ネットワーク合成

ネットワーク合成は、線形電気回路の設計手法です。合成は、周波数のインピーダンス関数または周波数応答が規定されていることから始まり、必要な応答を生成する可能性のあるネットワークを決定します。この手法は、与えられた回路の応答（またはその他の動作）を計算するネットワーク解析と比較されます。ネットワーク合成以前は、ネットワーク解析のみが利用可能でしたが、これには解析対象の回路の形式を事前に知っている必要があります。選択された回路が望ましい応答に最も近いものになるという保証はなく、また、回路が可能な限り単純なものであるという保証もありません。ネットワーク合成は、これらの問題の両方に直接対処します。ネットワーク合成は、歴史的に受動ネットワークの合成に関係してきましたが、そのような回路に限定されるものではありません。

この分野は、ヴィルヘルム・カウアーがロナルド・M・フォスターの1924年の論文「リアクタンス定理」を読んだ後に創設されました。フォスターの定理は、インピーダンス関数の部分分数展開によって任意の数の要素を持つLC回路を合成する方法を提供しました。カウアーはフォスターの方法をRC回路とRL回路に拡張し、新しい合成方法と一般的なRLC回路を合成できる方法を発見しました。第二次世界大戦前のその他の重要な進歩は、オットー・ブルーンとシドニー・ダーリントンによるものです。1940年代には、ラウル・ボットとリチャード・ダフィンが、一般的な場合に変圧器を必要としない合成技術を発表しました（変圧器の排除は、しばらくの間研究者を悩ませていました）。1950年代には、合成に必要な要素の数を最小限に抑えるという問題に多大な努力が注がれましたが、成功は限られていました。 2000年代に最小化の問題が再び活発な研究分野となるまで、この分野ではほとんど研究が行われなかったが、2023年現在でも未解決の問題である。

ネットワーク合成の主な応用例はネットワーク合成フィルタの設計ですが、それだけにとどまりません。その他にも、インピーダンス整合回路、時間遅延回路、方向性結合器、等化回路などがあります。2000年代には、ネットワーク合成は電気システムだけでなく機械システムにも応用されるようになり、特にF1レースでその傾向が顕著になりました。

概要

ネットワーク合成とは、ネットワークの形状に関する事前の想定なしに、所定の方法で動作する電気ネットワークを設計することです。通常、受動部品を使用してインピーダンスを合成する必要があります。つまり、抵抗(R)、インダクタンス(L)、および容量(C)で構成されるネットワークです。このようなネットワークは常にインピーダンスを持ち、それは次のように表されます。 $Z(s)$ インピーダンスは、複素周波数変数sの有理関数の形で表されます。つまり、インピーダンスはsに関する 2 つの多項式の比です。^[¹^]

ネットワーク合成には大きく分けて3つの研究分野があります。要件を合理的な関数で近似すること、その関数をネットワークに合成すること、そして合成されたネットワークの等価物を決定することです。^{[ 2 ]}

近似

理想化された規定関数は、多項式で正確に記述できることはほとんどありません。したがって、それを正確に再現するネットワークを合成することは不可能です。^{[ 3 ]} 単純で一般的な例として、ブリックウォールフィルタがあります。これはローパスフィルタの理想的な応答ですが、不連続性があるため、その区分的に連続な応答を多項式で表現することは不可能です。この困難を克服するために、近似理論を使用して規定関数を近似する有理関数が見つかります。^{[ 4 ]} 一般に、近似の精度が高くなるほど、多項式の次数が高くなり、ネットワークに必要な要素数も増えます。^{[ 5 ]}

この目的のために、ネットワーク合成では多くの多項式や関数が使用されています。選択は、設計者がどの規定関数のどのパラメータを最適化したいかによって異なります。^{[ 6 ]} 最も初期に使用されたものの1つはバターワース多項式で、通過帯域で最大限に平坦な応答が得られます。 ^{[ 7 ]} 一般的な選択肢はチェビシェフ近似で、設計者は他のパラメータの改善と引き換えに、通過帯域応答が理想からどれだけ逸脱できるかを指定します。^{[ 8 ]}時間遅延、インピーダンス整合、ロールオフ、その他多くの要件を最適化するために、他の近似も利用可能です。 ^{[ 9 ]}

実現

有理関数が与えられた場合、通常は、その関数が離散受動ネットワークとして実現可能かどうかを判断する必要があります。そのようなネットワークはすべて有理関数で記述されますが、すべての有理関数が離散受動ネットワークとして実現可能というわけではありません。^{[ 10 ]} 歴史的に、ネットワーク合成は、そのようなネットワークのみを対象としていました。現代のアクティブコンポーネントにより、多くのアプリケーションでこの制限はそれほど重要ではなくなりましたが、^{[ 11 ]}高周波では、受動ネットワークが依然として選択される技術です。^{[ 12 ]}有理関数には、その関数が受動ネットワークとして実現可能かどうかを予測する単純な特性があります。関数が実現可能であると判断されると、そこからネットワークを合成するアルゴリズムが多数利用できます。^{[ 13 ]}

