フィルター設計

フィルタ設計とは、一連の要件を満たす信号処理フィルタを設計するプロセスです。これらの要件の一部は矛盾する場合もあります。目的は、各要件を許容できる程度に満たすフィルタを実現することです。

フィルタ設計プロセスは最適化問題として説明できます。設計プロセスの特定の部分は自動化できますが、良好な結果を得るには経験豊富な設計者が必要になる場合があります。

デジタルフィルタの設計は複雑なテーマです。^[1]フィルタは簡単に理解、計算できますが、設計と実装の実際的な課題は大きく、高度な研究の対象となっています。

設計プロセスで考慮される一般的な要件は次のとおりです。

• 周波数応答
• 位相シフトまたはグループ遅延
• インパルス応答
• 因果フィルターは必要ですか?
• 安定したフィルターが必要ですか?
• 有限（持続時間）のインパルス応答が必要ですか?
• 計算の複雑さ
• テクノロジー

必要な周波数応答は重要なパラメータです。応答曲線の急峻さと複雑さによって、フィルタの次数と実現可能性が決まります。

1 次再帰フィルタには、周波数に依存するコンポーネントが 1 つだけあります。つまり、周波数応答の勾配は 1オクターブあたり6 dBに制限されます。多くの目的において、これでは不十分です。より急な勾配を実現するには、より高次のフィルタが必要です。

目的の周波数関数に関連して、各周波数について、結果として得られる周波数関数が目的の関数に近づくことがどれほど重要であるかを表す 重み付け関数が付随する場合もあります。

頻度関数の典型的な例は次のとおりです。

• ローパスフィルターは不要な高周波信号をカットするために使用されます。
• ハイパス フィルターは高周波数をかなり適切に通過させます。不要な低周波成分をカットするフィルターとして役立ちます。
• バンドパス フィルターは限られた範囲の周波数を通過させます。
• バンドストップ フィルターは、特定の範囲を超える周波数と以下の周波数を通過させます。非常に狭いバンドストップ フィルターは、ノッチ フィルターと呼ばれます。
• オールパスフィルターは、すべての周波数を均等に通過させます。位相シフトのみが変更され、グループ遅延にも影響します。
• 微分器は周波数に比例した振幅応答を持ちます。
• ローシェルフ フィルターはすべての周波数を通過させますが、シェルフ周波数より下の周波数を指定された量だけ増加または減少させます。
• ハイシェルフ フィルターはすべての周波数を通過させますが、シェルフ周波数を超える周波数を指定された量だけ増加または減少させます。
• ピーク EQ フィルターは、周波数応答にピークまたはディップを作成します。パラメトリック イコライザーでよく使用されます。

• オールパス フィルターはすべての周波数を変更せずに通過させますが、信号の位相を変更します。このタイプのフィルターは、再帰フィルターのグループ遅延を均等化するために使用できます。このフィルターは、フェイザー効果にも使用されます。
• ヒルベルト変換器は、振幅を変えずに正弦波を通過させ、各正弦波の位相を ±90° シフトする特殊なオールパス フィルタです。
• 分数遅延フィルターは、すべての周波数に対して指定された一定のグループ遅延または位相遅延を持つオールパスフィルターです。

フィルタの周波数関数とそのインパルス応答の間には直接的な対応関係があります。つまり、前者は後者のフーリエ変換です。つまり、周波数関数の要件はインパルス応答の要件であり、その逆も同様です。

ただし、特定のアプリケーションでは、フィルタのインパルス応答が明示的に示される場合があり、設計プロセスでは、他のすべての要件を考慮して、要求されたインパルス応答に可能な限り近い近似値を生成することを目標とします。

場合によっては、互いに独立して選択されるフィルタの周波数関数とインパルス応答を考慮することが適切である場合もあります。たとえば、フィルタの特定の周波数関数と、結果として得られるフィルタの信号領域での有効幅が可能な限り小さいことの両方が必要な場合があります。後者の条件は、この関数が目的の周波数関数とは関係がなくても、フィルタの目的のインパルス応答として非常に狭い関数を考慮することで実現できます。設計プロセスの目標は、これらの矛盾する設計目標の両方を可能な限り満たすフィルタを実現することです。一例は高解像度オーディオで、定常信号（正弦波の合計）の周波数応答（振幅と位相）が主なフィルタ要件ですが、制約のないインパルス応答は、過渡信号の時間拡散により予期しない劣化を引き起こす可能性があります。^{[2] [3]}

