伝播定数

正弦波電磁波の伝搬定数は、波が特定の方向に伝搬するときに波の振幅と位相が受ける変化の尺度です。測定される量は、電圧、回路の電流、または電界強度や磁束密度などのフィールドベクトルです。伝搬定数自体は、単位長さあたりの振幅または位相の無次元の変化を測定します。2ポートネットワークとそのカスケードのコンテキストでは、伝搬定数は、ソース量が1つのポートから次のポートに伝搬するときに受ける変化を測定します。

伝播定数の値は、他の状況での通信で使用される 10 を底とする対数で表され、ほぼ普遍的にe を底とする対数で表されます。電圧などの測定量は、正弦波位相器で表されます。正弦波の位相は距離によって変化するため、伝播定数は複素数となり、虚数部は位相の変化によって生じます。

「伝搬定数」という用語は、通常ωとともに大きく変化するため、いくぶん誤った名称です。これはおそらく最も広く使用されている用語ですが、この量についてはさまざまな著者によってさまざまな別名が使用されています。これらには、伝送パラメータ、伝送関数、伝搬パラメータ、伝搬係数、伝送定数などがあります。複数形が使用されている場合は、伝送パラメータ、伝搬パラメータなどのように、 αとβが別々に、しかし集合的に参照されていることを示します。伝送線路理論では、αとβ は 「二次係数」に含まれ、二次という用語は一次線路係数と対比するために使用されます。一次係数は線路の物理的特性、つまり R、C、L、および G であり、二次係数は電信方程式を使用して導き出すことができます。伝送線路の分野では、伝送係数という用語は名前が類似しているにもかかわらず、異なる意味を持ちます。これは反射係数の仲間です。

与えられたシステムの伝播定数（記号γ ）は、波源における複素振幅とある距離xにおける複素振幅の比によって定義され、

${\displaystyle {\frac {A_{0}}{A_{x}}}=e^{\gamma x}}$

上記の式を反転してγ を分離すると、複素振幅比の自然対数と移動距離xの商が得られます。

${\displaystyle \gamma =\ln \left({\frac {A_{0}}{A_{x}}}\right)/x}$

伝播定数は複素数なので、次のように書くことができます。

γ = α + i β {\displaystyle \gamma =\alpha +i\beta \ }

どこ

• α（実数部）は減衰定数と呼ばれる。
• β、虚数部は位相定数と呼ばれる。
• ${\displaystyle i\equiv j\equiv {\sqrt {-1\}}\ ;}$ 電気回路ではjがよく 使用されます。

β が位相を表していることは、オイラーの公式からわかります。

${\displaystyle e^{i\theta }=\cos {\theta }+i\sin {\theta }\ }$

これはθが変化すると位相が変化する正弦波であるが、振幅は変化しない。

${\displaystyle \left|e^{i\theta }\right|={\sqrt {\cos^{2}{\theta }+\sin^{2}{\theta }\;}}=1}$

底eを使用する理由も明らかになりました。虚数位相定数i βは、減衰定数αに直接加算して、同じ底であれば 1 つの数学演算で処理できる単一の複素数を形成できます。ラジアンで測定される角度には底e が必要なので、減衰も同様に底eになります。

伝導線の伝搬定数は、一次線路係数から次の関係式で計算できる。

${\displaystyle \gamma ={\sqrt {ZY\ }}}$

どこ

${\displaystyle Z=R+i\ \omega L\ ,}$単位長さあたりの線路の直列インピーダンスと、

${\displaystyle Y=G+i\ \omega C\ ,}$単位長さあたりの線路のシャントアドミッタンス。

線形媒体中をx方向に伝わる平面波の伝播係数は 次 のように表される 。$${\displaystyle P=e^{-\gamma x}}$$

• ${\textstyle \gamma =\alpha +i\ \beta ={\sqrt {i\ \omega \ \mu \ (\sigma +i\ \omega \varepsilon )\ }}\ }$^{[1] : 126}
• ${\displaystyle x=}$x方向 の移動距離
• ${\displaystyle \alpha =\ }$ 減衰定数（単位：ネパー/メートル）
• ${\displaystyle \beta =\ }$ 位相定数（単位：ラジアン/メートル）
• ${\displaystyle \omega =\ }$周波数（ラジアン/秒）
• ${\displaystyle \sigma =\ }$ 媒体の導電性
• ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon '-i\ \varepsilon ''\ }$=媒体の複素誘電率
• ${\displaystyle \mu =\mu '-i\ \mu ''\;}$=媒体の複素透過率
• ${\displaystyle i\equiv {\sqrt {-1\ }}}$