等価

有理関数によるネットワーク実現は一意ではありません。同じ関数で多くの等価ネットワークが実現される可能性があります。ネットワークのメッシュ解析で形成されるインピーダンス行列のアフィン変換はすべて等価ネットワークのインピーダンス行列であることが知られています（詳細は「アナログフィルタ §実現可能性と等価性」を参照）。^[¹⁴^] 他のインピーダンス変換も知られていますが、まだ発見されていない等価クラスがさらに存在するかどうかは未解決の問題です。^[¹⁵^]

ネットワーク合成における主要な研究分野の一つは、最小限の要素数を使用する実現を見つけることである。この問題は一般の場合については完全には解決されていないが^{[ 16 ]}、実用的な応用を持つ多くのネットワークについては解決策が存在する^{[ 17 ] 。}

歴史

ネットワーク合成の分野は、ドイツの数学者で科学者のヴィルヘルム・カウアー（1900～1945）によって創始されました。理論への最初のヒントは、アメリカの数学者ロナルド・M・フォスター（1896～1998）が1924年に 「リアクタンス定理」を発表した際に示されました。カウアーはすぐにこの研究の重要性を認識し、それを一般化および拡張することに着手しました。1926年の彼の論文は「所定の周波数依存性を持つインピーダンスの実現」に関するもので、この分野の始まりとなりました。カウアーの最も詳細な研究は第二次世界大戦中に行われましたが、彼は終戦直前に亡くなりました。彼の研究は戦争中は広く発表することができず、彼の家族が彼の論文を集めて広く世に発表したのは1958年になってからのことでした。その間、アメリカではカウアーの戦前の出版物と戦争中に入手した資料に基づいて進歩が見られました。^{[ 18 ]}

独学で数学と科学を学んだイギリスのオリバー・ヘヴィサイド（1850–1925）は、RLCネットワークのインピーダンスが常に周波数演算子の有理関数であることを初めて示したが、有理関数からネットワークを実現する方法は提供しなかった。^{[ 19 ]} カウアーは、有理関数が受動ネットワークとして実現可能であるための必要条件を発見した。南アフリカのオットー・ブルーン（1901–1982）は後にこの条件を正実関数（PRF）と名付けた。カウアーはPRFが必要かつ十分な条件であると仮定したが、それを証明できず、当時アメリカで彼の大学院生だったブルーンに研究プロジェクトとして提案した。 ^{[ 20 ]}ブルーンは1931年の博士論文でその証明を発表した。^{[ 21 ]}

フォスターの実現はLCネットワークに限定され、2つの形式のいずれかであった。直列LC回路を複数並列接続したもの、または並列LC回路を複数直列接続したものである。フォスターの方法は拡張することであった。 $Z(s)$ 部分分数に分解する。カウアーは、フォスターの方法がRLおよびRCネットワークに拡張できることを示した。カウアーはまた、別の方法も発見した。 $Z(s)$ 連分数として表され、その結果、はしごネットワークになりますが、これもまた2つの可能な形式があります。^{[ 22 ]} 一般に、PRFはRLCネットワークを表します。3種類の要素がすべて存在する場合、実現はより複雑になります。CauerとBruneはどちらも、 RLCネットワークの実現に理想的な変圧器を使用しました。変圧器を含める必要があることは、回路の実際の実装では望ましくありません。^{[ 23 ]}

変圧器を必要としない実現方法は、1949 年にハンガリー系アメリカ人の数学者ラウル・ボット(1923–2005) とアメリカ人の物理学者リチャード・ダフィン(1909–1996) によって提供されました。^{[ 24 ]} ボットとダフィンの方法では、アメリカの物理学者で応用数学者のポール・I・リチャーズ(1923–1978) による 1947 年のリチャーズの定理を繰り返し適用することで展開します。 ^[²⁵^]結果として得られるボット・ダフィン・ネットワークは、必要なコンポーネントの数が次数とともに指数関数的に増加するため、実用上は限られています (少なくとも高次の有理関数に対しては) 。 ^[²⁶^] 元のボット・ダフィンの方法のいくつかのバリエーションでは、各セクションの要素数が 6 から 5 に減少しますが、全体の数は依然として指数関数的に増加します。^[²⁷^] この成果を上げた論文には、Pantell (1954)、Reza (1954)、Storer (1954)、Fialkow & Gest (1955) などがある。^[²⁸^] 2010 年現在、有理関数の合成において、それ以上の大きな進歩は見られない。^[²⁹^]

