ネットワーク合成フィルタ

信号処理において、ネットワーク合成フィルタは、ネットワーク合成法によって設計されたフィルタです。この方法は、バターワースフィルタ、チェビシェフフィルタ、楕円フィルタなど、いくつかの重要なクラスのフィルタを生み出しました。この方法は、もともと受動線形アナログフィルタの設計に適用することを目的としていましたが、その結果は、アクティブフィルタやデジタルフィルタの実装にも適用できます。この方法の本質は、目的の伝達関数を表す特定の有理関数からフィルタのコンポーネント値を取得することです。

この方法は、ネットワーク分析の逆問題として考えることができます。ネットワーク分析はネットワークから始まり、さまざまな電気回路定理を適用してネットワークの応答を予測します。 一方、ネットワーク合成は望ましい応答から始まり、その方法によってその応答を出力する、またはそれに近似するネットワークが生成されます。 ^[1]

ネットワーク合成は、もともとは波形フィルタと呼ばれていた種類のフィルタを生成することを目的としていましたが、現在では単にフィルタと呼ばれることが多いです。つまり、特定の周波数の波を通過させ、他の周波数の波を拒否するフィルタです。ネットワーク合成は、フィルタの伝達関数 H(s) を複素周波数s の関数として指定することから始まります。これを使用して、フィルタの入力インピーダンス (駆動点インピーダンス) の式が生成され、これを単純な連分数または部分分数で展開すると、フィルタ コンポーネントの必要な値が得られます。フィルタのデジタル実装では、H(s) を直接実装できます。^[2]

この方法の利点は、それ以前に使用されていたフィルタ設計方法論であるイメージ法と比較するとよく理解できます。イメージ法では、同一セクションの無限チェーン (ラダー トポロジ)内の個々のフィルタ セクションの特性を考慮します。この方法で作成されたフィルタは、理論的な終端インピーダンスであるイメージインピーダンスが実際の終端インピーダンスと通常は等しくないため、不正確になります。ネットワーク合成フィルタでは、終端は最初から設計に含まれています。イメージ法では、設計者側にある程度の経験も必要です。設計者はまず、使用するセクションの数とタイプを決定し、計算後にフィルタの伝達関数を取得します。これは必要なものではない可能性があり、何度も繰り返す必要があります。一方、ネットワーク合成法では、必要な関数から開始し、対応するフィルタを構築するために必要なセクションを出力として生成します。^[2]

一般的に、ネットワーク合成フィルタの各セクションは同一のトポロジ（通常は最も単純なラダー型）ですが、各セクションでは異なるコンポーネント値が使用されます。対照的に、画像フィルタの構造は、無限連鎖アプローチの結果として各セクションで同一の値を持ちますが、さまざまな望ましい特性を実現するためにセクションごとにトポロジを変えることができます。どちらの方法も、ローパスプロトタイプフィルタを使用し、その後に周波数変換とインピーダンススケーリングを行って、最終的に望ましいフィルタに到達します。^[2]

フィルタのクラスとは、フィルタが数学的に導出される多項式のクラスを指します。フィルタの次数は、フィルタのラダー実装に存在するフィルタ要素の数です。一般的に、フィルタの次数が高いほど、通過帯域と阻止帯域の間のカットオフ遷移が急になります。フィルタの名前は、フィルタの発見者や発明者ではなく、フィルタの基礎となる数学者や数学にちなんで付けられることがよくあります。

バターワースフィルタは最大限平坦であると説明されており、周波数領域における応答が同等の次数のフィルタのクラスの中で最も滑らかな曲線であることを意味します。^[3]

バターワースクラスのフィルタは、1930年にイギリスのエンジニアであるスティーブン・バターワースによって初めて論文で説明され、彼の名にちなんで命名されました。フィルタの応答はバターワース多項式で記述されますが、これもバターワースによるものです。^[4]

チェビシェフ フィルタは、バターワース フィルタよりもカットオフ遷移が速いが、通過帯域の周波数応答にリップルが生じるという欠点がある。通過帯域で許容される最大減衰とカットオフ応答の急峻さの間で妥協する必要がある。これはタイプ I チェビシェフとも呼ばれ、タイプ 2 は通過帯域にリップルがなく、阻止帯域にリップルがあるフィルタである。このフィルタは、伝達関数の導出にチェビシェフ多項式が使用されるパフヌティ チェビシェフにちなんで名付けられている。^[3]

カウアー フィルタは、通過帯域と阻止帯域の最大リップルが等しい。カウアー フィルタは、他のどのクラスのネットワーク合成フィルタよりも通過帯域から阻止帯域への遷移が速い。カウアー フィルタという用語は楕円フィルタと互換的に使用できるが、楕円フィルタの一般的なケースでは、通過帯域と阻止帯域のリップルが等しくない可能性がある。通過帯域のリップルがゼロの限界にある楕円フィルタは、チェビシェフ タイプ 2 フィルタと同じである。阻止帯域のリップルがゼロの限界にある楕円フィルタは、チェビシェフ タイプ 1 フィルタと同じである。両方の通過帯域のリップルがゼロの限界にある楕円フィルタは、バターワース フィルタと同じである。このフィルタは、ヴィルヘルム カウアーにちなんで名付けられ、伝達関数は楕円有理関数に基づいている。^[5]カウアー型フィルタは、一般化連分数を使用する。^{[6] [7] [8]}

