m派生フィルタ

この記事またはセクションの一部は、読者のコンデンサとインダクタの複素インピーダンス表現に関する知識と、信号の周波数領域表現に関する知識を前提としています。

m 導出フィルタまたはm タイプフィルタは、イメージ法を使用して設計された電子フィルタの一種です。これらは、1920 年代初頭にOtto Zobelによって発明されました。 ^{[1]このフィルタタイプは、もともと電話の}多重化で使用することを目的としており、既存の定数 k タイプフィルタを改良したものです。^[2]対処すべき主な問題は、終端インピーダンスに対するフィルタのより良い整合を実現する必要性でした。一般に、イメージ法で設計されたすべてのフィルタは正確な整合を実現できませんが、m タイプフィルタは、パラメータ m を適切に選択することで大幅に改善されます。m タイプフィルタセクションには、通過帯域のカットオフ周波数から阻止帯域のすぐ内側の減衰極への遷移が急速であるというさらなる利点があります。これらの利点にもかかわらず、m タイプフィルタには欠点があります。減衰極を越えた周波数では、応答が再び上昇し始め、m タイプは阻止帯域の除去が不十分です。このため、m型セクションを使用して設計されたフィルタは、両方のタイプから最適なパフォーマンスを得るために、k型セクションとm型セクションを混合し、異なるポイントでmの値が異なる複合フィルタとして設計されることが多い。^[3]

ゾベルは1920年にインピーダンス整合ネットワークの特許を取得しました^[5]。これは本質的には、現在m型フィルタと呼ばれているもののトポロジーを使用していましたが、ゾベルはそれをそのように命名したり、イメージ法で分析したりしませんでした。これは、ジョージ・キャンベルが1922年にm型フィルタの基礎となった定数k型設計を発表する前のことでした。^[6]ゾベルは1923年にm型フィルタのイメージ分析理論を発表しました。^{[7]かつては人気がありましたが、M型フィルタやイメージパラメータ設計のフィルタは一般に、より高度な}ネットワーク合成法に取って代わられ、現在ではほとんど設計されていません。^[8]

m 導出フィルタの構成要素は、すべてのイメージ インピーダンス フィルタと同様に、ハーフ セクションと呼ばれる「L」ネットワークで、直列インピーダンス Zとシャントアドミタンス Yで構成されます。m 導出フィルタは、定数 k フィルタの導関数です。設計の出発点は、定数 k プロトタイプから導出されたZとYの値であり、次の式で与えられます。

${\displaystyle k^{2}={\frac {Z}{Y}}}$

ここで、k はフィルタの公称インピーダンス、つまりR ₀です。ここで、設計者はZとYに任意の定数m (0 < m < 1) を掛けます。m 導出セクションには、直列と並列の 2 種類があります。m 導出直列ハーフセクションを取得するには、設計者は、イメージインピーダンス Z を元の定数_iTk セクションのイメージインピーダンスと同じにするために 1/mY に追加する必要があるインピーダンスを決定します。イメージインピーダンスの一般的な式から、必要な追加インピーダンスは^[9]と示されます。

${\displaystyle {\frac {1-m^{2}}{m}}Z.}$

m導出シャント半セクションを得るために、アドミタンスを1/mZに追加して、イメージインピーダンスZを_iΠ元の半セクションのイメージインピーダンスと同じにします。必要な追加アドミタンスは次のように示されます^[10]

${\displaystyle {\frac {1-m^{2}}{m}}Y.}$

これらの回路の一般的な配置は、ローパスセクションの具体的な例とともに右の図に示されています。

この設計の結果、m から派生した半断面は、片側のみ k 型断面と一致することになります。また、ある m の値の m 型断面は、k_i型の Z を提供する側を除いて、別の m の値の別の m 型断面とは一致しません。^[11]

示されているローパスハーフセクションの場合、mタイプのカットオフ周波数はkタイプと同じであり、次のように表されます。

${\displaystyle \omega _{c}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}.}$

減衰極は次の場所で発生します。

${\displaystyle \omega _{\infty }={\frac {\omega _{c}}{\sqrt {1-m^{2}}}}.}$

このことから、m の値が小さいほど、カットオフ周波数に近くなり、カットオフが鋭くなることは明らかです。このカットオフにもかかわらず、m タイプの不要なストップバンド応答もカットオフ周波数に近づくため、後続のセクションでフィルタリングするのが難しくなります。m の値は、通常、これらの相反する要件の間の妥協点として選択されます。また、インダクタの固有抵抗のため、m をどれだけ小さくできるかには実際的な制限があります。これにより、減衰極が浅くなり (つまり、真の無限極ではなくなります)、カットオフの傾斜が緩くなります。この効果はに近づくほど顕著になり、m が約 0.2 以下になると応答の改善は見られなくなります。^{[11] [12] [13]}${\displaystyle \omega _{\infty }}$${\displaystyle \omega _{c}\,\!}$${\displaystyle \omega _{\infty }}$${\displaystyle \omega _{c}\,\!}$

イメージ インピーダンスに関する次の式はすべて、ローパス プロトタイプ セクションを基準としています。これらは公称インピーダンスR _{0 = 1 にスケーリングされており、これらの式内の周波数はすべてカットオフ周波数 ω c} = 1にスケーリングされています。