1939 年、アメリカの電気技師シドニー・ダーリントンは、任意の PRF はL と C 要素のみで構成され、出力に抵抗器で終端された 2 ポートネットワークとして実現できることを示した。つまり、任意のネットワークには抵抗器が 1 つだけ必要で、残りのコンポーネントは損失がない。この定理は、カウアーとジョバンニ・コッチの両方によって独立に発見された。^[³⁰^] 1 つのインダクタのみを使用して R と C 要素で PRF を合成するという系の問題が、ネットワーク理論で未解決の問題となっている。^[³¹^] もう 1 つの未解決の問題は、共通端子を持つ任意の RC 2 ポートが直並列ネットワークとして実現できるというダーリントンの予想 (1955 年) の証明を見つけることである。^[³²^] 実際のネットワークで重要な考慮事項は、コンポーネントの数、特に巻線コンポーネント (インダクタとトランス) の数を最小限に抑えることである。最小化には多大な努力が払われてきたが、^[³³^]デジタル回路のブール代数のように、最小化の一般理論は発見されていない。^[³⁴^]

カウアーは楕円有理関数を用いて理想フィルタの近似を生成した。^{[ 35 ]} 楕円有理関数の特殊なケースとして、パフヌティ・チェビシェフ（1821～1894）によるチェビシェフ多項式があり、近似理論の重要な部分となっている。^[³⁶^] チェビシェフ多項式はフィルタの設計に広く用いられている。1930年、イギリスの物理学者スティーブン・バターワース（1885～1958）は、バターワース多項式を用いて、最大平坦フィルタとしても知られるバターワースフィルタを設計した。^[³⁷^] バターワースの研究はカウアーとは全く無関係であったが、後にバターワース多項式がチェビシェフ多項式の極限ケースであることが判明した。^[³⁸^] さらにそれ以前（1929年）に、アメリカのエンジニア兼科学者エドワード・ローリー・ノートン（1898-1983）は、バターワースの電気フィルターと全く同様の応答を持つ最大平坦な機械式フィルターを独自に設計した。^[³⁹^]

2000 年代には、ネットワーク合成理論が大規模な機械システムに適用され始めたことで、その理論をさらに発展させることへの関心が高まりました。^{[ 40 ]} 最小化の未解決問題は、部品のサイズとコストのため、電気領域よりも機械領域の方がはるかに重要です。^{[ 41 ]} 2017 年に、ケンブリッジ大学の研究者たちは、双二次有理関数のみを考慮することに限定して、すべての直並列ネットワークとほとんどの任意のネットワークに対するそのような関数の Bott-Duffin 実現が最小数のリアクタンスを持つことを決定しました (Hughes、2017)。この結果は、Bott-Duffin 法が以前考えられていたほど非最小ではないことを示しているため、彼らは驚きました。^{[ 42 ]} この研究は、部分的にはLadenheim カタログの再検討に焦点を当てています。これは、リアクタンスが 2 つ以下、抵抗が 3 つ以下のすべての異なる RLC ネットワークの列挙です。Edward Ladenheim は、Foster の学生であった 1948 年にこの作業を行いました。このカタログの意義は、これらのネットワークがすべて双二次関数によって実現される点にある。^{[ 43 ]}

アプリケーション

ネットワーク合成の最も広く使われている応用例は、信号処理フィルタの設計である。このようなフィルタの現代的な設計は、ほぼ常に何らかの形のネットワーク合成フィルタである。^{[ 44 ]}

もう一つの応用例は、インピーダンス整合ネットワークの設計です。単一周波数でのインピーダンス整合には、通常は1つの部品からなる単純なネットワークのみが必要です。しかし、広帯域にわたるインピーダンス整合には、ソース抵抗と負荷抵抗が周波数によって変化しない場合でも、より複雑なネットワークが必要です。これを受動素子で行い、変圧器を使用しないと、フィルタのような設計になります。さらに、負荷が純粋な抵抗でない場合、完全な整合はいくつかの離散的な周波数でのみ可能であり、帯域全体での整合は近似する必要があります。^{[ 45 ]} 設計者はまず、整合ネットワークが動作する周波数帯域を指定し、次にその帯域のバンドパスフィルタを設計します。標準フィルタと整合ネットワークの唯一の本質的な違いは、ソースインピーダンスと負荷インピーダンスが等しくないことです。^{[ 46 ]}

