バターワースフィルタ

バターワースフィルタは、通過帯域内で可能な限り平坦な周波数応答を持つように設計された信号処理フィルタの一種です。最大平坦振幅フィルタとも呼ばれます。1930年にイギリスの技術者で物理学者のスティーブン・バターワースが「フィルタアンプ理論について」と題した論文で初めて説明しました。 ^[1]

バターワースは、「不可能」と思われていた非常に複雑な数学的問題を解決することで有名でした。当時、使用されていた理論の限界により、フィルタ設計には相当な設計経験が必要でした。このフィルタは、発表後 30 年以上も一般には使用されませんでした。バターワースは次のように述べています。

「理想的な電気フィルターは、不要な周波数を完全に除去するだけでなく、必要な周波数に対して均一な感度を持つ必要があります」。

このような理想的なフィルタは実現できませんが、バターワースは、適切な値のフィルタ要素の数を増やすことで、より近似値が得られることを示しました。当時、フィルタは通過帯域でかなりのリップルを生成し、コンポーネント値の選択は非常に相互作用的でした。バターワースは、周波数の関数としてのゲイン（つまり、周波数応答の大きさ）が次の式で表されるローパスフィルタを設計できることを示しました。

${\displaystyle G(\omega )={\frac {1}{\sqrt {1+{\omega }^{2n}}}},}$

ここで、はラジアン/秒単位の角周波数、はフィルタの極数で、パッシブフィルタのリアクタンス素子の数に等しい。カットオフ周波数（約 -3 dBの半電力点または電圧ゲイン 1/ √2 ≈ 0.7071）は、𝜔 = 1 ラジアン/秒に正規化される。バターワースは論文で偶数極のフィルタのみを扱っているが、偶数次フィルタの出力に単極フィルタを 追加することで奇数次フィルタを作成することができる。彼は高次フィルタを真空管アンプで区切った 2 極フィルタから構築した。彼のオリジナルのグラフでは、2、4、6、8、10 極フィルタの周波数応答のプロットが A、B、C、D、E として示されている。 ${\displaystyle \omega}$${\displaystyle n}$

バターワースは、2 極フィルタと 4 極フィルタの方程式を解き、後者を真空管 アンプで分離してカスケード接続する方法を示し、インダクタ損失にもかかわらず高次のフィルタを構築できるようにしました。1930 年には、モリパーマロイなどの低損失コア材料はまだ発見されておらず、空芯オーディオ インダクタは損失がかなり大きかった。バターワースは、フィルタのコンポーネント値を調整してインダクタの巻き線抵抗を補正できることを発見しました。

彼は、プラグイン端子付きの直径 1.25 インチ、長さ 3 インチのコイル フォームを使用しました。関連するコンデンサと抵抗器は、巻かれたコイル フォーム内に含まれていました。コイルはプレート負荷抵抗器の一部を形成しました。真空管ごとに 2 つの極が使用され、次の真空管のグリッドには RC 結合が使用されました。

バターワースは、基本的なローパス フィルタを変更して、ローパス、ハイパス、バンドパス、バンドストップの機能を持たせることができることも示しました。

バターワースフィルタの周波数応答は、通過帯域で最大限に平坦（つまり、リップルがない）で、阻止帯域でゼロに向かってロールオフします。^[2]対数ボード線図で見ると、応答は負の無限大に向かって直線的に減少します。1次フィルタの応答は、オクターブあたり−6 dB（ 10倍あたり−20 dB ）でロールオフします（すべての1次ローパスフィルタは、同じ正規化された周波数応答を持ちます）。2次フィルタはオクターブあたり−12 dBで減少し、3次フィルタは−18 dBで減少します。バターワースフィルタは、通過帯域や阻止帯域で非単調なリップルを持つ他のフィルタタイプとは異なり、 で単調に変化する振幅関数を持ちます。 ${\displaystyle \omega}$

チェビシェフI 型/II 型フィルタや楕円フィルタと比較すると、バターワース フィルタはロールオフが遅いため、特定のストップバンド仕様を実装するにはより高い次数が必要になりますが、バターワース フィルタは、チェビシェフ I 型/II 型フィルタや楕円フィルタが実現できるものよりも、通過帯域でより線形な位相応答を実現します。

