LC回路

LC回路は、共振回路、タンク回路、同調回路とも呼ばれ、インダクタ（文字Lで表される）とコンデンサ（文字Cで表される）が接続された電気回路です。この回路は、電気共振器、つまり音叉の電気的な類似物として機能し、回路の共振周波数で振動するエネルギーを蓄積します。

LC回路は、特定の周波数の信号を生成するため、またはより複雑な信号から特定の周波数の信号を取り出すために使用されます。この機能はバンドパスフィルタと呼ばれます。LC回路は、多くの電子機器、特に無線機器において重要な構成要素であり、発振器、フィルタ、チューナー、周波数ミキサーなどの回路に使用されています。

LC回路は、抵抗によるエネルギー損失がないことを前提とした理想化されたモデルです。実際のLC回路では、部品や接続線内のわずかではあるもののゼロではない抵抗による損失が必ず発生します。LC回路の目的は通常、減衰を最小限に抑えて振動させることであるため、抵抗はできるだけ低く抑えられます。実際の回路で損失が全くないものはありませんが、この理想的な回路形式を研究することは、理解と物理的な直感を深める上で有益です。抵抗を考慮した回路モデルについては、RLC回路を参照してください。

上述の2要素LC回路は、インダクタ・コンデンサネットワーク（またはLCネットワーク）の最も単純なタイプです。これは、より多くのインダクタとコンデンサを持つより複雑な（高次）LCネットワークと区別するために、2次LC回路^{[ 1 ] [ 2 ]}とも呼ばれます。2つ以上のリアクタンスを持つこのようなLCネットワークは、複数の共振周波数を持つ可能性があります。

ネットワークの次数は、複素周波数変数sにおけるネットワークを記述する有理関数の次数である。一般に、次数は回路内のL要素とC要素の数に等しく、いかなる場合でもこの数を超えることはない。

LC回路は、固有共振周波数で振動することで電気エネルギーを蓄えることができます。アニメーションをご覧ください。コンデンサは、電極間の電圧に応じて電界（E）にエネルギーを蓄え、インダクタは、流れる電流に応じて磁界（B）にエネルギーを蓄えます。

充電されたコンデンサにインダクタを接続すると、コンデンサにかかる電圧によってインダクタに電流が流れ、インダクタの周囲に磁場が発生します。電流が流れて電荷が消費されると、コンデンサにかかる電圧はゼロになります。この時点で、インダクタは電流の変化に抵抗するため、コイルの磁場に蓄えられたエネルギーによってコイルに電圧が発生します。この誘導電圧によって電流が流れ始め、コンデンサは元の電荷とは逆極性の電圧で再充電されます。ファラデーの法則により、電流を駆動する起電力は磁場の減少によって生じるため、コンデンサの充電に必要なエネルギーは磁場から抽出されます。磁場が完全に消滅すると電流は停止し、電荷は再びコンデンサに蓄えられますが、極性は以前と逆になります。その後、電流がインダクタを逆方向に流れることで、サイクルが再び始まります。

電荷はコンデンサの極板間をインダクタを通して往復します。エネルギーはコンデンサとインダクタの間で往復振動し、外部回路から補充されない限り、内部抵抗によって振動が消滅します。数学的には調和振動子として知られる同調回路の動作は、振り子が前後に揺れる様子や、タンク内の水が前後に揺れる様子に似ています。このため、この回路はタンク回路とも呼ばれます。^{[ 3 ]}固有振動数（つまり、上記のように他のシステムから隔離された状態で振動する周波数）は、静電容量とインダクタンスの値によって決まります。ほとんどの用途では、同調回路は交流電流を印加して連続振動を駆動するより大きな回路の一部となっています。印加電流の周波数が回路の固有共振周波数（固有振動数）である場合、${\displaystyle f_{0}\,}$（以下参照）共振が発生し、小さな駆動電流で大きな振幅の振動電圧と電流を励起することができます。電子機器の典型的な同調回路では、振動は非常に速く、毎秒数千回から数十億回にも及びます。

LC回路が外部電源から角周波数_ω₀で駆動されたときに共振が発生する。この角周波数ω₀では、誘導性リアクタンスと容量性リアクタンスの大きさが等しくなる。この等式が特定の回路で成り立つ周波数を共振周波数と呼ぶ。LC回路の共振周波数は