フィルタと整合回路には、重要なパラメータが異なる点があります。回路が二重機能を持たない限り、設計者は通過帯域外のインピーダンス整合回路の動作をあまり気にしません。遷移帯域が非常に狭くなくても、阻止帯域の減衰が悪くても問題ありません。実際、厳密に必要な範囲を超えて帯域幅を改善しようとすると、インピーダンス整合の精度が低下します。回路内の要素数が一定の場合、設計帯域幅を狭くすると整合が改善され、その逆もまた然りです。インピーダンス整合回路の限界は、1945年にアメリカのエンジニア兼科学者であるヘンドリック・ウェイド・ボーデによって初めて調査され、それらが必然的にフィルタのような特性を持つ必要があるという原理は、1950年にイタリア系アメリカ人のコンピュータ科学者ロバート・ファノによって確立されました。 ^{[ 47 ]}フィルタの場合、通過帯域で通常設定されるパラメータの1つは最大挿入損失です。インピーダンス整合回路の場合、最小損失も設定することで、より良い整合が得られます。つまり、どの点でもゲインが1になることはありません。^{[ 48 ]}

時間遅延ネットワークは、フィルタのような構造を持つネットワーク合成によって設計できます。帯域内のすべての周波数で一定の遅延を持つ遅延ネットワークを設計することはできません。この動作の近似を所定の帯域幅に限定して使用する必要があります。所定の遅延は、有限個のスポット周波数で最大で発生します。ベッセルフィルタは、最大平坦な時間遅延を持ちます。^{[ 49 ]}

ネットワーク合成の応用は電気領域に限定されません。線形コンポーネントのネットワークとして表現できるあらゆるエネルギー領域のシステムに適用できます。特に、ネットワーク合成は機械領域の機械ネットワークに応用されています。機械ネットワーク合成の検討により、マルコム C. スミスは電気コンデンサに類似した新しい機械ネットワーク要素であるイナーターを提案しました。^{[ 50 ]}慣性特性を持つ機械部品は、フォーミュラワンレーシングカーのサスペンションに応用されています。^{[ 51 ]}

合成技術

合成は、ネットワークの要求される機能を近似する有理関数を提供する近似手法を選択することから始まります。機能が受動部品で実装される場合、その機能は正実関数(PRF) の条件も満たす必要があります。^{[ 52 ]} 使用する合成手法は、ネットワークの形式と、ネットワークに必要な要素の種類によって部分的に異なります。1 種類の要素のネットワークは自明なケースであり、単一の要素のインピーダンスに帰着します。2 種類の要素のネットワーク (LC、RC、または RL) は、フォスター合成またはカウアー合成で合成できます。3 種類の要素のネットワーク (RLC ネットワーク) は、ブルーン合成またはボット・ダフィン合成などのより高度な処理が必要です。^{[ 53 ]}

必要な要素の種類と数は、関数の極と零点（まとめて臨界周波数と呼ばれる）を調べることで決定できます。 ^{[ 54 ]} 臨界周波数の要件は、以下の関連セクションで各種類のネットワークについて示されています。

フォスター合成

フォスターの合成は、元の形式ではLCネットワークにのみ適用できます。PRFは、臨界周波数が2つの要素のLCネットワークである場合に、2要素タイプのLCネットワークを表します。 $Z(s)$ 全ては $i\omega$ 複素平面の軸 $s=\sigma +i\omega$ （s平面）は極と零点が交互に現れます。原点と無限遠には必ず1つの臨界周波数が存在し、残りはすべて共役対になります。 $Z(s)$ は偶数次多項式と奇数次多項式の比でなければならず、それらの次数はちょうど１だけ異なっていなければならない。これらの要件はフォスターのリアクタンス定理の結果である。^{[ 55 ]}

里親Iフォーム

フォスターの第一形態（フォスターI形態）は $Z(s)$ 並列LC回路を直列に接続したものとして。例えば、

Z(s)={\frac {9s^{5}+30s^{3}+24s}{18s^{4}+36s^{2}+8}}

部分分数展開すると次のようになります。

Z(s)={s \over 2}+{\frac {(25+11{\sqrt {5}})s}{5(9+3{\sqrt {5}})s^{2}+20}}+{\frac {(25-11{\sqrt {5}})s}{5(9-3{\sqrt {5}})s^{2}+20}}\approx {s \over 2}+{\frac {2.48s}{3.93s^{2}+1}}+{\frac {0.020s}{0.573s^{2}+1}}

最初の項は直列インダクタを表し、 $Z(s)$ 無限遠に極を持つ。原点に極があれば、直列コンデンサを表すことになる。残りの 2 つの項はそれぞれ、共役極のペアを表す。 $i\omega$ 軸。これらの各項は、そのような回路のインピーダンス式と比較することにより、並列LC回路として合成することができる。^{[ 56 ]}

