等価インピーダンス変換

等価インピーダンスは、インピーダンス要素^{[注 2]}の電気ネットワークの等価回路であり、与えられたネットワークと同様に、すべての端子ペア[注 10]間で同じインピーダンスを示します。この記事では、電子回路で一般的に見られるいくつかの受動線形^{インピーダンス}ネットワーク間の数学的変換 について説明します。

線形ネットワーク解析では、非常によく知られ、よく使用される等価回路が多数あります。これらには、直列抵抗器、並列抵抗器、およびコンデンサ、インダクタ、一般的なインピーダンスの直列回路と並列回路への拡張が含まれます。また、ノートン等価電流発生器とテブナン等価電圧発生器回路、およびY-Δ 変換もよく知られています。これらのいずれもここでは詳しく説明しません。リンクされた個々の記事を参照してください。

線形ネットワークを変換できる等価回路の数は無限である。最も些細な場合でも、例えば、与えられた合成抵抗器と等価な並列抵抗器の組み合わせがいくつあるかと問うことで、これが真実であることが分かる。形成できる直列および並列の組み合わせの数は、抵抗器の数nとともに指数関数的に増加する。大きなnの場合、集合のサイズは数値的手法により約 2.53 ⁿであることが分かっており、解析的に厳密な境界はフィボナッチ数列のファレイ数列によって与えられる。^[1]この記事が包括的なものになることは決して望めないが、一般化は可能である。 ヴィルヘルム・カウアーは、与えられた有理^{[注 9]}受動線形1 ポート[^{注 8]}、言い換えれば、与えられた 2 端子インピーダンスのすべての可能な等価回路を生成できる変換を発見した。4 端子、特に2 ポートのネットワークの変換もよく見られ、さらに複雑なネットワークの変換も可能である。

等価回路というテーマの規模の大きさは、シドニー・ダーリントンの話で強調されている。ダーリントンによると、ロナルド・M・フォスターは、ジョージ・キャンベルと1920年に非散逸4ポートに関する論文を発表した後、多数の等価回路を発見した。この研究の過程で、彼らは4つのポートを理想的な変圧器^{[注 5]}と最大電力伝送で相互接続する方法を検討した。彼らは、実用的な用途がありそうな組み合わせをいくつか発見し、AT&Tの特許部門に特許取得を依頼した。特許部門は、競合他社が等価回路を使用して特許を回避できるのであれば、一部の回路だけ特許を取得しても意味がなく、すべての回路の特許を取得するか、気にしないかのどちらかであると回答した。そこでフォスターは、すべての等価回路を計算する作業に取りかかった。彼は、合計83,539個の等価回路 (異なる出力比を含めると577,722個) という膨大な数にたどり着いた。これは特許を取得するには多すぎたため、代わりにその情報はパブリックドメインとして公開され、AT&Tの競合他社が将来的に特許を取得するのを阻止しました。^{[2] [3]}

単一のインピーダンスには、外部に接続する端子が 2 つあるため、2 端子または 1 ポート ネットワークとして説明できます。説明は簡単ですが、メッシュの数^{[注 6]}に制限はなく、したがってインピーダンス ネットワークの複雑さと要素の数にも制限はありません。2 要素種類^{[注 4]のネットワークは}回路設計でよく使用されます。たとえば、フィルタはLC種類のネットワークであることが多く、プリント回路設計者はインダクタの製造が難しいためRC種類のネットワークを好みます。変換は、3 要素種類ネットワークよりも単純で見つけやすいです。1 要素種類ネットワークは、2 要素種類の特殊なケースと考えることができます。このセクションの変換は、要素Z _nを要素のネットワークに置き換えることで、特定のいくつかの 3 要素種類ネットワークに使用できます。ただし、置き換えられるインピーダンスは最大 2 つに制限されており、残りは自由に選択できません。このセクションに示されているすべての変換方程式はオットー・ツォベルによるものです。^[4]

1要素ネットワークは自明であり、2要素ネットワークは自明である。 ^{[注 3]} 2端子ネットワークは、直列の2つの要素または並列の2つの要素のいずれかであり、これも自明である。自明でない要素の最小数は3であり、2要素の種類の自明でない変換が2つあり、1つは逆変換であり、もう1つの位相双対である。 ^[5]