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}},}$

ここで、Lはヘンリー単位のインダクタンス、Cはファラッド単位の静電容量です。角周波数ω₀_の単位はラジアン毎秒です。

ヘルツ単位での等価周波数は

${\displaystyle f_{0}={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}.}$

LC回路の共振効果は、信号処理や通信システムにおいて多くの重要な応用例がある。

• タンク回路の最も一般的な用途は、無線送信機と受信機の同調です。例えば、ラジオを特定の放送局に合わせる場合、LC回路はその特定の搬送周波数で共振するように設定されます。
• 直列共振回路は電圧増幅を提供する。
• 並列共振回路は電流増幅を提供する。
• 並列共振回路は、RFアンプの出力回路における負荷インピーダンスとして使用できる。インピーダンスが高いため、アンプの利得は共振周波数で最大となる。
• 誘導加熱では、並列共振回路と直列共振回路の両方が使用される。

LC回路は電子共振器として機能し、多くの用途において重要な構成要素となっている。

• アンプ
• 非接触型カード
• 電子商品監視（セキュリティタグ）
• フィルター
• フォスター・シーリー判別器
• グラフィックタブレット
• ミキサー
• 発振器
• チューナー

LC回路の直列構成では、インダクタ（L）とコンデンサ（C）が図のように直列に接続されます。開放端子間の全電圧Vは、インダクタにかかる電圧とコンデンサにかかる電圧の合計となります。回路の正極端子に流れる電流Iは、コンデンサとインダクタの両方を流れる電流に等しくなります。

${\displaystyle {\begin{aligned}V&=V_{L}+V_{C},\\I&=I_{L}=I_{C}.\end{aligned}}}$

図に示すようにインダクタ（L）とコンデンサ（C）を並列接続すると、開放端子間の電圧Vは、インダクタにかかる電圧とコンデンサにかかる電圧の合計に等しくなります。回路の正極端子に流れる全電流Iは、インダクタを流れる電流とコンデンサを流れる電流の合計に等しくなります。

${\displaystyle {\begin{aligned}V&=V_{\mathsf {L}}=V_{\mathsf {C}}\ ,\\I&=I_{\mathsf {L}}+I_{\mathsf {C}}~.\end{aligned}}}$

The LC circuit can be solved using the Laplace transform.

We begin by defining the relation between current and voltage across the capacitor and inductor in the usual way:

${\displaystyle v_{\mathrm {C} }(t)=v(t)\ ,~}$${\displaystyle i(t)=C\ {\frac {\mathrm {d} \ v_{\mathrm {C} }}{\mathrm {d} t}}\ ,~}$ and ${\displaystyle ~v_{\mathrm {L} }(t)=L\ {\frac {\mathrm {d} \ i}{\mathrm {d} t}}\;.}$

Then by application of Kirchhoff's laws, we may arrive at the system's governing differential equations

${\displaystyle v_{in}(t)=v_{\mathrm {L} }(t)+v_{\mathrm {C} }(t)=L\ {\frac {\mathrm {d} \ i}{\mathrm {d} t}}+v=L\ C\ {\frac {\mathrm {d} ^{2}\ v}{\mathrm {d} t^{2}}}+v\;.}$

With initial conditions ${\displaystyle \ v(0)=v_{0}\ }$ and ${\displaystyle \ i(0)=i_{0}=C\cdot v'(0)=C\cdot v'_{0}\;.}$

Making the following definitions,

${\displaystyle \omega _{0}\equiv {\frac {1}{\ {\sqrt {L\ C\ }}}}~}$ and ${\displaystyle ~f(t)\equiv \omega _{0}^{2}\ v_{\mathrm {in} }(t)}$

gives

${\displaystyle f(t)={\frac {\ \mathrm {d} ^{2}\ v\ }{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega _{0}^{2}\ v\;.}$

Now we apply the Laplace transform.

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} \left[\ f(t)\ \right]=\operatorname {\mathcal {L}} \left[\ {\frac {\ \mathrm {d} ^{2}\ v\ }{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega _{0}^{2}\ v\ \right]\,,}$

${\displaystyle F(s)=s^{2}\ V(s)-s\ v_{0}-v'_{0}+\omega _{0}^{2}\ V(s)\;.}$

The Laplace transform has turned our differential equation into an algebraic equation. Solving for V in the s domain (frequency domain) is much simpler viz.