右の図に示す 3 次ローパス バターワース フィルタ設計の伝達関数は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {V_{o}(s)}{V_{i}(s)}}={\frac {R_{4}}{s^{3}(L_{1}C_{2}L_{3})+s^{2}(L_{1}C_{2}R_{4})+s(L_{1}+L_{3})+R_{4}}}}$

バターワースフィルタの簡単な例として、右図に示す3次ローパス設計があります。ここで、 = 4/3 F、 = 1 Ω、 = 3/2 H、 = 1/2 Hです^。[3]コンデンサのインピーダンスを、インダクタのインピーダンスを（複素周波数）とすると、回路方程式からこのデバイスの伝達関数が得られます。 ${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle R_{4}}$${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle L_{3}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle 1/(Cs)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle Ls}$${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$

${\displaystyle H(s)={\frac {V_{o}(s)}{V_{i}(s)}}={\frac {1}{1+2s+2s^{2}+s^{3}}}.}$

周波数応答（ゲイン）の大きさは次のように表される 。${\displaystyle G(\omega )}$

${\displaystyle G(\omega )=|H(j\omega )|={\frac {1}{\sqrt {1+\omega ^{6}}}},}$

から得た

${\displaystyle G^{2}(\omega )=|H(j\omega )|^{2}=H(j\omega )\cdot H^{*}(j\omega )={\frac {1}{1+\omega ^{6}}},}$

そして位相は次のように与えられる。

${\displaystyle \Phi (\omega )=\arg(H(j\omega )).\!}$

グループ遅延は、角周波数に対する位相シフトの負の導関数として定義され、異なる周波数の位相差によって生じる信号の歪みの尺度です。このフィルタのゲインと遅延は、左側のグラフにプロットされています。通過帯域と阻止帯域のどちらのゲイン曲線にもリップルはありません。

伝達関数の絶対値の対数が、右側の 2 番目のグラフの複素周波数空間にプロットされています。関数は、複素周波数平面の左半分の 3 つの極によって定義されます。 ${\displaystyle H(s)}$

これらは、実軸を中心に対称な半径 1 の円上に配置されます。ゲイン関数は、円を完成させるために右半平面上にさらに 3 つの極を持ちます。 ${\displaystyle s}$

各インダクタをコンデンサに置き換え、各コンデンサをインダクタに置き換えることで、ハイパス バターワース フィルタが得られます。

バンドパス バターワース フィルタは、各インダクタと直列にコンデンサを配置し、各コンデンサと並列にインダクタを配置して共振回路を形成することによって得られます。各新しいコンポーネントの値は、対象の周波数で古いコンポーネントと共振するように選択する必要があります。

バンドストップ バターワース フィルタは、各インダクタと並列にコンデンサを配置し、各コンデンサと直列にインダクタを配置して共振回路を形成することによって得られます。各新しいコンポーネントの値は、除去する周波数で古いコンポーネントと共振するように選択する必要があります。

すべてのフィルターと同様に、典型的なプロトタイプはローパス フィルターです。ローパス フィルターはハイパス フィルターに変更することも、他のフィルターと直列に接続してバンドパス フィルターやバンドストップフィルター、さらにこれらの高次バージョンを形成することもできます。

次のバターワースローパスフィルタのゲインは、伝達関数で次のように 表される。${\displaystyle G(\omega )}$${\displaystyle n}$${\displaystyle H(s)}$

${\displaystyle G^{2}(\omega )=\left|H(j\omega )\right|^{2}={\frac {{G_{0}}^{2}}{1+\left({\frac {\omega }{\omega _{c}}}\right)^{2n}}}}$

ここで、はフィルタの次数、はカットオフ周波数（およそ -3 dB 周波数）、はDC ゲイン（ゼロ周波数でのゲイン）です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \omega _{c}}$${\displaystyle G_{0}}$

が無限大に近づくにつれて、ゲインは矩形関数になり、 未満の周波数はゲイン で通過し、 を超える周波数は抑制されることがわかります。 の値が小さいほど、カットオフはそれほど急峻ではありません。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \omega _{c}}$${\displaystyle G_{0}}$${\displaystyle \omega _{c}}$${\displaystyle n}$