2要素型ネットワークには、4つの非自明な4要素変換があります。これらのうち2つは他の2つの逆変換であり、2つは別の2つの双対です。Z _2がZ 1と同じ要素種類になる特別な場合、つまりネットワークが₁要素型に縮小される場合、さらなる変換が可能です。要素の数が増えるにつれて、可能なネットワークの数は増え続けます。次の表のすべてのエントリに対して、次のように定義されます。^[6]

要素が数個しかない単純なネットワークは、キルヒホッフの法則などの単純なネットワーク定理を適用して、ネットワーク方程式を「手動で」定式化することで対処できます。2 つのネットワーク間の等価性は、2 つの方程式セットを直接比較し、係数を等しくすることで証明されます。大規模なネットワークの場合は、より強力な手法が必要です。一般的なアプローチは、インピーダンスのネットワークを行列として表現することから始めることです。このアプローチは、有理^{[note 9]}ネットワークにのみ適しています。伝送線路などの分散要素を含むネットワークは、有限行列で表すことはできません。一般に、nメッシュ^{[note 6]ネットワークを表現するには、} n x n行列が必要です。たとえば、3 メッシュ ネットワークの行列は次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {[Z]} ={\begin{bmatrix}Z_{11}&Z_{12}&Z_{13}\\Z_{21}&Z_{22}&Z_{23}\\Z_{31}&Z_{32}&Z_{33}\end{bmatrix}}}$

マトリックスのエントリは、マトリックスがメッシュ電圧と電流の線形方程式のシステムを形成するように選択されます（メッシュ解析で定義されているとおり）。

${\displaystyle \mathbf {[V]} =\mathbf {[Z][I]} }$

例えば、図1の例の図は、インピーダンス行列として次のように表すことができます。

${\displaystyle \mathbf {[Z]} ={\begin{bmatrix}R_{1}+R_{2}&-R_{2}\\-R_{2}&R_{2}+R_{3}\end{bmatrix}}}$

そして関連する線形方程式系は

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}R_{1}+R_{2}&-R_{2}\\-R_{2}&R_{2}+R_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}}$

最も一般的なケースでは、ネットワークの各ブランチ^[注1] Z _pは3つの要素で構成され、

${\displaystyle Z_{\mathrm {p} }=sL_{\mathrm {p} }+R_{\mathrm {p} }+{1 \over sC_{\mathrm {p} }}}$

ここで、L、R、Cはそれぞれインダクタンス、抵抗、静電容量を表し、 sは複素周波数演算子です。 ${\displaystyle \scriptstyle s=\sigma +i\omega }$

これは一般的なインピーダンスを表す従来の方法ですが、この記事の目的のためには、静電容量Cの逆数である弾性率Dを扱う方が数学的に便利です。その用語では、一般的な分岐インピーダンスは次のように表すことができます 。

${\displaystyle sZ_{\mathrm {p} }=s^{2}L_{\mathrm {p} }+sR_{\mathrm {p} }+D_{\mathrm {p} }\,\!}$

同様に、インピーダンス行列の各エントリは、3 つの要素の合計で構成できます。したがって、行列は3 つの要素の種類ごとに 1 つずつ、 3 つのn x n行列に分解できます。

${\displaystyle s\mathbf {[Z]} =s^{2}\mathbf {[L]} +s\mathbf {[R]} +\mathbf {[D]} }$

行列 [ Z ] がインピーダンスZ ( s ) を表すことが望ましい。この目的のために、メッシュの 1 つのループが切断され、Z ( s ) は切断されたポイント間で測定されたインピーダンスです。外部接続ポートはメッシュ 1 にあり、したがって行列エントリZ ₁₁を介して接続されていると想定するのが一般的ですが、任意のノードへの接続を使用してこれを定式化することも完全に可能です。^{[注 7]}以下の説明では、Z ( s ) はZ ₁₁を介して取得されると想定されます。Z ( s ) は [ Z ] から次のように計算できます^[7]

