可能性のための必要十分条件を規定している。リアクタンスは周波数とともに代数的に増加し、極と零点は交互に存在しなければならない。^{[45] [46]}

ヴィルヘルム・カウアーはフォスター（1926） ^[47]の研究を発展させ、規定の周波数関数を持つ1ポートインピーダンスの実現について初めて語った。フォスターの研究はリアクタンスのみ（すなわちLC型回路のみ）を考慮した。カウアーはこれを任意の2要素型1ポートネットワークに一般化し、それらの間に同型性があることを発見した。彼はまたトーマス・スティルチェスの連分数展開を用いたネットワークのラダー実現^{[注 14]}も発見した。この研究はネットワーク合成の基礎となったが、カウアーの研究は当初は技術者にあまり使用されなかった。その理由の一部は第二次世界大戦の介入、一部は次のセクションで説明する理由、そして一部はカウアーが相互に結合されたインダクタと理想的な変圧器を必要とするトポロジを使用して結果を示したためである。設計者は可能な限り相互インダクタンスとトランスの複雑さを避ける傾向があるが、トランス結合型複同調増幅器は選択性を犠牲にすることなく帯域幅を広げる一般的な方法である。^{[48] [49] [50]}

イメージ フィルタは、優れたネットワーク合成技術が利用可能になってからずっと後も、設計者によって使用され続けました。その理由の一部は単に慣性によるものだったかもしれませんが、ネットワーク合成フィルタに必要な計算量が多く、数学的な反復プロセスが必要になることが主な理由でした。イメージ フィルタは、最も単純な形式では、一連の同じセクションを繰り返したものです。設計は、単にセクションを追加するだけで改善でき、最初のセクションを作成するために必要な計算は「封筒の裏」設計レベルです。一方、ネットワーク合成フィルタの場合、フィルタは全体として単一のエンティティとして設計されるため、セクションを追加する (つまり、次数を増やす) には、設計者は最初に戻って最初からやり直すしかありません^{[注 15]}。合成設計の利点は確かにありますが、熟練したイメージ設計者が達成できるものに比べると圧倒的なものではなく、多くの場合、時間のかかる計算を省く方がコスト効率が高くなります。^[51]これは単に現代のコンピュータパワーの問題ではなく、1950年代には存在せず、1960年代と1970年代には有料でしか入手できず、デスクトップパソコンが登場した1980年代まですべてのデザイナーが利用できるようになったわけではありませんでした。画像フィルタはその時点まで設計され続け、その多くは21世紀になっても使用されていました。^[52]

ネットワーク合成法の計算上の難しさは、プロトタイプ フィルタのコンポーネント値を表にまとめ、周波数とインピーダンスをスケーリングして、実際に必要な値にバンド フォームを変換することで解決されました。この種のアプローチ、または類似のアプローチは、たとえば Zobel によってイメージ フィルタですでに使用されていましたが、^[35]「リファレンス フィルタ」の概念はSidney Darlingtonによるものです。^[53] Darlington (1939)、^{[30] は}、ネットワーク合成プロトタイプ フィルタの値を表にした最初の人物でもありましたが、^[54] Cauer-Darlington楕円フィルタが初めて使用されるようになったのは 1950 年代になってからでした。^[55]

計算能力が容易に利用できるようになると、時間遅延や部品のばらつきに対する許容度など、任意のパラメータを最小化するフィルタを簡単に設計できるようになりました。画像法の難しさは完全に過去のものとなり、プロトタイプの必要性さえもほとんど不要になりました。^{[56] [57]さらに、}アクティブフィルタの出現により、セクションを分離できるようになり、反復プロセスが一般的に必要なくなったため、計算の難しさが軽減されました。^[51]

実現可能性（つまり、どの機能が実際のインピーダンスネットワークとして実現可能か）と等価性（どのネットワークが同等に同じ機能を持つか）は、ネットワーク合成における2つの重要な問題である。ラグランジュ力学との類推に従って、カウアーは行列方程式を形成した。

${\displaystyle \mathbf {[A]} =s^{2}\mathbf {[L]} +s\mathbf {[R]} +\mathbf {[D]} =s\mathbf {[Z]} }$