符号規則は、損失のある媒体での伝播との一貫性を保つために選択されています。減衰定数が正の場合、波がx方向に伝播するにつれて波の振幅が減少します。

波長、位相速度、表皮深さは、伝搬定数の成分と単純な関係があります。 $${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{\beta }}\qquad v_{p}={\frac {\omega }{\beta }}\qquad \delta ={\frac {1}{\alpha }}}$$

電気通信において、減衰定数という用語は、減衰パラメータまたは減衰係数とも呼ばれ、媒体を伝搬する電磁波の、発生源からの単位距離あたりの減衰を表します。これは伝搬定数の実数部であり、1メートルあたりのネパーで測定されます。1ネパーは約8.7  dBです。減衰定数は、振幅比によって定義できます。

${\displaystyle \left|{\frac {A_{0}}{A_{x}}}\right|=e^{\alpha x}}$

単位長さあたりの伝播定数は、送信端の電流または電圧と受信端の電流または電圧の比の自然対数を距離xで割ったものとして定義されます。

${\displaystyle \alpha =\ln \left(\left|{\frac {A_{0}}{A_{x}}}\right|\right)/x}$

導電線路の減衰定数は、上に示したように一次線路係数から計算できる。歪みのない条件を満たす線路の場合、絶縁体のコンダクタンスGで減衰定数は次のように与えられる。

${\displaystyle \alpha ={\sqrt {RG}}\,\!}$

しかし、実際の線路では、負荷コイルを追加しないとこの条件を満たすことはまずありません。さらに、主要な「定数」に作用する周波数依存の影響がいくつかあり、損失の周波数依存性を引き起こします。これらの損失には、金属損失と誘電損失という 2 つの主要な要素があります。

ほとんどの伝送線路の損失は金属損失によって支配されており、金属の有限な導電率と導体内部の表皮効果により周波数依存性が生じます。表皮効果により、導体に沿ったRは、次のように周波数に依存します。

${\displaystyle R\propto {\sqrt {\omega }}}$

誘電体の損失は、材料の 誘電正接（tan  δ ）を信号の波長で割った値によって決まります。したがって、誘電損失は周波数に正比例します。

${\displaystyle \alpha _{d}={{\pi }{\sqrt {\varepsilon _{r}}} \over {\lambda }}{\tan \delta }}$

光ファイバー内の特定の伝搬モードの減衰定数は、軸方向の伝搬定数の実数部です。

電磁気学理論では、位相定数(位相変化定数とも呼ばれる) は、平面波の伝播定数の虚数成分であり、パラメータまたは係数です。これは、任意の瞬間に波が移動する経路に沿った単位長さあたりの位相の変化を表し、波の角波数の実数部に等しくなります。これは記号βで表され、単位長さあたりのラジアン単位で測定されます。

損失のない媒体における 横方向電磁波（TEM）の（角度）波数の定義から、

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}=\beta }$

伝送線路の場合、電信方程式によれば、時間領域で波の伝送が歪まないためには、波数が周波数に比例する必要がある。これには、損失のない理想的な線路が含まれるが、これに限定されるわけではない。この条件の理由は、有用な信号が周波数領域で多くの異なる波長で構成されていると考えることでわかる。波形が歪まないためには、これらすべての波が同じ速度で移動し、グループとして同時に線路の遠端に到達しなければならない。波の位相速度は次のように与えられる 。

${\displaystyle v_{p}={\frac {\lambda }{T}}={\frac {f}{\tilde {\nu }}}={\frac {\omega }{\beta }},}$

β はωに比例する必要があることが証明されている。線路の一次係数の観点から、歪みのない線路に対する電信方程式から次の条件が得られる。

${\displaystyle \beta =\omega {\sqrt {LC}},}$

ここで、LとC はそれぞれ、線路の単位長さあたりのインダクタンスと静電容量です。ただし、実際の線路では、限られた周波数帯域でのみこの条件をほぼ満たすことが期待できます。

特に、位相定数は必ずしも波数と等しくない。関係 ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \beta =k}$

