リップル（電気）

電子機器におけるリップル（特にリップル電圧）は、交流（AC）電源から生成された電源内のDC 電圧の残留周期的変動です。このリップルは、整流後の交流波形の抑制が不完全であるために発生します。リップル電圧は、整流器の出力として、または DC 電力の生成と整流から発生します。

リップル（具体的にはリップル電流またはサージ電流）は、コンデンサ入力整流器などの非線形デバイスのパルス電流消費を指す場合もあります。

これらの時間変動現象の他に、一部のフィルタやその他の信号処理ネットワークでは周波数領域リップルが発生します。この場合、周期的変動は、周波数の増加に対するネットワークの挿入損失の変動です。変動は厳密に線形周期的ではない場合があります。この意味でも、リップルは通常は偶発的な影響と見なされ、その存在はリップルの量と他の設計パラメータとの間の妥協点です。

リップルは無駄な電力であり、DC 回路に多くの望ましくない影響を及ぼします。コンポーネントを加熱し、ノイズや歪みを引き起こし、デジタル回路が不適切に動作する原因となる可能性があります。リップルは電子フィルタによって低減され、電圧レギュレータによって除去されます。

非理想的な DC 電圧波形は、一定のDC 成分 (オフセット)と交流 (AC) 電圧 (リップル電圧) が重ね合わされたものと見なすことができます。リップル成分は DC 成分に比べて大きさが小さいことがよくありますが、絶対値では、リップル ( HVDC送電システムの場合など) は数千ボルトになることがあります。リップル自体は、ある基本周波数の高調波で構成される複合 (非正弦波) 波形です。基本周波数は通常、元の AC ライン周波数ですが、スイッチング電源の場合、基本周波数は数十キロヘルツからメガヘルツになることがあります。リップルの特性と成分は、その発生源によって異なります。単相半波整流と全波整流、三相半波整流と全波整流があります。整流は、制御される場合 (シリコン制御整流器 (SCR) を使用) と、制御されない場合 (ダイオードを使用) があります。さらに、トランジスタを使用するアクティブ整流もあります。

リップル電圧のさまざまな特性は、アプリケーションに応じて重要になる場合があります。たとえば、構成高調波を決定するためのフーリエ解析用のリップル方程式、電圧のピーク値 (通常はピークツーピーク)、伝送される電力の成分である電圧の二乗平均平方根(RMS) 値、リップル係数γ (RMS 値と DC 電圧出力の比率)、変換比 (整流比または「効率」とも呼ばれる) η (DC 出力電力と AC 入力電力の比率)、およびフォーム係数 (出力電圧の RMS 値と出力電圧の平均値の比率) などです。出力リップル電流の類似の比率も計算できます。

リップル周波数で高インピーダンスを持つ電子フィルタは、リップル電圧を低減し、DC出力を増減するために使用できます。このようなフィルタは、平滑化フィルタと呼ばれることがよくあります。

AC から DC への変換の最初のステップは、AC 電流を整流器に通すことです。この状況では、リップル電圧出力は非常に大きくなります。ピークツーピークのリップル電圧は、ピーク AC 電圧から整流器ダイオードの順方向電圧を引いた値に等しくなります。SS シリコン ダイオードの場合、順方向電圧は 0.7  V です。真空管整流器の場合、順方向電圧は通常 25 ～ 67  V (5R4) の範囲です。出力電圧は、負の半サイクルが反転した正弦波です。式は次のとおりです。

${\displaystyle V_{\mathrm {L} }(t)=V_{\mathrm {AC_{p}} }\cdot |\sin(t)|}$

この関数のフーリエ展開は次のようになります。

${\displaystyle V_{\mathrm {L} }(t)={\frac {2V_{\mathrm {AC_{p}} }}{\pi }}+{\frac {4V_{\mathrm {AC_{p}} }}{\pi }}\cdot \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos(n\pi )}{1-4n^{2}}}\cdot \cos(2n\omega t)}$

