オールパスフィルタ

オールパス フィルターは、すべての周波数をゲインで均等に通過させますが、さまざまな周波数間の位相関係を変更する信号処理フィルターです。ほとんどのタイプのフィルターは、特定の周波数値に対して適用された信号の振幅 (つまり、大きさ) を減らしますが、オールパス フィルターはレベルを変更せずにすべての周波数を通過させます。

電子音楽制作における一般的な応用例は、「フェイザー」と呼ばれるエフェクト ユニットの設計です。フェイザーでは、複数のオールパス フィルターが順番に接続され、その出力が生の信号とミックスされます。

これは、周波数の関数として位相シフトを変化させることによって行われます。一般的に、フィルタは位相シフトが90° を横切る周波数(つまり、入力信号と出力信号が直交するとき、つまりそれらの信号間に 1/4波長の遅延 があるとき) によって説明されます。

これらは通常、システム内で発生するその他の望ましくない位相シフトを補正するため、またはシフトされていない元のバージョンと混合してノッチコム フィルターを実装するために使用されます。

また、混合位相フィルタを同等の振幅応答を持つ最小位相フィルタに変換したり、不安定なフィルタを同等の振幅応答を持つ安定なフィルタに 変換したりするためにも使用できます。

^[1]

隣の図に示すオペアンプ回路は、オペアンプの非反転入力にローパス フィルタを備えた単極アクティブオールパス フィルタを実装しています。フィルタの伝達関数は次のように表されます。

${\displaystyle H(s)=-{\frac {s-{\frac {1}{RC}}}{s+{\frac {1}{RC}}}}={\frac {1-sRC}{1+sRC}},\,}$

これは、 -1/RCに1つの極を持ち、1/RCに1つの零点を持つ（つまり、複素平面の虚軸を挟んで互いに反射している）。ある角周波数ω に対するH(iω)の大きさと位相は、

${\displaystyle |H(i\omega )|=1\quad {\text{and}}\quad \angle H(i\omega )=-2\arctan(\omega RC).\,}$

フィルタはすべてのωに対してゲインが1である。フィルタは各周波数で異なる遅延を導入し、 ω=1/RC（つまり位相シフトが90°）で入力から出力への直交に到達します。 ^[2]

この実装では、非反転入力でローパス フィルタを使用して、位相シフトと負帰還を生成します。

• 高周波では、コンデンサは短絡し、単位ゲインの反転増幅器（つまり、180°位相シフト）を作成します。
• 低周波数およびDCでは、コンデンサは開回路となり、ユニティゲイン電圧 バッファ（つまり、位相シフトなし）を形成します。
• ローパス フィルタのコーナー周波数ω = 1/RC (つまり、入力周波数が 1/(2πRC) の場合)では、回路は 90° シフトを導入します (つまり、出力は入力と直交し、出力は入力から 1/4周期だけ遅延しているように見えます)。

実際、オールパス フィルタの位相シフトは、非反転入力におけるローパス フィルタの位相シフトの 2 倍になります。

純粋な遅延のラプラス変換は次のように表される。

${\displaystyle e^{-sT},}$

ここで、は遅延（秒単位）、 は複素周波数です。 これは、次のようにパデ近似を使用して近似できます。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle e^{-sT}={\frac {e^{-sT/2}}{e^{sT/2}}}\approx {\frac {1-sT/2}{1+sT/2}},}$

ここで、最後のステップは分子と分母の1 次テイラー級数展開によって達成されました。 を設定すると、上記から回復します。 ${\displaystyle RC=T/2}$${\displaystyle H(s)}$

隣の図に示すオペアンプ回路は、オペアンプの非反転入力にハイパス フィルタを備えた単極アクティブオールパス フィルタを実装しています。フィルタの伝達関数は次のように表されます。

${\displaystyle H(s)={\frac {s-{\frac {1}{RC}}}{s+{\frac {1}{RC}}}},\,}$^[3]

これは、 -1/RCに1つの極を持ち、1/RCに1つの零点を持つ（つまり、複素平面の虚軸を挟んで互いに反射している）。ある角周波数ω に対するH(iω)の大きさと位相は、

${\displaystyle |H(i\omega )|=1\quad {\text{and}}\quad \angle H(i\omega )=\pi -2\arctan(\omega RC).\,}$

フィルタはすべての ω に対してゲインが 1 です。フィルタは各周波数で異なる遅延を導入し、 ω = 1/RC (つまり、位相進みが 90°) で 入力から出力への直交に到達します。

この実装では、非反転入力でハイパス フィルタを使用して、位相シフトと負帰還を生成します。

• 高周波では、コンデンサは短絡し、ユニティゲイン電圧 バッファ（つまり、位相進みなし）を形成します。
• 低周波数およびDCでは、コンデンサは開回路であり、回路はユニティゲインの反転増幅器(つまり、180° 位相進み) です。
• ハイパス フィルタのコーナー周波数ω = 1/RC (つまり、入力周波数が 1/(2πRC) の場合)では、回路は 90° の位相進みを導入します (つまり、出力は入力と直交し、出力は入力より 1/4周期進んでいるように見えます)。