伝達関数 を決定したいとします(ラプラス変換より)。およびにおけるラプラス変換の一般的な特性として、 、となるように 選択すると、${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$${\displaystyle \left|H(s)\right|^{2}=H(s){\overline {H(s)}}}$${\displaystyle s=j\omega }$${\displaystyle H(-j\omega )={\overline {H(j\omega )}}}$${\displaystyle H(s)}$

${\displaystyle H(s)H(-s)={\frac {{G_{0}}^{2}}{1+\left({\frac {-s^{2}}{\omega _{c}^{2}}}\right)^{n}}},}$

すると、バターワースフィルタの周波数応答が得られます。 ${\displaystyle s=j\omega }$

この式の極は、半径の円上の等間隔の点に発生し、負の実軸の周りに対称です。安定性のために、伝達関数 は、の負の実半平面内の極のみを含むように選択されます。- 番目の極は次のように指定されます 。${\displaystyle n}$${\displaystyle \omega _{c}}$${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle -{\frac {s_{k}^{2}}{\omega _{c}^{2}}}=(-1)^{\frac {1}{n}}=e^{\frac {j(2k-1)\pi }{2n}}\qquad k=1,2,3,\ldots ,n}$

そしてそれゆえ

${\displaystyle s_{k}=\omega _{c}e^{\frac {j(2k+2n-1)\pi }{2n}}\qquad k=1,2,3,\ldots ,n.}$

伝達関数（またはシステム関数）は、これらの極を用いて次のように表される。

${\displaystyle H(s)=G_{0}\prod _{k=1}^{n}{\frac {\omega _{c}}{s-s_{k}}}=G_{0}\prod _{k=1}^{n}{\frac {\omega _{c}}{s-\omega _{c}e^{\frac {j(2k+n-1)\pi }{2n}}}}}$。

ここで、はシーケンス演算子の積です。分母は の Butterworth 多項式です。 ${\displaystyle \textstyle {\prod }}$${\displaystyle s}$

バターワース多項式は上記のように複素形式で記述されることもあるが、通常はやなどの複素共役の極対を乗算して実係数で記述される。多項式は と設定して正規化される 。正規化されたバターワース多項式は、一般的な積の形式を持つ。 ${\displaystyle s_{1}}$${\displaystyle s_{n}}$${\displaystyle \omega _{c}=1}$

${\displaystyle B_{n}(s)=\prod _{k=1}^{\frac {n}{2}}\left[s^{2}-2s\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]\qquad n={\text{even}}}$

${\displaystyle B_{n}(s)=(s+1)\prod _{k=1}^{\frac {n-1}{2}}\left[s^{2}-2s\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]\qquad n={\text{odd}}.}$

次の表に、1 次から 10 次までのバターワース多項式の因数を示します (小数点以下 6 桁まで)。

1 次から 6 次までのバターワース多項式の因数を次の表に示します (正確)。

ここでギリシャ文字のファイ（または）は黄金比を表す。これは2次方程式の解となる無理数であり、^{[4] [5]}${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x^{2}-x-1=0,}$

番目のバターワース多項式は 、${\displaystyle n}$

${\displaystyle B_{n}(s)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}s^{k}\,,}$

その係数は再帰式^{[6] [7]で与えられる。}${\displaystyle a_{k}}$

${\displaystyle {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}={\frac {\cos(k\gamma )}{\sin((k+1)\gamma )}}}$

そして、積の式によって

${\displaystyle a_{k}=\prod _{\mu =1}^{k}{\frac {\cos((\mu -1)\gamma )}{\sin(\mu \gamma )}}\,,}$

どこ

${\displaystyle a_{0}=1\qquad {\text{and}}\qquad \gamma ={\frac {\pi }{2n}}\,.}$

さらに、最初の10個のバターワース多項式の丸められた係数は次のようになります。 ${\displaystyle a_{k}=a_{n-k}}$${\displaystyle a_{k}}$${\displaystyle B_{n}(s)}$

正規化されたバターワース多項式は、次のように 任意のローパスフィルタのカットオフ周波数の伝達関数を決定するために使用できます。${\displaystyle \omega _{c}}$

${\displaystyle H(s)={\frac {G_{0}}{B_{n}(a)}}}$、 どこ${\displaystyle a={\frac {s}{\omega _{c}}}.}$