フーリエ級数を調べると、いくつかの関連する特性が明らかになります。

• 定数（最大）項はDC電圧でなければならない${\displaystyle {\frac {2V_{\mathrm {AC_{p}} }}{\pi }}}$
• 基本周波数（ライン周波数）が存在しない
• 展開は基本波の偶数倍音のみで構成される
• 倍音の振幅は倍音の次数に比例する。${\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}}$${\displaystyle n}$
• 2次高調波という用語は、計算を簡素化するために、リップル電圧全体を表すためによく使用されます。${\displaystyle {\frac {4V_{\mathrm {AC_{p}} }}{3\pi }}\cos(2\omega t)}$

出力電圧は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\mathrm {L} }={}&V_{\mathrm {AC} }={\frac {V_{\mathrm {AC_{p}} }}{\sqrt {2}}}\quad {\text{(ダイオードの電圧降下と損失は無視)}}\\[6pt]V_{\mathrm {DC} }={}&{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\!V_{\mathrm {L} }(t)\,dt={\frac {V_{\mathrm {AC_{p}} }}{\pi }}{\Big [}-\cos(t){\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {V_{\mathrm {AC_{p}} }}{\pi }}\left(-\cos(\pi )--\cos(0)\right)\,={\frac {2V_{\mathrm {AC_{p}} }}{\pi }}\\[6pt]V_{\mathrm {ripple-rms} }={}&{\sqrt {{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\!(V_{\mathrm {L} }(t)\,-K)^{2}dt}}={\sqrt {{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\!(V_{\mathrm {L} }(t)^{2}\,-2KV_{\mathrm {L} }(t)+K^{2})dt}}\\[6pt]={}&{\sqrt {{\frac {1}{\pi }}\left[{\frac {V_{\mathrm {AC_{p}} }^{2}}{2}}t-{\frac {V_{\mathrm {AC_{p}} }^{2}}{4}}\sin(2t)+2V_{\mathrm {AC_{p}} }K\cos(t)+K^{2}t\right]_{0}^{\pi }}}={\sqrt {{\frac {1}{\pi }}\left({\frac {V_{\mathrm {AC_{p}} }^{2}\pi }{2}}-4KV_{\mathrm {AC_{p}} }+K^{2}\pi \right)}}\\[6pt]&{\text{K=V_{\mathrm {DC} },{\text{ と置き、}}V_{\mathrm {AC_{p}} },{\text{ に代入します。つまり}}\\={}&{\sqrt {{\frac {V_{\mathrm {AC_{p}} }^{2}}{2}}-{\frac {8}{\pi ^{2}}}V_{\mathrm {AC_{p}} }^{2}+{\frac {4}{\pi ^{2}}}V_{\mathrm {AC_{p}} }^{2}}}={\sqrt {\left({\frac {V_{\mathrm {AC_{p}} }}{\sqrt {2}}}\right)^{2}-\left({\frac {2V_{\mathrm {AC_{p}} }}{\pi }}\right)^{2}}}\end{aligned}}}$

どこ

• ${\displaystyle V_{\mathrm {L}}}$は、期間0からTまでの負荷にかかる時間変動電圧である。${\displaystyle |\sin(t)|}$
• ${\displaystyle T}$は周期であり、ラジアンで表すことができる。${\displaystyle V_{\mathrm {L}}}$${\displaystyle \pi}$

波及係数は次のとおりです。

${\displaystyle \gamma ={\frac {V_{\mathrm {ripple-rms} }}{V_{\mathrm {DC} }}}={\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{8}}-1}}}$

フォームファクターは次のとおりです。

${\displaystyle FF={\frac {V_{\mathrm {L} }}{V_{\mathrm {DC} }}}={\frac {\frac {V_{\mathrm {AC_{p}} }}{\sqrt {2}}}{\frac {2V_{\mathrm {AC_{p}} }}{\pi }}}}$

ピーク係数は次のとおりです。

${\displaystyle PF={\frac {V_{\mathrm {AC_{p}} }}{\frac {V_{\mathrm {AC_{p}} }}{\sqrt {2}}}}}$