ここで、[ Z ]、[ R ]、[ L ]、[ D ] は、それぞれnメッシュネットワークのインピーダンス、抵抗、インダクタンス、エラスタンスのn x n行列であり、 s は複素周波数演算子です。ここで、[ R ]、[ L ]、[ D ] には、それぞれ機械システムの運動エネルギー、位置エネルギー、散逸熱エネルギーに対応する関連エネルギーがあり、力学から既知の結果をここで適用できます。Cauer は、ラグランジュ乗数法によって駆動点インピーダンスを決定しました。 ${\displaystyle \scriptstyle s=\sigma +i\omega }$

${\displaystyle Z_{\mathrm {p} }(s)={\frac {\det \mathbf {[A]} }{s\,a_{11}}}}$

ここで、a _{11 は}、 1 ポートが接続される要素A ₁₁の補数です。安定性理論から、 Cauer は、理想変圧器が除外されない限り、 Z _p ( s ) が実現可能であるためには、[ R ]、[ L ]、[ D ] がすべて正定値行列でなければならないことを発見しました。実現可能性は、それ以外の場合、位相の実際的な制限によってのみ制限されます。^[39]この研究は、Cauer がドイツに戻る前に米国で Cauer と協力したOtto Brune (1931) にも部分的に負っています。 ^[49] Cauer (1929) による1 ポート有理^{[注 16]}インピーダンスの実現可能性に関するよく知られた条件は、右半平面 (σ>0) で解析的であり、右半平面で正の実部を持ち、実軸で実数値をとるsの関数でなければならないということです。これは、これらの関数のポアソン積分表現から得られます。ブルーヌは、このクラスの関数に正実という用語を作り出し、それが必要かつ十分な条件であることを証明した（カウアーはそれが必要であることを証明しただけだった）。そして彼らはその研究をLCマルチポートにまで拡張した。シドニー・ダーリントンの定理によれば、任意の正実関数Z ( s )は、正の抵抗Rで終端された損失のない2ポートとして実現できる。指定された応答を実現するために、ネットワーク内に抵抗は必要ない。^{[49] [58] [59]}

同値性に関しては、カウアーは実アフィン変換の群、

${\displaystyle \mathbf {[T]} ^{T}\mathbf {[A]} \mathbf {[T]} }$

どこ、

${\displaystyle \mathbf {[T]} ={\begin{bmatrix}1&0\cdots 0\\T_{21}&T_{22}\cdots T_{2n}\\\cdot &\cdots \\T_{n1}&T_{n2}\cdots T_{nn}\end{bmatrix}}}$

はZp ( s )に対して不変であり、つまり変換されたネットワークはすべて元のネットワークと同等である。_[ ^39]

ネットワーク合成における近似問題は、任意に設定された制限内で、規定された周波数関数に近似する実現可能なネットワークを生成する関数を見つけることである。近似問題は、必要な理想的な周波数関数が有理ネットワークでは一般に達成できないため、重要な問題である。たとえば、規定された理想的な関数は、通過帯域での達成不可能なロスレス伝送、阻止帯域での無限減衰、および両者間の垂直遷移であるとよく考えられている。しかし、理想的な関数は有理関数で近似することができ、多項式の次数が高くなるほど理想に近づく。この問題に最初に取り組んだのは、バターワース多項式を使用したスティーブン・バターワース（1930年）であった。これとは独立して、カウアー（1931年）はチェビシェフ多項式を使用したが、これは当初は画像フィルタに適用され、現在ではよく知られているこのフィルタのラダー実現には適用されなかった。^{[49] [60]}

バターワースフィルタは、スティーブン・バターワース（1930）^[61]による重要なフィルタクラス^{[注 15]であり、現在ではカウアーの}楕円フィルタの特殊なケースとして認識されています。バターワースは、カウアーの研究とは独立してこのフィルタを発見し、真空管アンプを使用して各セクションを次のセクションから分離したバージョンで実装しました。これにより、フィルタセクションは互いに相互作用できず、各セクションはバターワース多項式の1つの項を表すため、コンポーネントの値の計算が容易になりました。これにより、バターワースはイメージパラメータ理論から逸脱した最初の人物であり、アクティブフィルタを設計した最初の人物として評価されています。後に、バターワースフィルタはアンプを必要とせずにラダートポロジで実装できることが示されました。おそらく最初にこれを行ったのは、現在のものと同じコンポーネント値の式を提示した特許のウィリアム・ベネット（1932） ^[62]です。しかし、この段階ではベネットは人工伝送線路としての設計について議論しており、現在ではネットワーク合成設計と見なされるものを作成したにもかかわらず、イメージパラメータアプローチを採用しています。彼はバターワースの研究やそれらの間のつながりについても認識していないようです。^{[29] [63]}