他のバンドフォームへの変換も可能です。プロトタイプ フィルターを参照してください。

とを仮定すると、ゲインの周波数に関する微分は次のように表される。 ${\displaystyle \omega _{c}=1}$${\displaystyle G_{0}=1}$

${\displaystyle {\frac {dG}{d\omega }}=-nG^{3}\omega ^{2n-1}}$

これはゲインが常に正であるため、すべてに対して単調減少する。したがって、バターワースフィルタのゲイン関数にはリップルがない。ゲインの級数展開は次のように与えられる。 ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle G}$

${\displaystyle G(\omega )=1-{\frac {1}{2}}\omega ^{2n}+{\frac {3}{8}}\omega ^{4n}+\ldots }$

言い換えると、 2次導関数まで（ただし 2 次導関数は含まない）のゲインのすべての導関数は でゼロになり、「最大平坦性」が得られます。単調性要件が通過帯域のみに限定され、阻止帯域でリップルが許容される場合、逆チェビシェフ フィルタなどの同じ次数のフィルタを設計することが可能であり、これは通過帯域で「最大平坦」なバターワースよりも平坦です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \omega =0}$

再び と仮定すると、 が大きい場合のゲインの対数の傾きは ${\displaystyle \omega _{c}=1}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \lim _{\omega \rightarrow \infty }{\frac {d\log(G)}{d\log(\omega )}}=-n.}$

したがって、デシベルでは、高周波ロールオフは 20  dB/decade、または 6  dB/octave になります (電力は電圧ゲインの 2 乗に比例するため、係数 20 が使用されます。20対数規則を参照してください)。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

必要最小限の要素数でバターワースフィルタを設計するには、バターワースフィルタの最小次数を次のように計算します。^[8]

${\displaystyle n=\left\lceil {\frac {\log {{\bigr (}{\frac {10^{\alpha _{s}/10}-1}{10^{\alpha _{p}/10}-1}}}{\bigr )}}{2\log {(\omega _{s}/\omega _{p})}}}\right\rceil }$

どこ：

${\displaystyle \omega _{p}}$およびは通過帯域周波数と、その周波数での減衰量（dB）です。${\displaystyle \alpha _{p}}$

${\displaystyle \omega _{s}}$およびはストップバンド周波数と、その周波数での減衰量（dB）です。${\displaystyle \alpha _{s}}$

${\displaystyle n}$最小の極数、つまりフィルタの次数です。

${\displaystyle \lceil \cdot \rceil }$天井関数を表します。

バターワースフィルタのカットオフ減衰は通常、-3.01 dB と定義されます。カットオフ周波数で異なる減衰を使用したい場合は、各極に次の係数を適用します。その場合、極は円上に残りますが、半径は 1 ではなくなります。^[8]カットオフ減衰方程式は、ページ上部に記載されているバターワース定義方程式の代数操作によって導出できます。^[9]

$${\displaystyle {\begin{aligned}p_{A}=p_{1}\times (10^{\alpha /10}-1)^{{-1}/{2n}}&\qquad {\text{For 0}}\leq \alpha <\infty \end{aligned}}}$$

どこ：

${\displaystyle p_{A}}$希望するカットオフ減衰を設定するために再配置されたポールです。

${\displaystyle p_{1}}$単位円上にある -3.01 dB カットオフ ポールです。

${\displaystyle \alpha }$カットオフ周波数における所望の減衰量を dB で表したものです (1 dB、10 dB など)。

${\displaystyle n}$極の数、つまりフィルターの次数です。

線形アナログ フィルタを実装するには、いくつかの異なるフィルタ トポロジを使用できます。パッシブ実現に最もよく使用されるトポロジは Cauer トポロジであり、アクティブ実現に最もよく使用されるトポロジは Sallen-Key トポロジです。

カウアートポロジーは、受動部品（シャントコンデンサと直列インダクタ）を使用して線形アナログフィルタを実装します。与えられた伝達関数を持つバターワースフィルタは、カウアー1形式を使用して実現できます。k番目の要素は^[10]で与えられます。

${\displaystyle C_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]\qquad k={\text{odd}}}$

${\displaystyle L_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]\qquad k={\text{even}}.}$