リアルタイムで動作するフィルタ（フィルタの応答は現在の入力と過去の入力のみに依存する）は、因果関係がある必要があります。設計プロセスによって非因果関係のフィルタが生成された場合でも、適切な時間シフト（または遅延）を導入することで、結果として得られるフィルタを因果関係のあるものにすることができます。

リアルタイムで動作しないフィルタ（画像処理など）は非因果的である可能性があります。非因果的フィルタは、遅延がゼロになるように設計される場合があります。

安定したフィルタは、制限された入力信号ごとに制限されたフィルタ応答を生成することを保証します。この要件を満たさないフィルタは、状況によっては役に立たなかったり、有害であったりすることがあります。特定の設計アプローチでは、たとえば FIR フィルタなどのフィードフォワード回路のみを使用することで、安定性を保証できます。一方、フィードバック回路に基づくフィルタには他の利点があるため、このクラスのフィルタに不安定なフィルタが含まれていても、こちらの方が好まれる場合があります。この場合、不安定性を回避するためにフィルタを慎重に設計する必要があります。

特定のアプリケーションでは、一定の持続時間を持つパルスやステップなど、局所現象として記述できるコンポーネントを含む信号を処理する必要があります。信号にフィルターを適用すると、直感的に言えば、局所現象の持続時間がフィルターの幅だけ長くなります。これは、フィルターのインパルス応答関数の幅をできるだけ短く保つことが重要になる場合があることを意味します。

フーリエ変換の不確定性関係によれば、フィルタのインパルス応答関数の幅と周波数関数の幅の積は、一定の定数を超える必要があります。つまり、フィルタの局所性に関する要件は、周波数関数の幅の上限も意味します。その結果、フィルタのインパルス応答関数の局所性と周波数関数の要件を同時に満たすことができない場合があります。これは、矛盾する要件の典型的な例です。

どのような設計でも、フィルタ応答を計算するために必要な演算 (加算と乗算) の回数をできるだけ少なくすることが一般的に求められます。特定のアプリケーションでは、計算リソース、電力リソース、時間の制限などにより、この要望は厳しい要件となります。最後の制限は、リアルタイム アプリケーションでよく見られます。

フィルタの計算の複雑さは、いくつかの方法で変化します。たとえば、フィルタの次数は、演算の数にほぼ比例します。つまり、次数の低いフィルタを選択すると、計算時間を短縮できます。

離散フィルタの場合、計算の複雑さはフィルタ係数の数にほぼ比例します。フィルタに多くの係数がある場合、たとえばトモグラフィー データなどの多次元信号の場合は、ゼロに十分近い係数を削除して係数の数を減らすことが適切である可能性があります。マルチレート フィルタでは、帯域幅制限を利用して係数の数を減らします。この場合、入力信号はダウンサンプリングされ (たとえば、臨界周波数まで)、フィルタリング後にアップサンプリングされます。

計算の複雑さに関連するもう 1 つの問題は、分離可能性、つまり、フィルターを 2 つ以上のより単純なフィルターの畳み込みとして記述できるかどうか、またその場合どのように記述できるかということです。特に、この問題は、画像処理で使用される 2D フィルターなどの多次元フィルターにとって重要です。この場合、フィルターを水平方向の 1D フィルター 1 つと垂直方向の 1D フィルター 1 つの畳み込みとして分離できれば、計算の複雑さを大幅に削減できます。フィルター設計プロセスの結果として、たとえば、必要なフィルターを分離可能なフィルターとして、または分離可能なフィルターの合計として近似することができます。