フィルタを設計する挿入損失法は、本質的には、フィルタが終端間に挿入されたときの信号の減衰量として、フィルタの周波数の望ましい関数を規定し、終端がそれらに完全に一致する理想的な変圧器を介して互いに接続されていた場合に受信されるレベルと比較することです。この理論のバージョンは、シドニー・ダーリントン、ウィルヘルム・カウアー、およびその他の研究者によるもので、すべて多かれ少なかれ独立して機能しており、ネットワーク合成と同義であると見なされることがよくあります。バターワースのフィルタ実装は、その意味では挿入損失フィルタですが、バターワースが使用したアクティブアンプにより、各ステージが個別に抵抗負荷として機能することが保証されたため、数学的には比較的単純なものです。バターワースのフィルタは、完全に受動部品で実装されると、簡単な例ではなくなります。挿入損失法に影響を与えたさらに初期のフィルタは、ノートンのデュアルバンドフィルタです。このフィルタでは、2 つのフィルタの入力が並列に接続され、結合された入力が一定の抵抗を示すように設計されていました。ノートンの設計法は、カウアーの標準的なLCネットワークと、フィルタ本体にはLCコンポーネントのみが必要であるというダーリントンの定理と相まって、挿入損失法を生み出した。しかし、ラダートポロジーはカウアーの標準的な形式よりも実用的であることが判明した。^[64]

ダーリントンの挿入損失法は、ノートンが使用した手順を一般化したものです。ノートンのフィルタでは、各フィルタが共通端で終端されていない個別のフィルタと同等であることが示されます。ダーリントン法は、両端で終端された 2 ポート LC ネットワークのより単純で一般的なケースに適用されます。手順は次の手順で構成されます。

1. 規定された挿入損失関数の極を決定する。
2. そこから複素伝達関数を求めると、
3. そこから終端抵抗における複素反射係数を求める。
4. 短絡インピーダンスと開放インピーダンスから駆動点インピーダンスを求める^[注13]
5. 駆動点インピーダンスを LC (通常はラダー) ネットワークに拡張します。

ダーリントンはさらに、ヘンドリック・ボーデが発見した、非理想的な部品を使ってもすべて同じQ を持つフィルタの応答を予測する変換を使用した。ダーリントンはこの変換を逆に使用して、非理想的な部品を使って規定の挿入損失を持つフィルタを作成した。このようなフィルタは、理想的な挿入損失応答に加えて、すべての周波数にわたって平坦な減衰を持つ。^{[51] [65]}

楕円フィルタは挿入損失法によって生成されるフィルタで、理想的なフィルタ応答の近似として伝達関数に楕円有理関数を使用し、その結果はチェビシェフ近似と呼ばれます。これは、カウアーが画像フィルタに使用したのと同じチェビシェフ近似手法ですが、ダーリントン挿入損失設計法に従い、わずかに異なる楕円関数を使用します。カウアーは、第二次世界大戦前にダーリントンおよびベル研究所と多少の関わりがありましたが (米国で働いていた時期もありました)、戦争中はそれぞれ独立して作業し、場合によっては同じ発見をしました。カウアーはベル研究所にチェビシェフ近似を明らかにしていましたが、証明は残していませんでした。セルゲイ シェルクノフがこれを提供し、すべての等リップル問題への一般化を行いました。楕円フィルタは、カウアーフィルタ（通過帯域と阻止帯域のリップルが等しい）、チェビシェフフィルタ（通過帯域のみのリップル）、逆チェビシェフフィルタ（阻止帯域のみのリップル）、バターワースフィルタ（どちらの帯域にもリップルがない）などのいくつかの重要なクラスを特殊なケースとして組み込んだ一般的なフィルタクラスである。^{[64] [66]}

一般に、透過ゼロと無限損失がすべて複素周波数平面の実軸上にある挿入損失フィルタの場合（通常は最小コンポーネント数の場合）、挿入損失関数は次のように表すことができます。