Z_{LC}(s)={\frac {Ls}{LCs^{2}+1}}

結果として得られる回路を図に示す。

フォスターIIフォーム

フォスターII型合成 $Z(s)$ 直列LC回路を並列に接続したものとして表される。部分分数展開の方法はフォスターI形式と同じだが、アドミタンスに適用される。 $Y(s)$ 、の代わりに $Z(s)$ 以前と同じ例のPRFを使用して、

Y(s)={1 \over Z(s)}={\frac {18s^{4}+36s^{2}+8}{9s^{5}+30s^{3}+24s}}

部分分数展開すると、

Y(s)\simeq {1 \over 3s}+{\frac {2.498s}{0.6346s^{2}+1}}+{\frac {1.415s}{0.4719s^{2}+1}}

最初の項はシャントインダクタを表しており、 $Y(s)$ 原点に極がある（または同等に、 $Z(s)$ 原点に零点がある）。無限遠に極があった場合、それはシャントコンデンサを表す。残りの 2 つの項はそれぞれ、上の共役極のペアを表す。 $i\omega$ 軸。これらの各項は、そのような回路のアドミタンス式と比較することにより、直列LC回路として合成することができる。^{[ 57 ]}

Y_{LC}(s)={\frac {Cs}{LCs^{2}+1}}

結果として得られる回路を図に示す。

RCまたはRLネットワークへの拡張

フォスター合成は、任意の2要素タイプのネットワークに拡張できます。たとえば、フォスターI形式のRCネットワークの部分分数項は、それぞれ並列のR要素とC要素を表します。この場合、部分分数は次の形式になります。^{[ 58 ]}

Z_{RC}(s)={\frac {R}{RCs+1}}

他の形式や要素の種類も類推により続きます。LCネットワークと同様に、PRFは臨界周波数を調べることでRCネットワークかRLネットワークかをテストできます。臨界周波数はすべて負の実軸上にあり、極と零点が交互に現れ、それぞれの数が等しくなければなりません。原点に最も近い、または原点にある臨界周波数が極である場合、PRFはRCネットワークを表します。 $Z(s)$ または、それがRLネットワークである場合は、 $Y(s)$ 原点に最も近い、または原点にある臨界周波数がゼロの場合は逆になります。この理論の拡張は、以下に説明するカウアー形式にも適用されます。^{[ 59 ]}

インピーダンス

上記のフォスター合成では、関数の展開はフォスターI形式とフォスターII形式の両方で同じ手順です。特に理論的な研究では、インピーダンスまたはアドミタンスとして別々に扱うのではなく、イミタンスとしてまとめて扱う方が便利です。実際の回路を実現する必要がある時点で、関数がインピーダンスを表すかアドミタンスを表すかを宣言するだけで済みます。イミタンスは、カウアーI形式およびカウアーII形式、その他の手順でも同様に使用できます。^{[ 60 ]}

カウアー合成

カウアー合成はフォスター合成の代替合成法であり、PRFが満たすべき条件はフォスター合成と全く同じです。フォスター合成と同様に、カウアー合成にも2つの形式があり、どちらもRCネットワークとRLネットワークに拡張できます。

カウアーI型

カウアーI型は拡大する $Z(s)$ 連分数に変換します。フォスターIフォームで使用した例と同じ例を使用します。

Z(s)=0.5s+{\cfrac {1}{1.5s+{\cfrac {1}{2s+{\cfrac {1}{1.5s+{\cfrac {1}{0.5s}}}}}}

または、より簡潔な表記では、

Z(s)=[0.5s;1.5s,2s,1.5s,0.5s].

この展開の項は、図に示すように、ラダーネットワークの構成要素値として直接実装できます。^{[ 61 ]} 与えられたPRFは、分子よりも次数が高い分母を持つ場合があります。そのような場合は、代わりに関数の乗法逆関数を展開します。つまり、関数が $Z(s)$ 、それから $Y(s)$ 代わりに拡張され、その逆もまた同様である。^{[ 62 ]}

カウアーII型

カウアーII型が拡大する $Z(s)$ Cauer I 形式とまったく同じ方法で、ただし、Cauer I 形式で行われる最高次数ではなく、最低次数の項が連分数展開で最初に抽出される点が異なります。^{[ 63 ]} Cauer I 形式と Foster 形式に使用された例を Cauer II 形式に展開すると、一部の要素が負の値になります。^{[ 64 ]}したがって、この特定の PRF は、変圧器や相互インダクタンスを含めずに、受動部品で Cauer II 形式として実現することはできません。^{[ 65 ]}