フィルターをどのように実装するかも決定する必要があります。

• アナログフィルター
• アナログサンプリングフィルタ
• デジタルフィルタ
• 機械式フィルター

線形アナログ フィルタの設計の大部分は、線形フィルタのセクションで説明されています。

デジタル フィルタは、単位インパルスにどのように応答するかによって、次の 2 つの基本形式のいずれかに分類されます。

• 有限インパルス応答( FIR ) フィルタは、各出力サンプルを最後のN個の入力サンプルの加重和として表現します。ここで、 N はフィルタの次数です。FIR フィルタは通常は非再帰的であり、つまりフィードバックを使用しないため、本質的に安定しています。移動平均フィルタやCIC フィルタは、通常再帰的 (フィードバックを使用する) な FIR フィルタの例です。FIR 係数が対称である場合 (多くの場合そうなります)、そのようなフィルタは線形位相であるため、すべての周波数の信号を均等に遅延します。これは多くのアプリケーションで重要です。FIR フィルタでは、オーバーフローを回避することも簡単です。主な欠点は、巧みに設計された IIR バリアントに比べて、処理およびメモリリソースが大幅に増加する可能性があることです。FIR フィルタは一般に IIR フィルタよりも設計が容易です。Parks -McClellan フィルタ設計アルゴリズム( Remez アルゴリズムに基づく) は、非常に優れたフィルタを半自動的に設計するのに適した方法の 1 つです (方法論を参照)。
• 無限インパルス応答( IIR ) フィルタは、アナログ フィルタのデジタル版です。このようなフィルタには内部状態が含まれており、出力と次の内部状態は、以前の入力と出力の線形結合によって決定されます(言い換えると、通常 FIR フィルタでは使用されないフィードバックを使用します)。理論上は、このようなフィルタのインパルス応答は完全に消滅することがないため IIR と名付けられていますが、コンピュータ演算の解像度が有限であることを考えると、実際にはそうではありません。通常、IIR フィルタは、同様のパフォーマンスの FIR フィルタよりも少ない計算リソースしか必要としません。ただし、フィードバックが原因で、高次の IIR フィルタには不安定性、演算オーバーフロー、およびリミット サイクルの問題が発生する可能性があり、このような落とし穴を回避するには注意深い設計が必要です。さらに、位相シフトは本質的に周波数の非線形関数であるため、このようなフィルタを通過する時間遅延は周波数に依存し、多くの状況で問題となる可能性があります。 2 次 IIR フィルターは「バイクアッド」と呼ばれることが多く、高次フィルターの一般的な実装はバイクアッドをカスケード接続することです。バイクアッド係数を計算するための便利なリファレンスは、RBJ Audio EQ Cookbook です。

サンプル レートが外部の制約によって固定されていない限り、適切なサンプル レートを選択することは重要な設計上の決定です。レートが高いと、計算リソースの面ではより多くのリソースが必要になりますが、アンチエイリアシング フィルターの面ではより少ないリソースが必要になります。システム内の他の信号との干渉やビートも問題になる場合があります。

どのようなデジタル フィルタ設計でも、エイリアシング効果を分析して回避することが重要です。多くの場合、これは入力と出力にアナログ アンチエイリアシング フィルタを追加することで実現され、ナイキスト周波数を超える周波数成分が回避されます。このようなフィルタの複雑さ (つまり、急峻さ) は、必要な信号対雑音比と、サンプリング レートと信号の最高周波数 の比率によって異なります。

設計上の問題の一部は、ある要件が周波数領域で記述されているのに対し、他の要件は時間領域で表現されており、これらが矛盾する可能性があるという事実に関係している。例えば、任意のインパルス応答と任意の周波数関数の両方を持つフィルタを得ることは不可能である。時間領域と周波数領域の関係に関係するその他の影響は、

• 時間領域と周波数領域の間の不確定性原理
• 分散拡張定理
• 一方の領域の漸近的挙動と他方の領域の不連続性

不確定性原理であるガボール限界で述べられているように、周波数関数の幅とインパルス応答の幅の積は、特定の定数より小さくなることはできません。これは、特定の周波数幅に対応する特定の周波数関数が要求された場合、信号領域でのフィルターの最小幅が設定されることを意味します。逆に、応答の最大幅が指定されている場合は、周波数で可能な最小の幅が決まります。これは、フィルター設計プロセスで有用な妥協点を見つけようとする矛盾した要件の典型的な例です。

を入力信号の分散とし、をフィルタの分散とします。フィルタ応答の分散は次のように表されます。 ${\displaystyle \sigma _{s}^{2}}$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}}$${\displaystyle \sigma _{r}^{2}}$

${\displaystyle \sigma _{r}^{2}}$= +${\displaystyle \sigma _{s}^{2}}$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}}$