${\displaystyle {\frac {1}{1+JF^{2}}}}$

ここで、F は周波数の偶関数 (非対称フィルターになる)または奇関数 (対称フィルターになる) のいずれかです。F のゼロはゼロ損失に対応し、 Fの極は伝送ゼロに対応します。Jは通過帯域リップル高さと阻止帯域損失を設定し、これら 2 つの設計要件は入れ替えることができます。FとJのゼロと極は任意に設定できます。F の性質によってフィルターのクラスが決まります。

• Fがチェビシェフ近似であれば結果はチェビシェフフィルタとなる。
• Fが最大平坦近似であれば、結果は通過帯域最大平坦フィルタとなる。
• 1/ F がチェビシェフ近似であれば、結果は逆チェビシェフフィルタとなる。
• 1/ F が最大平坦近似であれば、結果は阻止帯域最大平坦フィルタとなる。

カウアーの等リプル楕円フィルタのように、通過帯域と阻止帯域で同時にチェビシェフ応答を実現することも可能である。^[64]

ダーリントンは、ニューヨーク市の図書館でカール・ヤコビが1829年にラテン語で出版した楕円関数に関するオリジナルの論文を見つけたと述べています。この論文の中で、ダーリントンは、カウアーのイメージパラメータとダーリントンの挿入損失フィルタの両方のチェビシェフ近似に必要な正確な楕円関数変換の折り畳み表を見つけて驚きました。^[51]

ダーリントンは、結合同調回路のトポロジーは挿入損失法とは別の近似技術を含むが、名目上平坦な通過帯域と高減衰の阻止帯域も生成すると考えている。これらの最も一般的なトポロジーは、直列コンデンサで結合されたシャント反共振器であり、それほど一般的ではないが、インダクタ、または2セクションフィルタの場合は相互インダクタンスで結合される。これらは、設計要件がそれほど厳しくない場合、つまり中程度の帯域幅、ロールオフ、通過帯域リップルの場合に最も役立ちます。^[57]

エドワード・ノートンは1930年頃、蓄音機やプレーヤーで使用する機械式フィルターを設計した。ノートンは電気領域でフィルターを設計し、機械量と電気量の対応を利用して機械部品でフィルターを実現した。質量はインダクタンス、剛性は弾性、減衰は抵抗に対応する。フィルターは最大限に平坦な周波数応答を持つように設計された。^[59]

現代の設計では、特に狭帯域フィルタリング用途では、水晶フィルタを使用するのが一般的です。信号は水晶内にある間は機械的音響波として存在し、水晶の端子にある電気領域と機械領域間のトランスデューサによって変換されます。 ^[68]

分布素子フィルタは、少なくとも波長のかなりの部分の長さの伝送線路で構成されています。最も初期の非電気フィルタはすべてこのタイプでした。 たとえば、 ウィリアム・ハーシェル(1738–1822) は、長さの異なる 2 本の管で、一部の周波数を減衰させ、他の周波数は減衰させない装置を作成しました。ジョセフ・ルイ・ラグランジュ(1736–1813) は、定期的に重りを載せた弦の波を研究しました。この装置は、ラグランジュやチャールズ・ゴッドフリーなどの後代の研究者によって研究されたり、フィルタとして使用されたりすることはありませんでした。しかし、キャンベルはゴッドフリーの結果を類推して、負荷線路に必要な負荷コイルの数を計算しました。この装置が、彼の電気フィルタ開発につながりました。ラグランジュ、ゴッドフリー、キャンベルはいずれも、計算において、装置の分散特性を無視した単純化した仮定を行いました。その結果、彼らのモデルは、すべての分布素子フィルタの特徴である複数の通過帯域を示しませんでした。^[69]分布定数原理に基づいて設計された最初の電気フィルタは、1927年にウォーレン・P・メイソンによって考案されました。 ^[70]

トランスバーサル フィルタは通常、パッシブ実装に関連付けられませんが、その概念は 1935 年の Wiener と Lee の特許に見出すことができます。この特許では、オールパス セクションのカスケードで構成されるフィルタについて説明しています。 ^[71]さまざまなセクションの出力は、必要な周波数関数を生成するために必要な割合で合計されます。これは、特定の周波数が異なるセクションで逆位相または逆位相に近いため、加算すると打ち消される傾向があるという原理によって機能します。これらはフィルタによって拒否される周波数であり、非常に鋭いカットオフを持つフィルタを作成できます。このアプローチはすぐには適用されず、パッシブ フィルタでは一般的ではありません。ただし、この原理は、テレビ、レーダー、高速データ伝送などの広帯域離散時間フィルタ アプリケーションのアクティブ遅延線実装として多くの用途があります。 ^{[72] [73]}