${\displaystyle V(s)={\frac {\ s\ v_{0}+v'_{0}+F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}}$

${\displaystyle V(s)={\frac {\ s\ v_{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}+{\frac {v'_{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}+{\frac {F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\,,}$

Which can be transformed back to the time domain via the inverse Laplace transform:

${\displaystyle v(t)=\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ V(s)\ \right]}$

${\displaystyle v(t)=\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {\ s\ v_{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}+{\frac {v'_{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}+{\frac {F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right],}$

For the second summand, an equivalent fraction of ${\displaystyle \omega _{0}}$ is needed:

${\displaystyle v(t)=v_{0}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {s}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right]+v'_{0}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {\omega _{0}}{\omega _{0}(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\ \right]+\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right],}$

For the second summand, an equivalent fraction of ${\displaystyle \omega _{0}}$ is needed:

${\displaystyle v(t)=v_{0}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {s}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right]+{\frac {v'_{0}}{\omega _{0}}}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {\omega _{0}}{(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\ \right]+\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right],}$

${\displaystyle v(t)=v_{0}\cos(\omega _{0}\ t)+{\frac {v'_{0}}{\ \omega _{0}\ }}\ \sin(\omega _{0}\ t)+\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {F(s)}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ \right]}$

The final term is dependent on the exact form of the input voltage. Two common cases are the Heaviside step function and a sine wave. For a Heaviside step function we get

${\displaystyle v_{\mathrm {in} }(t)=M\ u(t)\,,}$

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}{\frac {V_{\mathrm {in} }(s)}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ \right]~=~\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ M\ {\frac {1}{\ s\ (s^{2}+\omega _{0}^{2})\ }}\ \right]~=~M\ {\Bigl (}1-\cos(\omega _{0}\ t){\Bigr )}\,,}$

${\displaystyle v(t)=v_{0}\ \cos(\omega _{0}\ t)+{\frac {v'_{0}}{\omega _{0}}}\ \sin(\omega _{0}\ t)+M\ {\Bigl (}1-\cos(\omega _{0}\ t){\Bigr )}\;.}$

For the case of a sinusoidal function as input we get:

${\displaystyle v_{\mathrm {in} }(t)=U\ \sin(\omega _{\mathrm {f} }\ t)\Rightarrow V_{\mathrm {in} }(s)={\frac {\ U\ \omega _{\mathrm {f} }\ }{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\,}$

where ${\displaystyle U}$ is the amplitude and ${\displaystyle \omega _{f}}$ the frequency of the applied function.

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ {\frac {1}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ {\frac {U\ \omega _{\mathrm {f} }}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]}$

Using the partial fraction method:

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }{\frac {1}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ {\frac {1}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]=\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }{\frac {A+Bs}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ +{\frac {C+Ds}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]}$

Simplifiying on both sides

${\displaystyle 1=(A+Bs)(\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ )+(C+Ds)(\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ )}$

${\displaystyle 1=(A\ s^{2}+\ A\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ +\ B\ s^{3}+\ B\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ )+(C\ s^{2}+\ C\ \omega _{0}^{2}\ +\ D\ s^{3}+\ D\ s\omega _{0}^{2}\ )}$

${\displaystyle 1=s^{3}(B\ +\ D\ )+s^{2}(A\ +\ C)+s(B\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}+\ D\ \omega _{0}^{2})+(A\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ +\ C\ \omega _{0}^{2})}$

We solve the equation for A, B and C:

${\displaystyle A+C=0\Rightarrow C=-A}$

${\displaystyle A\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ +\ C\ \omega _{0}^{2}=1\Rightarrow A\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\ A\ \omega _{0}^{2}=1}$

${\displaystyle \Rightarrow A\ ={\frac {1}{(\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\omega _{0}^{2})}}}$

${\displaystyle \Rightarrow C\ =-{\frac {1}{(\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\omega _{0}^{2})}}}$

${\displaystyle B+C=0}$

${\displaystyle B\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}+\ D\ \omega _{0}^{2}=0\Rightarrow B\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\ B\ \omega _{0}^{2}=0\Rightarrow B\ (\omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2})=0}$

${\displaystyle \Rightarrow B=0,\ D=0}$

Substitute the values of A, B and C:

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }{\frac {\frac {1}{(\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\omega _{0}^{2})}}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}+{\frac {-{\frac {1}{(\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\omega _{0}^{2})}}}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]}$

Isolating the constant and using equivalent fractions to adjust for lack of numerator:

${\displaystyle {\frac {\ \omega _{0}^{2}\ U\omega _{\mathrm {f} }\ }{\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\left({\frac {\omega _{0}}{\omega _{0}(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}-{\frac {\omega _{f}}{\omega _{f}(s^{2}+\omega _{f}^{2})}}\right)\right]\,}$

Performing the reverse Laplace transform on each summands:

${\displaystyle {\frac {\ \omega _{0}^{2}\ U\omega _{\mathrm {f} }\ }{\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\left(\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {1}{\omega _{0}}}{\frac {\omega _{0}}{(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\right]-\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[{\frac {1}{\omega _{\mathrm {f} }\ }}{\frac {\omega _{\mathrm {f} }\ }{(s^{2}+\omega _{f}^{2})}}\right]\right)\,}$