変換比率は次のとおりです。

変圧器の利用率は次のとおりです。

リップルの低減は、電源フィルタ設計におけるいくつかの主要な考慮事項の 1 つにすぎません。^{[注 1]}リップル電圧のフィルタリングは、他の種類の信号のフィルタリングに似ています。ただし、AC/DC 電力変換や DC 電力生成では、高電圧と高電流、またはその両方がリップルとして出力されることがあります。したがって、高リップル電流定格の電解コンデンサ、大型鉄心チョーク、巻線電力抵抗器などの大型の個別部品は、電圧レギュレータなどのICコンポーネントや負荷に電流を渡す前に、リップルを管理可能な割合まで低減するのに最適です。必要なフィルタリングの種類は、リップルのさまざまな高調波の振幅と負荷の要求によって異なります。たとえば、フォノプリアンプの可動コイル(MC) 入力回路では、リップルを数百ナノボルト (10 ⁻⁹ V)以下に低減する必要があります。これに対して、完全に抵抗性の回路であるバッテリー チャージャーでは、リップル フィルタリングは必要ありません。必要な出力は直流（基本的に 0 Hz）であるため、リップル フィルタは通常、シャント コンデンサと直列チョークを特徴とするローパス フィルタとして構成されます。出力 DC 電圧を下げるためにチョークの代わりに直列抵抗器を使用することがあり、電圧調整にはシャント抵抗器を使用する場合があります。  

現在、ほとんどの電源はスイッチング モード設計になっています。このような電源のフィルタリング要件は、リップル波形の周波数が高いため、はるかに簡単に満たすことができます。スイッチング モード電源のリップル周波数はライン周波数とは関係なく、代わりにチョッパ回路 の周波数の倍数であり、通常は 50 kHz から 1 MHzの範囲です 。^{[引用が必要]}

コンデンサ入力フィルタ (最初のコンポーネントがシャント コンデンサ) とチョーク入力フィルタ (最初のコンポーネントが直列チョーク) はどちらもリップルを低減できますが、電圧と電流に反対の効果をもたらすため、どちらを選択するかは負荷の特性によって異なります。コンデンサ入力フィルタは電圧調整が不十分であるため、安定した負荷と低電流の回路で使用するのが適しています (ここでは低電流によってリップルが低減されるため)。チョーク入力フィルタは、可変負荷と高電流の回路で使用するのが適しています (この場合、チョークは安定した電圧を出力し、電流が大きいほどリップルが小さくなるため)。

フィルタ内のリアクタンス成分の数は、フィルタの次数と呼ばれます。各リアクタンス成分は、フィルタのコーナー周波数 より上（ハイパス フィルタの場合は下）で信号強度を 6 dB/オクターブ減少させます。そのため、たとえば 2 次ローパス フィルタは、コーナー周波数より上（ハイパス フィルタの場合は下）で信号強度を 12 dB/オクターブ減少させます。抵抗成分（抵抗器や、チョークのDCRやコンデンサのESRなどの寄生素子を含む）も信号強度を減少させますが、その影響は線形で、周波数によって変化しません。  

一般的な配置は、整流器をリザーバーとして機能する大きな平滑コンデンサーに組み込むことです。出力電圧がピークに達した後、コンデンサーは負荷に電流を供給し、コンデンサー電圧が整流電圧の次の半サイクルの上昇値まで下がるまで供給を続けます。その時点で、整流器は再び導通し、ピーク電圧に再び達するまでリザーバーに電流を供給します。

RC 時定数が AC 波形の周期に比べて大きい場合、コンデンサ電圧が直線的に低下すると仮定することで、かなり正確な近似値を得ることができます。リップルが DC 電圧に比べて小さい場合、さらに有用な仮定を立てることができます。この場合、整流器が導通する位相角は小さくなり、コンデンサは 1 つのピークから次のピークまでずっと放電しており、精度がほとんど損なわれないと仮定できます。^[1]

上記の仮定に基づいて、ピークツーピークのリップル電圧は次のように計算できます。

静電容量 と電流の定義は^[2]${\displaystyle C}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&Q=CV_{\text{pp}}\\&Q=I_{\text{ave}}t_{\text{ave}},\end{aligned}}}$

ここで、 は 電荷の量です。電流と時間は、右の図に示すように、コンデンサの放電開始から全波整流信号の最小電圧まで測定されます。この場合、時間は全波入力の周期の半分に等しくなります。 ${\displaystyle Q}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t_{\text{ave}}}$

${\displaystyle t_{\text{ave}}={\frac {t_{\text{fullwave}}}{2}}={\frac {1}{2f}}}$