実際、オールパス フィルタの位相シフトは、非反転入力におけるハイパス フィルタの位相シフトの 2 倍になります。

抵抗器をオーミック モードのFETに置き換えて、電圧制御位相シフターを実装できます。ゲートの電圧によって位相シフトが調整されます。電子音楽では、フェイザーは通常、2 つ、4 つ、または 6 つの位相シフト セクションを直列に接続して元のセクションと合計したもので構成されます。低周波発振器 ( LFO ) は制御電圧をランプアップして、特徴的なシューッという音を生成します。

オペアンプなどの能動部品を使用してオールパス フィルタを実装する利点は、集積回路設計では大きくて高価なインダクタを必要としないことです。インダクタが容易に入手できる他のアプリケーションでは、能動部品を使用せずにオールパス フィルタを完全に実装できます。このために使用できる回路トポロジは多数あります。以下は最も一般的に使用される回路です。

ラティス位相イコライザー、またはフィルターは、ラティス、または X セクションで構成されるフィルターです。単一要素ブランチでは最大 180° の位相シフトを生成でき、共振ブランチでは最大 360° の位相シフトを生成できます。このフィルターは、定抵抗ネットワークの例です(つまり、イメージ インピーダンスはすべての周波数で一定です)。

T トポロジに基づく位相イコライザーは、ラティス フィルターの不平衡版であり、同じ位相応答を持ちます。回路図はローパス フィルターのように見えますが、2 つのインダクタ ブランチが相互に結合されている点が異なります。これにより、2 つのインダクタ間でトランス動作が発生し、高周波数でもオールパス応答が得られます。

ブリッジ T トポロジは、遅延均等化、特にステレオ音声放送に使用される2 本の固定回線間の遅延差の均等化に使用されます。このアプリケーションでは、フィルタが広い帯域幅にわたって周波数に対して線形位相応答 (つまり、一定のグループ遅延) を持つ必要があり、これがこのトポロジを選択する理由です。

複素極を持つオールパスフィルタのZ変換実装は、 ${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle H(z)={\frac {z^{-1}-{\overline {z_{0}}}}{1-z_{0}z^{-1}}}\ }$

これは に零点を持ち、 は複素共役 を表します。極と零点は同じ角度にありますが、大きさは逆数です（つまり、複素単位円の境界を挟んで互いに反射しています）。 に対するこの極零点ペアの配置は、複素平面内で任意の角度で回転することができ、その全域通過振幅特性は保持されます。全域通過フィルタの複素極零点ペアは、位相シフトが発生する周波数を制御するのに役立ちます。 ${\displaystyle 1/{\overline {z_{0}}}}$${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle z_{0}}$

実係数のオールパス実装を作成するには、複素オールパスフィルタをを代用するオールパスとカスケード接続して、 Z変換実装 を作成します 。${\displaystyle {\overline {z_{0}}}}$${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle H(z)={\frac {z^{-1}-{\overline {z_{0}}}}{1-z_{0}z^{-1}}}\times {\frac {z^{-1}-z_{0}}{1-{\overline {z_{0}}}z^{-1}}}={\frac {z^{-2}-2\Re (z_{0})z^{-1}+\left|{z_{0}}\right|^{2}}{1-2\Re (z_{0})z^{-1}+\left|z_{0}\right|^{2}z^{-2}}},\ }$

これは差分方程式と同等である

${\displaystyle y[k]-2\Re (z_{0})y[k-1]+\left|z_{0}\right|^{2}y[k-2]=x[k-2]-2\Re (z_{0})x[k-1]+\left|z_{0}\right|^{2}x[k],\,}$

ここで は出力であり、 は離散時間ステップ における入力です。 ${\displaystyle y[k]}$${\displaystyle x[k]}$${\displaystyle k}$

上記のようなフィルタを不安定なフィルタや混合位相フィルタとカスケード接続すると、システムの振幅応答を変えずに安定したフィルタや最小位相フィルタを作成できます。たとえば、 を適切に選択することで、単位円の外側にある不安定なシステムの極をキャンセルし、単位円の内側に反映させることができます。 ${\displaystyle z_{0}}$

• ブリッジT遅延イコライザー
• ラティス位相イコライザー
• 最小位相
• ヒルベルト変換
• ハイパスフィルタ
• ローパスフィルタ
• バンドストップフィルタ
• バンドパスフィルタ
• 格子遅延ネットワーク

• オールパスフィルタに関するスタンフォード大学のJOS
• ECE 209 位相シフター回路、一般的なアナログ位相シフター回路の分析手順。
• filter-solutions.com: オールパス フィルター