直列セクションのイメージインピーダンスは^{[14]で与えられる。}

${\displaystyle Z_{iT}={\sqrt {1-\omega ^{2}}}}$

これは定数kセクションのものと同じである。

${\displaystyle Z_{i\Pi m}={\frac {1-\left(\omega /\omega _{\infty }\right)^{2}}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}.}$

シャント部の像インピーダンスは^{[11]で与えられる。}

${\displaystyle Z_{i\Pi }={\frac {1}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}}$

これは定数kセクションのものと同じである。

${\displaystyle Z_{iTm}={\frac {\sqrt {1-\omega ^{2}}}{1-\left(\omega /\omega _{\infty }\right)^{2}}}}$

k型セクションと同様に、m型ローパスセクションのイメージインピーダンスは、カットオフ周波数以下では純粋に実数で、カットオフ周波数以上では純粋に虚数です。グラフから、通過帯域では、一定の純抵抗終端に最も近いインピーダンス整合がm = 0.6付近で発生することがわかります。 ^[14]

一般にm導出断面の場合、半断面の透過パラメータは^{[14]で与えられる。}

${\displaystyle \gamma =\sinh ^{-1}{\frac {mZ}{\sqrt {k^{2}+(1-m^{2})Z^{2}}}}}$

そしてn個の半セクション

${\displaystyle \gamma _{n}=n\gamma \,\!}$

ローパスLセクションの特定の例では、伝送パラメータは3つの周波数帯域で異なる方法で解かれます。^[14]

伝送はロスレスである ため:${\displaystyle 0<\omega <\omega _{c}\,\!}$

${\displaystyle \gamma =\alpha +i\beta =0+i{\frac {1}{2}}\cos ^{-1}\left(1-{\frac {2m^{2}}{\left({\frac {\omega _{c}}{\omega }}\right)^{2}-\left({\frac {\omega _{c}}{\omega _{\infty }}}\right)^{2}}}\right)}$

伝送パラメータ は${\displaystyle \omega _{c}<\omega <\omega _{\infty }}$

${\displaystyle \gamma =\alpha +i\beta ={\frac {1}{2}}\cosh ^{-1}\left({\frac {2m^{2}}{\left({\frac {\omega _{c}}{\omega }}\right)^{2}-\left({\frac {\omega _{c}}{\omega _{\infty }}}\right)^{2}}}-1\right)+i{\frac {\pi }{2}}}$

伝送パラメータ は${\displaystyle \omega _{\infty }<\omega <\infty }$

${\displaystyle \gamma =\alpha +i\beta ={\frac {1}{2}}\cosh ^{-1}\left(1-{\frac {2m^{2}}{\left({\frac {\omega _{c}}{\omega }}\right)^{2}-\left({\frac {\omega _{c}}{\omega _{\infty }}}\right)^{2}}}\right)+i0}$

示されているイメージインピーダンス、減衰、位相変化のグラフは、ローパスプロトタイプフィルタセクションのグラフです。プロトタイプのカットオフ周波数は ω _c = 1 rad/s、公称インピーダンスは R ₀ = 1 Ω です。これは、L = 1 ヘンリー、C = 1 ファラドのフィルタハーフセクションによって生成されます。このプロトタイプは、インピーダンスと周波数を目的の値にスケーリングできます。ローパスプロトタイプは、適切な周波数変換を適用することで、ハイパス、バンドパス、またはバンドストップタイプに変換することもできます。^[15]

いくつかの L ハーフセクションをカスケード接続して複合フィルタを形成できます。これらの組み合わせでは、同じインピーダンスは常に同じ方向を向いている必要があります。したがって、2 つの同一の L ハーフセクションで形成できる回路は 2 つあります。Z が_iTZ に面している場合_iT、セクションはセクションと呼ばれます。Z がZ に面しているΠ場合、形成されるセクションは T セクションです。これらのいずれかにハーフセクションをさらに追加すると、直列またはシャント要素で始まり、終わるラダーネットワークが形成されます。^[16]_iΠiΠ

イメージ法によって予測されるフィルタの特性は、セクションがイメージインピーダンスで終端されている場合にのみ正確であることに留意する必要があります。これは通常、固定抵抗で終端される両端のセクションには当てはまりません。セクションがフィルタの端から離れるほど、終端インピーダンスの影響が介在セクションによってマスクされるため、予測はより正確になります。フィルタの端に m = 0.6 の半分のセクションを配置するのが一般的です。この値により、_i通過帯域で Z が最も平坦になり、抵抗終端とのマッチングが最適になるためです。^[17]

• 画像インピーダンス
• 定数kフィルタ
• 一般的なm _n型画像フィルタ
• mm'型フィルター
• 合成画像フィルター

• Mathaei、Young、Jones 『マイクロ波フィルタ、インピーダンス整合ネットワーク、および結合構造』 McGraw-Hill 1964 (1980 年版はISBN 0-89006-099-1 )。 
• 分析のより簡単な説明については、以下を参照。

• Ghosh, Smarajit、「ネットワーク理論：分析と統合」、Prentice Hall of India、pp. 564–569 2005 ISBN 81-203-2638-5。