上記の3つの式を組み合わせると、 ${\displaystyle V_{\text{pp}}}$

${\displaystyle V_{\text{pp}}={\frac {Q}{C}}={\frac {I_{\text{ave}}t_{\text{ave}}}{C}}}$

したがって、全波整流器の場合：^[3]

どこ

• ${\displaystyle V_{\mathrm {pp} }}$ピークツーピークのリップル電圧
• ${\displaystyle I}$回路内の電流は
• ${\displaystyle f}$交流電源の供給周波数です
• ${\displaystyle C}$静電容量は

リップル電圧のRMS値については、リップル波形の形状が結果に影響を及ぼすため、計算はより複雑になります。鋸歯状波形を仮定することは、上記と同様の仮定です。鋸歯状波のRMS値は、ピーク電圧であるところです。さらに近似して とすると、結果は次のようになります。^[4]${\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {p} }}{\sqrt {3}}}}$${\displaystyle V_{\mathrm {p} }}$${\displaystyle V_{\mathrm {p} }}$${\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {pp} }}{2}}}$

${\displaystyle V_{\mathrm {rms} }={\frac {V_{\mathrm {pp} }}{2{\sqrt {3}}}}={\frac {I}{4{\sqrt {3}}fC}}={\frac {V_{\mathrm {DC} }}{4{\sqrt {3}}fCR}}}$どこ${\displaystyle V_{\mathrm {DC} }=IR}$

どこ

• ${\displaystyle \gamma }$波及要因
• ${\displaystyle R}$負荷の抵抗です
• 近似式では、 X _C ≪ Rと仮定します。鋸波は整流電圧には存在しない奇数高調波で構成されるため、この値は実際の値よりも少し大きくなります。

リップルを減らす別の方法は、直列チョークを使用することです。チョークにはフィルタリング作用があり^{[明確化が必要]}、その結果、高次高調波の少ない滑らかな波形が生成されます。これに対して、DC出力は平均入力電圧に近くなりますが、リザーバコンデンサの電圧はピーク入力電圧に近くなります。第2高調波のフーリエ項から始めて、高次高調波を無視すると、

${\displaystyle V_{\mathrm {2f} }(t)={\frac {4V_{\mathrm {AC_{p}} }}{3\pi }}\cos(2\omega t)}$

リップル係数は次のように与えられる: ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\mathrm {rms} }={}&{\sqrt {{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\left({\frac {4V_{\mathrm {AC_{p}} }}{3\pi }}\cos(2\omega t)\right)^{2}dt}}\cdot Z_{\mathrm {RL} }\\&{\text{where }}Z_{\mathrm {RL} }{\text{ is the impedance of the RL filter formed by the choke and load}}\\[8pt]={}&{\frac {4V_{\mathrm {AC_{p}} }}{3\pi }}{\sqrt {{\frac {1}{\pi }}\left[{\frac {t}{2}}+{\frac {\sin 2\omega t}{4\omega }}\right]_{0}^{\pi }}}\cdot {\frac {R}{\sqrt {R^{2}+X_{\mathrm {L} }^{2}}}}={\frac {4V_{\mathrm {AC_{p}} }}{3\pi }}{\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\frac {R}{\sqrt {R^{2}+X_{\mathrm {L} }^{2}}}}={\frac {4V_{\mathrm {AC_{p}} }}{3{\sqrt {2}}\pi }}\cdot {\frac {R}{X_{\mathrm {L} }}}.\end{aligned}}}$

のために$R\ll X_{L},$

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\mathrm {DC} }={}&{\sqrt {\left({\frac {2V_{\mathrm {AC_{p}} }}{\pi }}\right)^{2}-V_{\mathrm {rms} }^{2}}}={\frac {2V_{\mathrm {AC_{p}} }}{\pi }}\quad {\text{because }}V_{\mathrm {rms} }^{2}=K{\frac {R^{2}}{X_{\mathrm {L} }^{2}}}{\text{ is negligible for }}R\ll X_{L}.\\[8pt]\gamma ={}&{\frac {V_{\mathrm {rms} }}{V_{\mathrm {DC} }}}=\left.{\frac {4V_{\mathrm {AC_{p}} }}{3{\sqrt {2}}\pi }}\cdot {\frac {R}{2\omega L}}\right/{\frac {2V_{\mathrm {AC_{p}} }}{\pi }}={\frac {R}{3{\sqrt {2}}\omega L}}.\\[8pt]&{\text{Substituting }}X_{\mathrm {L} }=2\omega L,{\text{where }}L{\text{ is the inductance of the choke}};{\text{ in the more familiar form,}}\\\approx {}&0.471{\frac {R}{X_{\mathrm {L} }}},{\text{ for }}R\ll X_{L}.\end{aligned}}}$