例の本質的な理由は $Z(s)$ Cauer II 形式として実現できないのは、この形式がハイパストポロジーを持っているためです。連分数で抽出された最初の要素は直列コンデンサです。これにより、ゼロが不可能になります。 $Z(s)$ 実現されるべき原点において。一方、カウアー I 形式は低域通過トポロジーを持ち、当然原点に零点を持つ。^{[ 66 ]} しかし、 $Y(s)$ この関数は、抽出される最初の要素がシャントインダクタであるため、カウアーII型として実現できます。これにより、原点に極が与えられます。 $Y(s)$ しかし、それは原点における必要なゼロを意味する。 $Z(s)$ 連分数展開は次のようになります。

Y(s)\simeq \left[{1 \over 3s};{1 \over 1.083s},{1 \over 0.2175s},{1 \over 1.735s}\right]

実現されたネットワークを図に示す。

ブルーン合成

ブルーン合成では任意の PRF を合成できるため、一般的には 3 要素タイプ (つまり RLC) ネットワークになります。極と零点は複素平面の左半分のどこにでも配置できます。^{[ 67 ]} ブルーン法は、フォスター法と同様に、虚軸上の臨界周波数を除去するためのいくつかの予備ステップから始まります。これらの予備ステップは、フォスター前文と呼ばれることもあります。^{[ 68 ]}次に、ブルーンセクションのカスケードを生成する一連のステップがあります。^{[ 69 ]}

虚軸上の臨界周波数の除去

極と零点 $j\omega$ 軸は、PRFから抽出できるL要素とC要素を表します。具体的には、

原点にある極は直列コンデンサを表す
無限遠にある極は直列インダクタンスを表す
原点にゼロ点がある場合、それはシャントインダクタを表します。
無限遠点におけるゼロは、シャントコンデンサを表す。
一対のポール $s=\pm i\omega _{c}$ 共振周波数の並列LC回路を表す $\displaystyle \omega _{c}}$ 連続
2 つのゼロ $s=\pm i\omega _{c}$ 共振周波数の直列LC回路を表す $\displaystyle \omega _{c}}$ シャント内

これらの抽出の後、残りの PRF は虚軸上に臨界周波数を持たず、最小リアクタンス関数、最小サセプタンス関数として知られています。ブルーン合成は、このような関数から始まります。^{[ 70 ]}

方法の概要

ブルーン法の本質は、共役零点ペアを $i\omega$ 軸は、その周波数における関数の実部と虚部を抽出し、次に、共振回路として零点のペアを抽出することによって決定されます。これが合成ネットワークの最初のブルーンセクションです。結果として得られる残りの部分は、2 度低い別の最小リアクタンス関数です。その後、サイクルが繰り返され、各サイクルで最終ネットワークのブルーンセクションが 1 つずつ生成され、最終的に定数 (抵抗) だけが残ります。^{[ 71 ]} ブルーン合成は正準であり、つまり、最終的な合成ネットワークの要素の数は、インピーダンス関数の任意の係数の数に等しくなります。したがって、合成回路の要素の数はこれ以上減らすことはできません。^{[ 72 ]}

最小抵抗の除去

最小リアクタンス関数は最小の実部を持ち、 $R_{\text{min}}$ ある頻度で $\displaystyle \omega _{0}}$ この抵抗は、関数から抽出することができ、最小正実関数、または単に最小関数と呼ばれる別のPRFの残りが残ります。^{[ 73 ]} 例えば、最小リアクタンス関数

Z(s)={\frac {3s^{2}+3s+6}{2s^{2}+s+2}}

もっている $\displaystyle \omega _{\text{min}}={\sqrt {2}}}$ そして $R_{\text{min}}=1$ 最小関数、 $Z_{1}(s)$ したがって、

Z_{1}(s)=Z(s)-R_{\text{min}}={\frac {s^{2}+2s+4}{2s^{2}+s+2}}

負のインダクタンスまたは容量の除去

以来 $Z_{1}(i\omega _{0})$ 実際には何の役にも立たないので、次のように書くことができます。

Z_{1}(i\omega _{0})=iX\ .

例の関数では、

Z_{1}(i\omega _{0})=-i{\sqrt {2}}=iX\ .

この場合、 $X$ は負の値であり、負の値のインダクタのリアクタンスとして解釈されます。 $L_{1}$ 。したがって、

iX=i\omega _{0}L_{1}

そして

L_{1}=-1

値を代入した後 $\displaystyle \omega _{0}}$ そして $iX$ このインダクタンスは、 $Z_{1}(s)$ 別の PRF を残して、 $Z_{2}(s)$ 、

Z_{2}(s)=Z_{1}(s)-sL_{1}={\frac {2s^{3}+2s^{2}+4s+4}{2s^{2}+s+2}}\ .