整合フィルタの目的は、パルス形状を犠牲にして信号対雑音比（S/N）を最大化することです。他の多くの用途とは異なり、レーダーではパルス形状は重要ではなく、S/Nが性能の主な制限となります。このフィルタは第二次世界大戦中にドワイト・ノースによって導入され（1943年に記述^）、しばしば「ノースフィルタ」と呼ばれています。^{[72] [75]}

制御システムには、機械システムの所定の目標への移動速度を最大化し、同時にオーバーシュートとノイズ誘発動作を最小化する基準を備えたフィードバックループ内の平滑化フィルタが必要である。ここでの重要な問題は、ノイズの多い背景からガウス信号を抽出することである。これに関する初期の論文は、第二次世界大戦中にノーバート・ウィーナーによって対空射撃管制アナログコンピュータへの具体的な応用について発表された。ルディ・カルマン（カルマンフィルタ）は後にこれを状態空間平滑化と予測の観点から再定式化し、線形2次ガウス制御問題として知られるようになった。カルマンは状態空間ソリューションへの関心を開始したが、ダーリントンによれば、このアプローチはヘヴィサイドやそれ以前の研究にも見られる。^[72]

LC フィルタは低周波では扱いにくくなります。コンポーネント、特にインダクタは高価で、かさばり、重くなり、理想的ではありません。実用的な 1 H インダクタは、高透磁率コアに多くのターンを必要とします。この材料は損失が大きく、安定性の問題があります (たとえば、温度係数が大きい)。主電源フィルタなどのアプリケーションでは、扱いにくさを我慢する必要があります。低レベル、低周波のアプリケーションでは、RC フィルタは可能ですが、複雑な極やゼロを持つフィルタを実装することはできません。アプリケーションで電力を使用できる場合は、アンプを使用して、複雑な極やゼロを持つことができる RCアクティブ フィルタを作成できます。1950 年代には、サレン キー アクティブ RC フィルタが真空管アンプで作成されました。これらのフィルタは、かさばるインダクタをかさばって熱くなる真空管に置き換えました。トランジスタは、より電力効率の高いアクティブ フィルタ設計を提供しました。その後、安価なオペアンプにより、他のアクティブ RC フィルタ設計トポロジが可能になりました。アクティブ フィルタの設計は低周波数では一般的でしたが、アンプが理想的ではない高周波数では実用的ではありませんでした。無線周波数では、LC (および伝送線路) フィルタが依然として使用されていました。

徐々に、低周波アクティブ RC フィルタは、連続時間領域ではなく離散時間領域で動作するスイッチド キャパシタ フィルタに取って代わられました。これらのフィルタ テクノロジはすべて、高性能フィルタリングのために高精度のコンポーネントを必要とし、多くの場合、フィルタの調整が必要になります。調整可能なコンポーネントは高価であり、調整を行うための労力は膨大になる可能性があります。7 次楕円フィルタの極とゼロを調整するのは簡単な作業ではありません。集積回路によってデジタル計算が安価になったため、現在では低周波フィルタリングはデジタル信号プロセッサで行われます。このようなデジタル フィルタは、超高精度 (かつ安定した) 値を問題なく実装できるため、調整や調整は必要ありません。デジタル フィルタでは、浮遊結合パスや個々のフィルタ セクション間のシールドについても心配する必要がありません。欠点の 1 つは、デジタル信号処理が同等の LC フィルタよりもはるかに多くの電力を消費する可能性があることです。安価なデジタル テクノロジにより、フィルタのアナログ実装はほぼ置き換えられました。しかし、複雑な周波数関数を必要としないカップリングなどのより単純なアプリケーションでは、パッシブフィルタが使用される場合もあります。^{[76] [77]}マイクロ波周波数では、パッシブフィルタが依然として選択される技術です。^[78]

• オーディオフィルター
• 合成画像フィルター
• デジタルフィルタ
• 電子フィルター
• 線形フィルタ
• ネットワーク合成フィルタ

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