定数kフィルタ

定数 k フィルター(k タイプ フィルターとも呼ばれる)は、イメージ法を使用して設計された電子フィルターの一種です。この方法論によって作成された最初の最も単純なフィルターであり、受動部品の同一セクションのラダー ネットワークで構成されます。歴史的に、十分な数のセクションを追加することで、規定の制限内で理想的なフィルター周波数応答に近づくことができる最初のフィルターです。ただし、フィルター応答をより正確に予測できる 他の方法論に取って代わられたため、現代の設計ではほとんど考慮されていません。

定数 k フィルタは、ジョージ キャンベルによって発明されました。彼は 1922 年に研究を発表しましたが^[1]、明らかにそれ以前にフィルタを発明していました^[2]。なぜなら、AT&T 社の同僚であるオットー ゾーベルが、この時点ですでに設計の改良を行っていたからです。キャンベルのフィルタは、それ以前に使用されていたより単純な単一要素回路よりもはるかに優れていました。キャンベルは自分のフィルタを電波フィルタと呼びましたが、この用語は後に、ある周波数の波を通過させ、他の周波数の波を通過させないフィルタを意味するようになりました。その後、多くの新しい形式の波フィルタが発明されました。初期の (そして重要な) バリエーションは、キャンベル フィルタを区別するために定数 k という用語を造語したゾーベルによるm 導出フィルタです。 ^[3]

キャンベルのフィルタがRL回路や当時の他の単純なフィルタに比べて優れていたのは、阻止帯域の除去度合いや通過帯域と阻止帯域間の遷移の急峻さを任意に設計できることだった。必要な応答が得られるまで、フィルタセクションを追加するだけで済んだ。^[4]

これらのフィルタは、伝送線路上の多重電話回線を分離する目的でキャンベルによって設計されたが、その後の用途はそれよりもはるかに広範囲に及んだ。キャンベルが使用した設計手法は、現在では大部分が置き換えられている。しかし、キャンベルが使用した定数kのラダートポロジは、チェビシェフフィルタなどの最新のフィルタ設計の実装で今日でも使用されている。キャンベルは、ローパス、ハイパス、バンドパスフィルタの定数k設計を提案した。バンドストップフィルタや多重バンドフィルタも可能である。^[5]

この記事で使用されているインピーダンス用語とセクション用語の一部は、下の図に示されています。イメージ理論は、2 ポート セクションの無限カスケード、およびここで説明されているフィルターの場合は L セクションの無限ラダー ネットワークの観点から量を定義します。ここで、「L」はインダクタンス Lと混同しないでください。電子フィルター トポロジーでは、「L」は逆さまの文字「L」に似た特定のフィルター形状を指します。

仮想無限フィルタのセクションは、インピーダンスが 2 Z の直列要素とアドミタンスが 2 Yのシャント要素で構成されています。係数 2 は数学的な便宜上導入されており、通常は半セクションで作業するため、係数 2 は消えます。セクションの入力ポートと出力ポートのイメージ インピーダンスは、通常同じではありません。ただし、ミッド シリーズ セクション(つまり、直列要素の途中から次の直列要素の途中までのセクション) では、対称性により両方のポートのイメージ インピーダンスが同じになります。このイメージ インピーダンスは、ミッド シリーズ セクションの" " トポロジーによって指定されます。同様に、ミッド シャント セクションのイメージ インピーダンスは" " トポロジーによって指定されます。このようなセクションまたはセクションの半分は、ハーフ セクションと呼ばれ、これも L セクションですが、要素の値はフル L セクションの半分です。ハーフセクションのイメージインピーダンスは、入力ポートと出力ポートで異なります。直列要素が存在する側ではミッドシリーズと等しくなりますが、シャント要素が存在する側ではミッドシャントと等しくなります 。したがって、ハーフセクションを使用するには 2 通りの方法があります。 ZiTTZiΠΠ"T""Π"ZiTZiΠ

この記事またはセクションの一部は、読者のコンデンサとインダクタの複素インピーダンス表現に関する知識と、信号の周波数領域表現に関する知識を前提としています。

定数kフィルタの構成要素は、直列インピーダンス Zとシャントアドミタンス Yで構成される半セクション「L」ネットワークです。「定数k」の「k」は、 ^[6]で与えられる値です。

${\displaystyle k^{2}={\frac {Z}{Y}}}$

したがって、k はインピーダンスの単位、つまりオームになります。kが一定であるためには、 Y がZのデュアルインピーダンスでなければならないことは明らかです。k の物理的な解釈は、kを初期値に保ちながら、セクションのサイズ（インダクタンス、キャパシタンスなどのコンポーネントの値で）がゼロに近づくにつれて、kがZ _iの限界値になることを観察することによって与えられます。したがって、k は、これらの極小セクションで形成される伝送線路の特性インピーダンス、Z ₀です。 ^{[7] [8] [ 9]}また、バンドパスフィルターの場合は共振でのセクションのイメージインピーダンス、ローパスフィルターの場合はω = 0 でのセクションのイメージインピーダンスでもあります。^[10] たとえば、図のローパスハーフセクションには