${\displaystyle Z(s)={\frac {|\mathbf {Z} |}{z_{11}}}}$

ここで、z _{11 は}Z ₁₁の補数であり、| Z | は[ Z ] の行列式です。

上記のネットワーク例では、

この結果は、抵抗器を直列および並列に接続するより直接的な方法によって、簡単に正しいことが確認できます。ただし、分析対象のネットワークのサイズと複雑さが増すにつれて、このような方法はすぐに面倒で面倒なものになります。

[ R ]、[ L ]、[ D ]のエントリは任意に設定できません。 [ Z ] がインピーダンスZ ( s ) を実現できるようにするには、[ R ]、[ L ]、[ D ] がすべて正定値行列である必要があります。その場合でも、 Z ( s )の実現には、一般に、ネットワーク内に理想変圧器^{[注 5]が含まれます。}相互インダクタンスや理想変圧器を必要としない変換のみを見つけるのは、より困難な作業です。同様に、「もう一方の端」から始めてZ ( s ) の式を指定する場合も、任意に行うことはできません。有理インピーダンスとして実現可能にするには、Z ( s ) は正の実数である必要があります。正の実数 (PR) 条件は必要かつ十分です^{[8]が、いくつかの}トポロジを拒否する実用的な理由がある場合があります。^[7]

[ Z ]の与えられたインスタンスから等価な有理1ポートを見つけるための一般的なインピーダンス変換は、ヴィルヘルム・カウアーによるものである。実アフィン変換群

${\displaystyle \mathbf {[Z']} =\mathbf {[T]} ^{T}\mathbf {[Z]} \mathbf {[T]} }$

どこ

${\displaystyle \mathbf {[T]} ={\begin{bmatrix}1&0\cdots 0\\T_{21}&T_{22}\cdots T_{2n}\\\cdot &\cdots \\T_{n1}&T_{n2}\cdots T_{nn}\end{bmatrix}}}$

はZ ( s )に対して不変である。つまり、ここで与えられた定義によれば、変換されたネットワークはすべて同等である。最初に与えられた行列のZ ( s ) が実現可能、つまりPR条件を満たす場合、この変換によって生成されるすべての変換されたネットワークもPR条件を満たす。^[7]

4 端子ネットワークについて議論する場合、ネットワーク分析は多くの場合、2 ポート ネットワークの観点から進められます。これは、実用的に役立つ回路を幅広く網羅しています。「2 ポート」とは、本質的には、ネットワークが外部世界に接続されている方法、つまり端子がソースまたは負荷にペアで接続されていることを指します。まったく同じネットワークを外部回路に接続して、2 ポートとして動作しないようにすることも可能です。この考え方は、図 2 に示されています。

3 端子ネットワークは、2 ポートとして使用することもできます。これを実現するには、端子の 1 つを両方のポートの 1 つの端子に共通に接続します。つまり、1 つの端子が 2 つの端子に分割され、ネットワークは実質的に 4 端子ネットワークに変換されます。このトポロジは不平衡トポロジと呼ばれ、平衡トポロジとは対照的です。 平衡トポロジでは、図 3 に示すように、端子 1 と 3 の間で測定されたインピーダンスが、端子 2 と 4 の間で測定されたインピーダンスと等しくなければなりません。これは、端子のペアがポートを形成しないことを意味します。ポートを形成する端子のペアのインピーダンスが等しい場合は、対称と呼ばれます。厳密に言えば、平衡条件を満たさないネットワークはすべて不平衡ですが、この用語はほとんどの場合、上記および図 3 で説明した 3 端子トポロジを指します。不平衡 2 ポート ネットワークを平衡ネットワークに変換することは、通常、非常に簡単です。直列に接続されたすべての要素が半分に分割され、半分が共通ブランチであった部分に再配置されます。バランスのとれたトポロジからバランスのとれていないトポロジへの変換は、逆変換によって可能になる場合が多いですが、この方法では変換できないトポロジもあります。たとえば、以下の格子変換の説明を参照してください。