高次高調波が考慮されていないため、この値は 0.483 よりわずかに小さくなります。(インダクタンスを参照)

直列チョークが継続的に電流を流すためには、最小インダクタンス（負荷の抵抗に比例）が必要です。インダクタンスがその値を下回ると、電流は断続的になり、出力 DC 電圧は平均入力電圧からピーク入力電圧まで上昇します。つまり、インダクタはコンデンサのように動作します。臨界インダクタンスと呼ばれる最小インダクタンスは、Rが負荷抵抗、f がライン周波数である場合に、次の式で表されます。これにより、60 Hz 電源整流の場合は L = R/1131（R/1130 と表記されることが多い）、50 Hz 電源整流の場合は L = R/942 となります。さらに、インダクタへの電流を遮断すると、その磁束は指数関数的に減少します。電流が減少すると、非常に高い高調波で構成される電圧スパイクが発生し、電源または回路の他のコンポーネントが損傷する可能性があります。この現象はフライバック電圧と呼ばれます。 ${\displaystyle L={\frac {R}{2\pi (3f)}}}$  

直列チョークの複素インピーダンスは実質的に負荷インピーダンスの一部であるため、負荷が軽い回路ではリップルが増加します (コンデンサ入力フィルタとは正反対です)。このため、チョーク入力フィルタはほとんどの場合 LC フィルタ セクションの一部であり、そのリップルの低減は負荷電流とは無関係です。リップル係数は次のとおりです。

${\displaystyle \gamma ={\frac {V_{\mathrm {rms} }}{V_{\mathrm {DC} }}}={\frac {\sqrt {2}}{3}}\cdot {\frac {1}{4\omega ^{2}CL}}\approx 0.471{\frac {X_{\mathrm {C} }}{X_{\mathrm {L} }}}}$

どこ

• ${\displaystyle \omega =2\pi f}$

高電圧/低電流回路では、LCフィルタセクションの直列チョークを抵抗器で置き換えることができます（RCフィルタセクションを作成します）。これにより、DC出力とリップルが低減されます。リップル係数は

${\displaystyle \gamma ={\frac {V_{\mathrm {rms} }}{V_{\mathrm {DC} }}}={\frac {\left(1+{\frac {R}{R_{\mathrm {L} }}}\right)}{3{\sqrt {2}}\omega CR}}={\frac {1}{3{\sqrt {2}}\omega CR}}\approx 0.471{\frac {X_{\mathrm {C} }}{R}}}$R _L >> Rの場合、RCフィルタセクションは実質的に負荷に依存しなくなります。

どこ

• ${\displaystyle \omega =2\pi f}$
• ${\displaystyle R}$フィルタ抵抗器の抵抗値

同様に、LCフィルタセクションは負荷に対して独立しているため、リザーバコンデンサの後にコンデンサが続き、ローパス Πフィルタとなることもよくあります。^[6] Πフィルタは、コンデンサまたはチョーク入力フィルタのみの場合よりもリップル係数がはるかに低くなります。負荷が許容できるレベルまでリップルをさらに低減するために、追加のLCまたはRCフィルタセクションが後に続く場合があります。ただし、現代の設計では、経済的な理由からチョークの使用は推奨されていません。

優れたリップル除去が必要な場合のより一般的な解決策は、リザーバコンデンサを使用してリップルを管理可能なレベルまで下げ、電流を電圧レギュレータ回路に通すことです。レギュレータ回路は安定した出力電圧を提供するだけでなく、リップル波形の最小レベルが調整対象の電圧を下回らない限り、リップルのほぼすべてを偶然に除去します。^[7]スイッチング電源には通常、回路の一部として電圧レギュレータが含まれています。