自由空間や同軸ケーブルや2本の平行線伝送線路などのTEMデバイスを伝搬するTEM波に適用されます。ただし、 TE波（横方向電気波）とTM波（横方向磁気波）には適用されません。たとえば、^[2] TEM波は存在できず、TE波とTM波が伝搬できる 中空導波管では、

${\displaystyle k={\frac {\omega }{c}}}$

${\displaystyle \beta =k{\sqrt {1-{\frac {\omega _{c}^{2}}{\omega ^{2}}}}}}$

ここでカットオフ周波数 は です。矩形導波管では、カットオフ周波数は ${\displaystyle \omega _{c}}$

${\displaystyle \omega _{c}=c{\sqrt {\left({\frac {n\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m\pi }{b}}\right)^{2}}},}$

ここで、 はそれぞれ長方形の長さの辺と辺のモード番号です。 TE モードの場合は（ただし、は許可されていません）、 TM モードの場合は です。 ${\displaystyle m,n\geq 0}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle m,n\geq 0}$${\displaystyle m=n=0}$${\displaystyle m,n\geq 1}$

位相速度は

${\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{\beta }}={\frac {c}{\sqrt {1-{\frac {\omega _{\mathrm {c} }^{2}}{\omega ^{2}}}}}}>c}$

伝播定数または伝播関数という用語は、信号処理に使用されるフィルターやその他の2 ポート ネットワークに適用されます。ただし、これらの場合、減衰係数と位相係数は、単位長さあたりではなく、ネットワーク セクションあたりのネーパーとラジアンで表されます。一部の著者^[3]は、単位長さあたりの測定値 (「定数」が使用される) とセクションあたりの測定値 (「関数」が使用される) を区別しています。

伝播定数は、カスケード セクショントポロジを必ず使用するフィルター設計で役立つ概念です。カスケード トポロジでは、個々のセクションの伝播定数、減衰定数、位相定数を単純に加算して、全体の伝播定数などを求めることができます。

各ネットワークの出力と入力電圧の比は^{[4]で与えられる。}

${\displaystyle {\frac {V_{1}}{V_{2}}}={\sqrt {\frac {Z_{I1}}{Z_{I2}}}}e^{\gamma _{1}}}$

${\displaystyle {\frac {V_{2}}{V_{3}}}={\sqrt {\frac {Z_{I2}}{Z_{I3}}}}e^{\gamma _{2}}}$

${\displaystyle {\frac {V_{3}}{V_{4}}}={\sqrt {\frac {Z_{I3}}{Z_{I4}}}}e^{\gamma _{3}}}$

これらの用語はインピーダンススケーリング用語^[5]であり、その使用法はイメージインピーダンスの記事で説明されています。 ${\displaystyle {\sqrt {\frac {Z_{In}}{Z_{Im}}}}}$

全体の電圧比は次のように表される。

${\displaystyle {\frac {V_{1}}{V_{4}}}={\frac {V_{1}}{V_{2}}}\cdot {\frac {V_{2}}{V_{3}}}\cdot {\frac {V_{3}}{V_{4}}}={\sqrt {\frac {Z_{I1}}{Z_{I4}}}}e^{\gamma _{1}+\gamma _{2}+\gamma _{3}}}$

したがって、互いに整合したインピーダンスを持つ n個のカスケードセクションの場合、全体の伝播定数は次のように表される。

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {total} }=\gamma _{1}+\gamma _{2}+\gamma _{3}+\cdots +\gamma _{n}}$

浸透深度の概念は、電磁波の吸収を記述する多くの方法の 1 つです。その他の方法とそれらの相互関係については、「不透明度の数学的記述」の記事を参照してください。

• 伝播速度

• 「伝播定数」。マイクロ波百科事典。2011年。 2014年7月14日時点のオリジナル（オンライン）からアーカイブ。2011年2月2日閲覧。
• Paschotta, Dr. Rüdiger (2011)。「伝搬定数」(オンライン)。レーザー物理と技術百科事典。2011年2 月 2 日閲覧。
• Janezic, Michael D.; Jeffrey A. Jargon (1999 年 2 月)。「伝搬定数測定による複素誘電率の決定」(PDF)。IEEE Microwave and Guided Wave Letters。9 ( 2): 76–78。doi : 10.1109/75.755052。2011年2月2 日に閲覧。無料の PDF ダウンロードが可能です。2002 年 8 月 6 日の更新バージョンがあります。