これは、フィルタ応答におけるパルスやステップなどのさまざまな特徴の局在化が、信号領域におけるフィルタ幅によって制限されることを意味します。正確な局在化が要求される場合、信号領域で幅の狭いフィルタが必要となり、不確定性原理により、周波数領域におけるその幅は任意に小さくすることはできません。 ${\displaystyle \sigma _{r}>\sigma _{f}}$

f(t)を関数とし、 をそのフーリエ変換とします。不連続なFの 1 次導関数が の位数を持つ場合、f はのような漸近的減衰を示すという定理があります。 ${\displaystyle F(\omega )}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle t^{-n-1}}$

この定理の結果として、フィルタの周波数関数は、インパルス応答の減衰が速くなり、幅が短くなるように、できるだけ滑らかにする必要があります。

FIR フィルタを設計する一般的な方法の 1 つは、 Remez 交換アルゴリズムに基づくParks-McClellan フィルタ設計アルゴリズムです。ここで、ユーザは、必要な周波数応答、この応答からの誤差の重み付け関数、およびフィルタ次数Nを指定します。次に、アルゴリズムは、理想からの最大偏差を最小化するN個の係数のセットを見つけます。直感的には、使用できる係数がN個しかない場合、これにより、必要な応答にできるだけ近いフィルタが見つかります。この方法は実際には特に簡単で、少なくとも 1 つのテキスト^{[4]には、必要なフィルタと}N を受け取って最適な係数を返すプログラムが含まれています。この方法で設計されたフィルタの 1 つの欠点は、このようなフィルタはピーク誤差を最小化するため、通過帯域に小さなリップルが多数含まれることです。

離散 FIR フィルタを見つける別の方法は、Knutsson らが説明したフィルタ最適化です。これは、最大値ではなく、誤差の二乗の積分を最小化します。このアプローチの基本形式では、フィルタの理想的な周波数関数を、周波数重み付け関数およびフィルタ係数が配置されている信号領域の座標セットとともに指定する必要があります。 ${\displaystyle F_{I}(\omega )}$${\displaystyle W(\omega )}$${\displaystyle x_{k}}$

誤差関数は次のように定義される。 ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle \varepsilon =\|W\cdot (F_{I}-{\mathcal {F}}\{f\})\|^{2}}$

ここで、 は離散フィルタ、は指定された座標セット上で定義された離散時間フーリエ変換です。ここで使用されるノルムは、形式的には、空間上の通常のノルムです。つまり、 は、フィルタの要求された周波数関数と、実現されたフィルタの実際の周波数関数との間の偏差を測定します。ただし、偏差は、誤差関数が計算される前に重み付け関数によっても左右されます。 ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle F_{I}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\}}$${\displaystyle W}$

誤差関数が確立されると、を最小化する係数によって最適なフィルタが与えられます。これは、対応する最小二乗問題を解くことによって実行できます。実際には、ノルムは周波数領域内の離散点の適切な合計によって近似する必要があります。ただし、一般に、有用な近似値を得るには、これらの点が信号領域の係数の数よりも大幅に多くなければなりません。 ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle L^{2}}$

前の方法は、信号領域における所望のフィルタインパルス応答に関連する追加の誤差項と、対応する重み付け関数を含めるように拡張できます。理想的なインパルス応答は、理想的な周波数関数とは独立して選択でき、実際には、信号領域における結果のフィルタの有効幅を制限し、リンギング効果を除去するために使用されます。これは、狭い理想的なフィルタインパルス応答関数 (たとえば、インパルス) と、原点からの距離 (たとえば、距離の 2 乗) とともに急速に増加する重み付け関数を選択することにより行われます。最適なフィルタは、単純な最小二乗問題を解くことで計算できます。その結果得られるフィルタは、両方の領域で理想的な関数に完全に最適に適合する「妥協案」になります。重要なパラメータは、2 つの重み付け関数の相対的な強さです。これにより、どちらの領域で理想的な関数に適切に適合することがより重要かが決まります。

• デジタルフィルタ
• プロトタイプフィルター
• 有限インパルス応答#フィルタ設計

• A. Antoniou (1993)。『デジタルフィルタ：分析、設計、およびアプリケーション（第2版）』。McGraw-Hill、ニューヨーク、NY。ISBN 978-0-07-002117-4。
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