${\displaystyle {\frac {\ \omega _{0}^{2}\ U\omega _{\mathrm {f} }\ }{\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\left({\frac {1}{\omega _{0}}}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[{\frac {\omega _{0}}{(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\right]-{\frac {1}{\omega _{\mathrm {f} }\ }}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[{\frac {\omega _{\mathrm {f} }\ }{(s^{2}+\omega _{f}^{2})}}\right]\right)\,}$

${\displaystyle v_{\mathrm {in} }(t)={\frac {\ \omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }\ }{\omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}}}\left({\frac {1}{\omega _{0}}}\ \sin(\omega _{0}\ t)-{\frac {1}{\ \omega _{\mathrm {f} }\ }}\ \sin(\omega _{\mathrm {f} }\ t)\right)\;,}$

Using initial conditions in the Laplace solution:

${\displaystyle v(t)=v_{0}\cos(\omega _{0}\ t)+{\frac {v'_{0}}{\omega _{0}\ }}\ \sin(\omega _{0}\ t)+{\frac {\omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }}{\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\left({\frac {1}{\omega _{0}}}\ \sin(\omega _{0}\ t)-{\frac {1}{\ \omega _{\mathrm {f} }\ }}\ \sin(\omega _{\mathrm {f} }\ t)\right)\;.}$

コンデンサとインダクタが電気振動を生成できるという最初の証拠は、1826 年にフランスの科学者フェリックス・サヴァリーによって発見されました。^{[ 6 ] [ 7 ]}彼は、ライデン瓶を鉄の針に巻き付けたワイヤーを通して放電すると、針が一方向に磁化されることもあれば、反対方向に磁化されることもあることを発見しました。彼は、これはワイヤー内の減衰振動放電電流によって引き起こされ、針の磁化が影響を及ぼさないほど小さくなるまで前後に反転し、針がランダムな方向に磁化されることが原因であると正しく推論しました。アメリカの物理学者ジョセフ・ヘンリーは、1842 年にサヴァリーの実験を再現し、明らかに独立して同じ結論に達しました。^{[ 8 ] [ 9 ]}

1853年、アイルランドの科学者ウィリアム・トムソン（ケルビン卿）は、ライデン瓶をインダクタンスを通して放電すると振動するはずであることを数学的に示し、その共振周波数を導き出した。^{[ 6 ] [ 8 ] [ 9 ]}イギリスのラジオ研究者オリバー・ロッジは、長いワイヤーを通して多数のライデン瓶を放電することで、可聴域に共振周波数を持つ同調回路を作り、放電時に火花から音楽的な音色を出した。^{[ 8 ]} 1857年、ドイツの物理学者ベレント・ヴィルヘルム・フェダーセンは、回転鏡で共振ライデン瓶回路によって発生した火花を撮影し、振動の視覚的な証拠を提供した。^{[ 6 ] [ 8 ] [ 9 ]} 1868年、スコットランドの物理学者ジェームズ・クラーク・マクスウェルは、インダクタンスと容量を持つ回路に交流電流を印加した場合の効果を計算し、共振周波数で応答が最大になることを示した。^{[ 6 ]}電気共振曲線の最初の例は、1887年にドイツの物理学者ハインリヒ・ヘルツが電波の発見に関する先駆的な論文で発表したもので、彼の火花ギャップLC共振器検出器から得られる火花の長さを周波数の関数として示しています。^{[ 6 ]}

同調回路間の共鳴の最初の実証の 1 つは、1889 年頃の Lodge の「シントニック ジャー」実験でした。^{[ 6 ] [ 8 ]}彼は、それぞれ火花ギャップを備えた調整可能な 1 ターン コイルに接続されたライデン ジャーからなる 2 つの共振回路を隣り合わせに配置しました。誘導コイルからの高電圧が一方の同調回路に印加され、火花が発生して振動電流が発生すると、回路が共鳴するように調整された場合にのみ、もう一方の同調回路で火花が励起されました。Lodge と一部のイギリスの科学者は、この効果に対して「シントニー」という用語を好みましたが、最終的には「共鳴」という用語が定着しました。 ^{[ 6 ]} LC 回路の最初の実用的な用途は、1890 年代の火花ギャップ無線送信機で、受信機と送信機を同じ周波数に同調できるようにすることでした。同調を可能にする無線システムの最初の特許は、1897 年に Lodge によって出願されましたが、最初の実用的なシステムは、1900 年にイタリアの無線パイオニアであるグリエルモ マルコーニによって発明されました。^{[ 6 ]}

• RL回路
• RC回路
• RLC回路

• トニー・クファルトによる電気振り子は、LCタンクの動作に関する古典的な物語である。
• 並列LC回路がどのようにエネルギーを蓄積するかは、 LCに関する優れた資料の一つです。