^{[ 74 ]}

負の値を抽出する理由は $-sL_{1}$ これは PRF ですが、 $L_{1}$ 肯定的でした。これは、 $Z_{2}(s)$ も PRF になります (2 つの PRF の合計も PRF であるため)。^{[ 75 ]} 次のような場合 $X$ が正の値である場合、代わりにアドミタンス関数が使用され、負の容量が抽出されます。^{[ 76 ]} これらの負の値がどのように実装されるかは、後のセクションで説明します。

共役零点ペアの除去

実部と虚部の両方 $Z(i\omega _{0})$ は前のステップで削除されています。これにより、2 つのゼロが残ります。 $Z_{2}(s)$ で $\pm i\omega _{0}$ 例の関数を因数分解することで示されるように。^{[ 77 ]}

Z_{2}(s)={\frac {2s^{3}+2s^{2}+4s+4}{2s^{2}+s+2}}={\frac {(s^{2}+2)(2s+2)}{2s^{2}+s+2}}\ .

このような零点のペアはシャント共振回路を表すので、アドミタンス関数から極のペアとして抽出します。

{\begin{aligned}Y_{2}(s)&={1 \over Z_{2}(s)}={\frac {2s^{2}+s+2}{(s^{2}+2)(2s+2)}}\\&={1 \over {2s+2}}+{\frac {s/2}{s^{2}+2}}\\&=Y_{3}(s)+{\frac {s/2}{s^{2}+2}}\\\end{aligned}}

右端の項は、抽出された共振回路であり、 $L_{2}=2$ そして $C_{2}=1/4$ [ ⁷⁸^{]これまでに合成されたネットワーク}^を図に示す。

無限遠にある極の除去

$Z_{3}(s)$ 負のインダクタンスの抽出によって無限遠に極が生成されたので、無限遠に極がなければならない。この極は正のインダクタンスとして抽出することができる。^{[ 79 ]}

Z_{3}(s)={1 \over Y_{3}(s)}=2s+2=Z_{4}(s)+2s.

したがって $L_{3}=2$ 図に示すように。

負のインダクタンスをトランスに置き換える

負のインダクタンスは受動部品で直接実現することはできません。しかし、インダクタの「T」字型部分を相互結合インダクタに変換することで、負のインダクタンスを吸収することができます。^{[ 80 ]}結合係数が1（密結合）の場合、相互インダクタンスは、 $M$ この例では、2.0です。

すすいで繰り返す

一般的に、 $Z_{4}(s)$ 別の最小リアクタンス関数が得られ、その後、ブルーンサイクルが繰り返されて別のブルーンセクションが抽出されます^{[ 81 ]。} この例では、元のPRFは2次だったので、2次減らすと定数項だけが残り、これは自明に抵抗として合成されます。

ポジティブX

サイクルのステップ2では、PRF剰余を保証するために負の要素値を抽出する必要があると述べられています。 $X$ が正の場合、要素が負になる場合は、抽出される要素は直列インダクタではなく並列コンデンサでなければなりません。これはアドミタンスから抽出されます。 $Y_{1}(s)$ インピーダンスの代わりに $Z_{1}(s)$ サイクルのステップ4で得られる回路トポロジーは、インダクタのT字型接続とコンデンサの組み合わせではなく、コンデンサのπ型接続とインダクタの組み合わせです。このコンデンサのπ型接続とインダクタの組み合わせは、インダクタのT字型接続とコンデンサの組み合わせの等価回路であることが示せます。したがって、正のインダクタンスを抽出して、その後はあたかも正のインダクタンスを抽出したかのように処理を進めることができます。 $Z_{2}(s)$ PRFではないにもかかわらず、PRFであると仮定します。正しい結果は得られ、剰余関数はPRFとなるため、次のサイクルに渡すことができます。^{[ 82 ]}

ボット・ダフィン合成

ボット・ダフィン合成は、ブルーン合成と同様に、すべての極と零点を取り除くことから始まります。 $i\omega$ 軸。次にリチャーズの定理が呼び出され、それは次のように述べている。

R(s)={\frac {kZ(s)-sZ(k)}{kZ(k)-sZ(s)}}

もし $Z(s)$ PRF の場合 $R(s)$ は、すべての実数で正の値に対する PRF です。 $k$ [ ⁸³^]

製作 $Z(s)$ この表現の主語は、^{[ 84 ]}

Z(s)=\left({\frac {R(s)}{Z(k)}}+{\frac {k}{sZ(k)}}\right)^{-1}+\left({\frac {1}{Z(k)R(s)}}+{\frac {s}{kZ(k)}}\right)^{-1}