${\displaystyle k={\sqrt {\frac {i\omega L}{i\omega C}}}={\sqrt {\frac {L}{C}}}}$。

要素LとCは、kの値を同じにしたまま任意に小さくすることができます。 しかし、 ZとYは両方ともゼロに近づいており、イメージインピーダンスの式（以下）から、

このセクションのイメージインピーダンスは^{[11]で与えられる。}

${\displaystyle {Z_{\mathrm {iT} }}^{2}=Z^{2}+k^{2}}$

そして

${\displaystyle {\frac {1}{{Z_{\mathrm {i\Pi } }}^{2}}}={Y_{\mathrm {i\Pi } }}^{2}=Y^{2}+{\frac {1}{k^{2}}}}$

フィルタには抵抗要素が含まれていないため、フィルタの通過帯域のイメージインピーダンスは純粋に実数であり、阻止帯域では純粋に虚数である。例えば、図のローパスハーフセクションの場合、^[12]

${\displaystyle {Z_{\mathrm {iT} }}^{2}=-(\omega L)^{2}+{\frac {L}{C}}}$

遷移は、次の カットオフ周波数で発生します。

${\displaystyle \omega _{c}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}}$

この周波数以下では、イメージインピーダンスは実数であり、

${\displaystyle Z_{\mathrm {iT} }=L{\sqrt {\omega _{c}^{2}-\omega ^{2}}}}$

カットオフ周波数を超えるとイメージインピーダンスは虚数となり、

${\displaystyle Z_{\mathrm {iT} }=iL{\sqrt {\omega ^{2}-\omega _{c}^{2}}}}$

一般的な定数kの半セクションの透過パラメータは[ ^{13]で与えられる。}

${\displaystyle \gamma =\sinh ^{-1}{\frac {Z}{k}}}$

そしてn個の半セクション の連鎖については

${\displaystyle \gamma _{n}=n\gamma \,\!}$

低域通過L字型セクションの場合、カットオフ周波数以下では、伝送パラメータは^{[11]で与えられる。}

${\displaystyle \gamma =\alpha +i\beta =0+i\sin ^{-1}{\frac {\omega }{\omega _{c}}}}$

つまり、通過帯域では信号の位相のみが変化するため、伝送はロスレスである。カットオフ周波数以上では、伝送パラメータは次のようになる。^[11]

${\displaystyle \gamma =\alpha +i\beta =\cosh ^{-1}{\frac {\omega }{\omega _{c}}}+i{\frac {\pi }{2}}}$

提示されたイメージインピーダンス、減衰、位相変化のグラフは、ローパスプロトタイプフィルタセクションに対応しています。プロトタイプのカットオフ周波数はω _c = 1 rad/s、公称インピーダンスはk = 1 Ω です。これは、インダクタンスL = 1ヘンリー、キャパシタンスC = 1ファラドのフィルタハーフセクションによって生成されます。このプロトタイプは、インピーダンスと周波数を目的の値にスケーリングできます。ローパスプロトタイプは、適切な周波数変換を適用することで、ハイパス、バンドパス、またはバンドストップタイプに変換することもできます。^[14]

いくつかの L 字型ハーフセクションをカスケード接続して複合フィルタを形成できます。これらの組み合わせでは、同じインピーダンスは常に同じ方向を向いている必要があります。したがって、2 つの同一の L 字型ハーフセクションで形成できる回路は 2 つあります。イメージインピーダンスZ_iTのポートが別のZ_iTに面している場合、そのセクションはセクションと呼ばれます。Zが Zに面しているΠ場合、そのように形成されたセクションは T セクションです。これらのセクションのいずれかにハーフセクションをさらに追加すると、直列またはシャント要素で始まり、終わるラダーネットワークが形成されます。^[15]_iΠiΠ

イメージ法によって予測されるフィルタの特性は、セクションがイメージインピーダンスで終端されている場合にのみ正確であることに留意する必要があります。これは通常、固定抵抗で終端される両端のセクションには当てはまりません。セクションがフィルタの端から離れるほど、終端インピーダンスの影響が介在セクションによってマスクされるため、予測はより正確になります。^[16]

• 画像インピーダンス
• m派生フィルタ
• mm'型フィルター
• 合成画像フィルター

• Bray, J.、「イノベーションと通信革命」、電気技術者協会、2002 年。
• Matthaei, G.; Young, L.; Jones, EMT、「マイクロ波フィルタ、インピーダンス整合ネットワーク、および結合構造」 McGraw-Hill 1964 年。
• Zobel, OJ、「均一および複合電波フィルタの理論と設計」、Bell System Technical Journal、第2巻（1923年）、pp.1-46。
• ファインマン、リチャード、レイトン、ロバート、サンズ、マシュー、「ファインマン物理学講義」第2 巻、第 22 章「AC 回路」、第 6 節「ラダー ネットワーク」、カリフォルニア工科大学 – HTML 版。

分析のより簡単な説明については、以下を参照。

• ゴーシュ、スマラジット（2005）、ネットワーク理論：分析と統合、ニューデリー：プレンティスホールオブインディア、pp. 544–563、ISBN 81-203-2638-5