ベッセルフィルタは、通過帯域全体にわたって最大限に平坦な時間遅延（群遅延）を持っています。これにより、フィルタは線形位相応答を持ち、波形を最小限の歪みで通過させます。ベッセルフィルタは、周波数に対する位相応答により時間領域で最小限の歪みを持ちますが、これは周波数に対する減衰応答により周波数領域で最小限の歪みを持つバターワースフィルタとは対照的です。ベッセルフィルタはフリードリヒ・ベッセルにちなんで名付けられ、伝達関数はベッセル多項式に基づいています。^[9]

駆動点インピーダンスは、ラプラス変換(s 領域) やフーリエ変換( jω 領域)などのいくつかの表記法の 1 つを使用して、周波数領域でフィルターの入力インピーダンスを数学的に表現したものです。これを1 ポートネットワークとして扱うと、連分数展開または部分分数展開を使用して式が展開されます。結果として得られる展開は、電気素子のネットワーク (通常はラダー ネットワーク) に変換されます。このように実現されたこのネットワークの端から出力を取ると、目的の伝達関数を持つ2 ポート ネットワークフィルターに変換されます。^[1]

実際の電気部品を使用して、点インピーダンスを駆動するためのすべての数学的関数を実現できるわけではありません。Wilhelm Cauer （ RM Foster ^[10]の後継者）は、どのような数学的関数がどのフィルタトポロジで実現できるかについて、初期の研究の多くを行いました。フィルタ設計で広く使用されているラダートポロジは、Cauerにちなんで名付けられました。^[11]

駆動点インピーダンスには、実現可能なすべてのインピーダンス（最も単純なものを除く）を表現するために使用できる標準的な形式が多数あります。最もよく知られているものは次のとおりです。^[12]

• カウアーの最初の形式の駆動点インピーダンスは、シャント コンデンサと直列インダクタのラダーで構成され、ローパス フィルタに最も役立ちます。
• カウアーの 2 番目の駆動点インピーダンス形式は、直列コンデンサとシャントインダクタのラダーで構成され、ハイパス フィルタに最も役立ちます。
• フォスターの最初の形式の駆動点インピーダンスは、並列接続された LC 共振器 (直列 LC 回路) で構成され、バンドパス フィルタに最も役立ちます。
• フォスターの2 番目の形式の駆動点インピーダンスは、直列に接続された LC 反共振器 (並列 LC 回路) で構成され、バンドストップ フィルタに最も役立ちます。

伝達関数として与えられた有理関数を用いた実現可能なフィルタに関するさらなる理論的研究は、1931年にオットー・ブルーヌ^[13]によって、また1949年にはリチャード・ダフィンとラウル・ボットによって行われました。 ^{[14]この研究は2010年に}ジョン・H・ハバードによってまとめられました。^{[15]伝達関数}が正の実数関数（正の実数の集合が伝達関数に対して不変である）として指定されると、その伝達関数を使用して受動部品（抵抗器、インダクタ、コンデンサ）のネットワークを設計できます。

プロトタイプフィルタは、フィルタ設計のプロセスをより労力のかからないものにするために使用されます。プロトタイプは通常、公称インピーダンスとカットオフ周波数が1のローパスフィルタとして設計されますが、他の方式も可能です。関連する数学関数と多項式からの完全な設計計算は一度だけ実行されます。実際に必要なフィルタは、プロトタイプをスケーリングおよび変換するプロセスによって得られます。^[16]

プロトタイプ要素の値は表形式で公開されており、最初のものの1つはシドニー・ダーリントンによるものである。^[17] 現代の計算能力とデジタル領域でフィルタ伝達関数を直接実装する手法により、この手法はほぼ時代遅れになっている。

各クラスのフィルタの各次数には異なるプロトタイプが必要です。減衰リップルがあるクラスでは、リップルの値ごとに異なるプロトタイプが必要です。同じプロトタイプを使用して、プロトタイプとは異なるバンドフォームを持つフィルタを作成することができます。たとえば、ローパス、ハイパス、バンドパス、バンドストップフィルタはすべて同じプロトタイプから作成できます。^[18]

• 線形フィルタ

• Matthaei、Young、Jones、「マイクロ波フィルタ、インピーダンス整合ネットワーク、および結合構造」、McGraw-Hill 1964 年。
• E. Cauer、W. Mathis、および R. Pauli、「Wilhelm Cauer (1900–1945) の生涯と業績」、ネットワークとシステムの数学理論に関する第 14 回国際シンポジウム (MTNS2000) の議事録、ペルピニャン、2000 年 6 月。2008 年 9 月 19 日にオンラインで取得。