図には、Bott-Duffin合成の1サイクルの例が示されています。この式の4つの項は、それぞれPRF（ $Z_{2}(s)$ 図に示すように、インダクタンス、 $L$ それと並行して、別の PRF ( $Z_{1}(s)$ 図に示すように）と静電容量、 $C$ それと並行して、一対の臨界周波数が $i\omega$ 次に、共振回路として実現された 2 つの新しい PRF (詳細はここでは示さない) のそれぞれから軸が抽出される。 2 つの残りの PRF ( $Y_{3}(s)$ そして $Z_{4}(s)$ 図中の）はそれぞれ2度低い $Z(s)$ [ ⁸⁵^] 同じ手順が、生成された新しい PRF に繰り返し適用され、単一の要素だけが残るまで続きます。^[^{86 ]生成} される PRF の数はサイクルごとに倍増するため、合成される要素の数は指数関数的に増加します。 Bott-Duffin 法は変圧器の使用を回避し、受動ネットワークとして実現可能な任意の式に適用できますが、必要な部品数が多いため、実用性は限られています。^{[ 87 ]}

ベイヤード合成

ベイヤード合成は、ガウス分解手順に基づく状態空間合成法です。この方法は、最小限の抵抗器数で合成を行い、ジャイレータを含みません。ただし、この方法は非正準であり、一般的には最小数ではないリアクタンス要素数を返します。^[⁸⁸^]

ダーリントン合成

ダーリントン合成は、これまで議論してきた手法とは異なる視点から出発します。これまでの手法はすべて、所定の有理関数から出発し、それを1ポートインピーダンスとして実現します。ダーリントン合成は、 2ポートネットワークの望ましい伝達関数である所定の有理関数から始まります。ダーリントンは、任意のPRFは、出力ポートを単一の抵抗で終端したLとC要素のみを使用した2ポートネットワークとして実現できることを示しました。^[⁸⁹^] ダーリントンおよび関連する方法は、挿入損失法と呼ばれます。^[⁹⁰^] この方法は、各ポートが単一の抵抗で終端されたマルチポートネットワークに拡張できます。^[⁹¹^]

一般的に、ダーリントン方式ではトランスまたは結合インダクタが必要になります。しかし、最も一般的なフィルタタイプは、これらの望ましくない特徴なしにダーリントン方式で構築できます。^{[ 92 ]}

アクティブおよびデジタルな実現

受動素子のみを使用するという要件が解除されれば、実現は大幅に簡素化される。増幅器を使用してネットワークの各部分を互いにバッファリングし、相互作用しないようにすることができる。 ^{[ 93 ]} バッファリングされた各セルは、有理関数の極のペアを直接実現できる。そのため、関数の反復展開は必要ない。この種の合成の最初の例は、1930 年にStephen Butterworthによるものである。 ^{[ 94 ]}彼が作成したButterworth フィルタはフィルタ設計の古典となったが、能動部品よりも純粋に受動部品で実装されることが多い。この種のより一般的に適用可能な設計には、 1955 年にMIT Lincoln Laboratoryで RP Sallen と EL Key によるSallen-Key トポロジーや、双二次フィルタなどがある。^[⁹⁵^] Darlington アプローチと同様に、Butterworth と Sallen-Key はインピーダンスではなく、所定の伝達関数から始まる。アクティブ実装の主な実用上の利点は、巻線部品（トランスやインダクタ）の使用を完全に回避できることである。^[⁹⁶^] これらは製造上の理由から望ましくない。^[⁹⁷^] アクティブ設計のもう1つの特徴は、PRFに限定されないことである。^[⁹⁸^]

アクティブ回路のようなデジタル実装は、PRFに限定されず、プログラムするだけで任意の有理関数を実装できます。ただし、関数が安定しているとは限りません。つまり、発振を引き起こす可能性があります。PRFは安定であることが保証されていますが、他の関数はそうではない場合があります。有理関数の安定性は、関数の極と零点を調べてナイキスト安定判別法を適用することで判断できます。^{[ 99 ]}

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概要

近似

実現

等価

歴史

アプリケーション

合成技術

フォスター合成

里親Iフォーム

フォスターIIフォーム

RCまたはRLネットワークへの拡張

インピーダンス

カウアー合成

カウアーI型

カウアーII型

ブルーン合成

虚軸上の臨界周波数の除去

方法の概要

最小抵抗の除去

負のインダクタンスまたは容量の除去

共役零点ペアの除去

無限遠にある極の除去

負のインダクタンスをトランスに置き換える

すすいで繰り返す

ポジティブX

ボット・ダフィン合成

ベイヤード合成

ダーリントン合成

アクティブおよびデジタルな実現

参考文献

参考文献

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線形電気回路

インピーダンス関数または

周波数応答が

ネットワーク解析