2 ポートに制限されない 3 端子ネットワーク変換の例は、Y-Δ 変換です。これは、等価インピーダンスを見つけるための特に重要な変換です。この変換が重要である理由は、特定の制限されたクラスのネットワークを除いて、直列と並列の組み合わせを計算するだけでは 2 つの端子間の合計インピーダンスを決定できないからです。一般的なケースでは、追加の変換が必要です。Y-Δ 変換、その逆変換である Δ-Y 変換、およびこれら 2 つの変換のn端子類似体 (スターポリゴン変換) は、一般的なケースを解決するために必要な最小限の追加変換です。直列と並列は、実際にはスター トポロジとポリゴン トポロジの 2 端子バージョンです。直列と並列の組み合わせで解決できない一般的な単純なトポロジは、ブリッジ ネットワークへの入力インピーダンスです (ブリッジがバランスしている特殊な場合を除く)。^[9]このセクションの残りの変換はすべて、2 ポートでのみ使用するように制限されています。

対称 2 ポート ネットワークは、バートレットの二分定理を使用してラティス ネットワークに変換できます。この方法は対称ネットワークに限定されますが、フィルター、減衰器、イコライザーでよく見られる多くのトポロジーが含まれます。ラティス トポロジーは本質的にバランスが取れており、ラティスの不均衡な対応物はなく、通常、変換されたネットワークよりも多くのコンポーネントが必要になります。

格子から不均衡なトポロジへの逆変換は、受動コンポーネントの観点からは必ずしも可能ではありません。たとえば、次の変換:

受動部品では、変換された回路に負の値が生じるため実現できません。ただし、相互インダクタンスと理想変圧器が許容されれば、この回路のように実現できます。別の可能性としては、能動部品の使用を許可し、負のインピーダンスを回路部品として直接実現できるようにすることです。^[13]

このような変換は、変換後の回路を実際に構築するためではなく、元の回路がどのように動作しているかを理解するのに役立つ場合があります。次のブリッジ T トポロジーの回路は、ミッドシリーズm 派生フィルタT セクションの修正版です。この回路はHendrik Bodeによるもので、適切な値のブリッジ抵抗を追加すると、シャント インダクタの寄生抵抗がキャンセルされると主張しています。この回路の動作は、T トポロジーに変換すると明らかになります。この形式では、シャント ブランチに負の抵抗があり、インダクタの正の寄生抵抗と正確に等しくなるようにすることができます。^[14]

任意の対称ネットワークは、同じ方法、つまり、まず中間格子形式（上記の例の変換ではわかりやすくするために省略）に変換し、格子形式から必要なターゲット形式に変換することで、他の任意の対称ネットワークに変換できます。例と同様に、これは通常、特別な場合を除き、負の要素をもたらします。^[15]

シドニー・ダーリントンの定理によれば、任意の PR 関数Z ( s ) は、正の抵抗 R で終端されたロスレス 2 ポートとして実現できます。つまり、インピーダンス ネットワークを表す行列 [ Z ] にいくつの抵抗が含まれているかに関係なく、出力ポート (通常は負荷を表す) に 1 つの抵抗があるだけの LC 型ネットワークとしてネットワークを完全に実現する変換を見つけることができます。指定された応答を実現するために、ネットワーク内に抵抗は必要ありません。したがって、出力ポートが必要な値の抵抗で終端されていれば、3 要素型 2 ポート ネットワークを 2 要素型 (LC) 2 ポート ネットワークに縮小することが常に可能です。^{[8] [16] [17]}

理想的な変圧器とその他のインピーダンス要素を使用して実行できる基本的な変換は、インピーダンスを変圧器の反対側にシフトすることです。次のすべての変換において、r は変圧器の巻数比です。

これらの変換は単一の要素に適用されるだけでなく、ネットワーク全体をトランスフォーマーに渡すこともできます。このようにして、トランスフォーマーをネットワーク内のより便利な場所に移動することができます。

ダーリントンは、理想的な変圧器を完全に排除できる等価変換を提供します。この技術では、変圧器が同じ種類のインピーダンスの「L」ネットワークの隣にある（または隣に移動できる）必要があります。すべてのバリエーションの変換では、「L」ネットワークが反対方向を向き、つまり位相的にミラーリングされます。^[2]

例 3 は、結果が L ネットワークではなく Π ネットワークであることを示しています。これは、シャント要素の容量が変換に必要な容量よりも大きいため、変換を適用した後もいくらか余ってしまうためです。余剰分が変圧器に最も近い要素にある場合は、変換を実行する前に、まず余剰分を変圧器の反対側に移動することで対処できます。^[2]

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