電圧調整は、フィルタリングとは異なる原理に基づいています。最大出力電圧を設定するために、ダイオードまたは一連のダイオードのピーク逆電圧に依存します。また、電圧低下時に電圧をブーストするために、トランジスタなどの 1 つ以上の電圧増幅デバイスを使用する場合もあります。これらのデバイスの非線形特性のため、レギュレータの出力にはリップルがありません。シンプルな電圧レギュレータは、電圧を下げるための直列抵抗器と、ピーク逆電圧 (PIV) によって最大出力電圧を設定するシャント ツェナー ダイオードを使用して作成できます。電圧が上昇すると、ダイオードが電流をシャントして調整を維持します。

リップルは、さまざまな理由から、多くの電子アプリケーションでは望ましくありません。

• リップルは直流を必要とする回路では利用できない無駄な電力を表す。
• リップルは、コンデンサのESRなどの寄生要素を通過する電流により、DC回路部品の加熱を引き起こします。
• 電源では、リップル電圧には部品のピーク電圧を高くする必要があります。リップル電流には部品の寄生要素を低くし、放散容量を高くする必要があります (部品は大きくなり、品質も高くする必要があります)。
• 容量性入力回路にリップル電流を供給する変圧器は、負荷（ワット）定格を超えるVA定格を持つ必要がある。
• リップル周波数とその高調波はオーディオ帯域内にあるため、ラジオ受信機、録音再生機器、プロ用スタジオ機器などの機器で聞こえるようになります。
• リップル周波数はテレビのビデオ帯域幅内です。アナログテレビ受信機では、リップルが多すぎると波線が動くパターンが表示されます。^[8]
• リップルが存在すると、電子テストおよび測定機器の解像度が低下する可能性があります。オシロスコープでは、画面上に目に見えるパターンとして現れます。
• デジタル回路内では、あらゆる形態の電源レールノイズと同様にしきい値が下がり、論理回路が誤った出力を出し、データが破損します。

リップル電流は、高振幅狭帯域幅パルスを特徴とする AC 電源から生成される周期的な非正弦波形です。パルスは、付随する正弦電圧波形のピークまたはピークに近い振幅と一致します。

リップル電流は、コンデンサの ESR、変圧器とインダクタの DCR、蓄電池の内部抵抗など、回路の寄生抵抗部分での消費電力の増加につながります。消費電力は、電流の二乗と抵抗の積 (I ² R) に比例します。リップル電流の RMS 値は、負荷電流の RMS の何倍にもなることがあります。

周波数領域におけるリップルとは、フィルタまたはその他の2 ポート ネットワークの挿入損失が周波数とともに周期的に変化することを意味します。すべてのフィルタがリップルを示すわけではなく、バターワース フィルタのように挿入損失が周波数とともに単調に増加するフィルタもあります。リップルを示す一般的なフィルタのクラスは、チェビシェフ フィルタ、逆チェビシェフ フィルタ、楕円フィルタです。^[9]サンプル プロットからわかるように、リップルは通常厳密に線形周期的ではありません。リップルを示すネットワークの他の例としては、チェビシェフ多項式を使用して設計されたインピーダンス整合ネットワークがあります。これらのネットワークのリップルは、通常のフィルタとは異なり、通過帯域全体で最適な伝送ができるように設計されている場合、最小損失で 0 dB に達することはありません。 ^[10]

リップルの量は、フィルタ設計の他のパラメータとトレードオフすることができます。たとえば、フィルタの次数を増やすことなく（つまり、コンポーネントの数は同じまま）、通過帯域から阻止帯域へのロールオフ率を上げると、リップルが増加しますが、その代償として増加することができます。一方、ロールオフ率を維持しながらフィルタの次数を増やすと、リップルを減らすことができます。^[10]

• 整流器、リップルの主な発生源である非線形デバイス
• ダイナモは直流電力を発電する装置であり、その出力には大きなリップル成分が含まれている。
• リンギング（信号）は、周波数領域リップルの自然な応答時間領域アナログである。

• Ryder, JD, Electronic Fundamentals & Applications、Pitman Publishing、1970 年。
• ミルマン・ハルキアス著『集積回路』、マグロウヒル工学社、1972年。
• Matthaei、Young、Jones、「マイクロ波フィルタ、インピーダンス整合ネットワーク、および結合構造」 McGraw-Hill 1964 年。