必要に応じて、フィルタは直列インダクタから始めることができます。その場合、L _kはkが奇数で、C _kはkが偶数です。これらの式は、 L _kとC _{k の}両方をg _kに等しくすることで、便利に組み合わせることができます。つまり、g _{k は}イミタンスをsで割ったものです。

${\displaystyle g_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]\qquad k=1,2,3,\ldots ,n.}$

_{これらの式は、ω c} = 1の二重終端フィルタ（つまり、ソースと負荷インピーダンスが両方とも1に等しい）に適用されます。このプロトタイプフィルタは、他のインピーダンス値と周波数にスケーリングできます。単一終端フィルタ（つまり、理想的な電圧または電流源によって駆動されるフィルタ）の場合、要素値は次のように与えられます^[3]

${\displaystyle g_{j}={\frac {a_{j}a_{j-1}}{c_{j-1}g_{j-1}}}\qquad j=2,3,\ldots ,n}$

どこ

${\displaystyle g_{1}=a_{1}}$

そして

${\displaystyle a_{j}=\sin \left[{\frac {(2j-1)}{2n}}\pi \right]\qquad j=1,2,3,\ldots ,n}$

${\displaystyle c_{j}=\cos ^{2}\left[{\frac {j}{2n}}\pi \right]\qquad j=1,2,3,\ldots ,n.}$

電圧駆動フィルタは直列要素から始め、電流駆動フィルタはシャント要素から始める必要があります。これらの形式は、ダイプレクサとマルチプレクサの設計に役立ちます。^[3]

Sallen -Key トポロジーは、能動部品と受動部品 (非反転バッファ、通常はオペアンプ、抵抗器、コンデンサ) を使用して線形アナログ フィルタを実装します。各 Sallen-Key ステージは共役な極のペアを実装します。フィルタ全体は、すべてのステージを直列にカスケード接続することで実装されます。実数の極がある場合 (が奇数の場合)、これは通常RC 回路として個別に実装し、能動ステージとカスケード接続する必要があります。 ${\displaystyle n}$

右に示す2次サレン・キー回路の伝達関数は次のように表される。

${\displaystyle H(s)={\frac {V_{\text{out}}(s)}{V_{\text{in}}(s)}}={\frac {1}{1+C_{2}(R_{1}+R_{2})s+C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}s^{2}}}.}$

分母がバターワース多項式の2次項の1つであることを望みます。 と仮定すると、これは次のことを意味します。 ${\displaystyle \omega _{c}=1}$

${\displaystyle C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}=1\,}$

そして

${\displaystyle C_{2}(R_{1}+R_{2})=-2\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\pi \right).}$

これにより、自由に選択できる 2 つの未定義のコンポーネント値が残ります。

1つのオペアンプのみを使用した3次および4次のサレン・キートポロジーのバターワースローパスフィルタは、Huelsmanによって説明されています。 ^{[11] [12]}また、さらに高次の単一アンプバターワースフィルタは、Jurišićらによって提供されています。^[13]

バターワース フィルタやその他のフィルタのデジタル実装は、多くの場合、アナログ フィルタ設計を離散化する 2 つの異なる方法である、双線形変換法または整合 Z 変換法に基づいています。バターワースなどの全極フィルタの場合、整合 Z 変換法はインパルス不変性法と同等です。高次のデジタル フィルタは量子化誤差の影響を受けやすいため、多くの場合、カスケード接続された双二次セクションとして計算され、奇数次の場合は 1 次または 3 次セクションが 1 つ追加されます。

バターワース フィルタのプロパティは次のとおりです。

• 通過帯域と阻止帯域の両方で単調な振幅応答
• カットオフ周波数付近での急速なロールオフは、次数の増加とともに改善される。
• ステップ応答ではかなりのオーバーシュートとリンギングが発生し、次数が増加するにつれて悪化します。
• わずかに非線形な位相応答
• 群遅延は主に周波数に依存する

これは、離散時間バターワース フィルターのゲインを他の一般的なフィルター タイプと並べて示した画像です。これらのフィルターはすべて 5 次です。

バターワース フィルターは、チェビシェフ フィルターや楕円フィルターよりもカットオフ周波数付近でゆっくりとロールオフしますが、リップルはありません。

• ベッセルフィルタ
• チェビシェフフィルタ
• コムフィルタ
• 楕円フィルタ
• フィルター設計