リカッチ方程式

数学において、リカッチ方程式は、最も狭い意味では、未知の関数について2次式である1階常微分方程式である。言い換えれば、それは次の形式の方程式である。

${\displaystyle y'(x)=q_{0}(x)+q_{1}(x)\,y(x)+q_{2}(x)\,y^{2}(x)}$

ここで、 および です。方程式がベルヌーイ方程式に簡約される場合、方程式が 1 階の線形常微分方程式になります。 ${\displaystyle q_{0}(x)\neq 0}$${\displaystyle q_{2}(x)\neq 0}$${\displaystyle q_{0}(x)=0}$${\displaystyle q_{2}(x)=0}$

この式はヤコポ・リカッチ（1676-1754）にちなんで名付けられました。^[1]

より一般的には、リカッチ方程式という用語は、連続時間と離散時間の線形2次ガウス制御の両方で発生する、類似の2次項を持つ行列方程式を指すために使用されます。これらの定常状態（非動的）バージョンは、代数リカッチ方程式と呼ばれます。

非線形リカッチ方程式は常に2階線形常微分方程式（ ODE ）に変換できる。^[2]

${\displaystyle y'=q_{0}(x)+q_{1}(x)y+q_{2}(x)y^{2}\!}$

が非ゼロかつ微分可能な場合、次の形式のリカッチ方程式を満たす 。${\displaystyle q_{2}}$${\displaystyle v=yq_{2}}$

${\displaystyle v'=v^{2}+R(x)v+S(x),\!}$

ここで、そして、なぜなら ${\displaystyle S=q_{2}q_{0}}$${\displaystyle R=q_{1}+{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}}$

${\displaystyle v'=(yq_{2})'=y'q_{2}+yq_{2}'=(q_{0}+q_{1}y+q_{2}y^{2})q_{2}+v{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}=q_{0}q_{2}+\left(q_{1}+{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}\right)v+v^{2}.\!}$

を代入すると、 2階線形常微分方程式を満たす ことがわかる。${\displaystyle v=-u'/u}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle u''-R(x)u'+S(x)u=0\!}$

以来

${\displaystyle v'=-(u'/u)'=-(u''/u)+(u'/u)^{2}=-(u''/u)+v^{2}\!}$

となることによって

${\displaystyle u''/u=v^{2}-v'=-S-Rv=-S+Ru'/u\!}$

そしてそれゆえ

${\displaystyle u''-Ru'+Su=0.\!}$

次に、この線形2次方程式の2つの解を変換に代入すると、次の式によってリカッチ方程式の一般解の大域的知識が得られる。^[3]${\displaystyle y=-u'/(q_{2}u)=-q_{2}^{-1}(\log(u))'}$

${\displaystyle y=-q_{2}^{-1}(\log(c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}))'.}$

リカッチ方程式の重要な応用は3階シュワルツ微分方程式である。

${\displaystyle S(w):=(w''/w')'-(w''/w')^{2}/2=f}$

これは等角写像と単葉関数の理論で発生します。この場合、常微分方程式は複素領域にあり、微分は複素変数に関して行われます。（シュワルツ微分は 、メビウス変換に対して不変であるという注目すべき特性を持っています。つまり、がゼロでない場合は常に不変です。）関数は リカッチ方程式を満たします 。${\displaystyle S(w)}$${\displaystyle S((aw+b)/(cw+d))=S(w)}$${\displaystyle ad-bc}$${\displaystyle y=w''/w'}$

${\displaystyle y'=y^{2}/2+f.}$

上記により、線形常微分方程式の解 は${\displaystyle y=-2u'/u}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle u''+(1/2)fu=0.}$

なので、積分は 定数 を与えます。一方、線形常微分方程式の他の独立した解は定数非ゼロのロンスキアンを持ち、スケーリング後に とみなすことができます。したがって、 ${\displaystyle w''/w'=-2u'/u}$${\displaystyle w'=C/u^{2}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U'u-Uu'}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle w'=(U'u-Uu')/u^{2}=(U/u)'}$

シュワルツ方程式は解を持つ。${\displaystyle w=U/u.}$

リカッチ方程式と2階線形常微分方程式の対応には、他の意味合いもある。例えば、2階常微分方程式の1つの解が分かっている場合、別の解は求積法、つまり単純な積分によって得られることが分かっている。同じことはリカッチ方程式にも当てはまる。実際、1つの特定の解が見つかれば、一般解は次のように得られる。 ${\displaystyle y_{1}}$

${\displaystyle y=y_{1}+u}$

代用

${\displaystyle y_{1}+u}$

リカッチ方程式では

${\displaystyle y_{1}'+u'=q_{0}+q_{1}\cdot (y_{1}+u)+q_{2}\cdot (y_{1}+u)^{2},}$

そして

${\displaystyle y_{1}'=q_{0}+q_{1}\,y_{1}+q_{2}\,y_{1}^{2},}$

すると

${\displaystyle u'=q_{1}\,u+2\,q_{2}\,y_{1}\,u+q_{2}\,u^{2}}$

または

${\displaystyle u'-(q_{1}+2\,q_{2}\,y_{1})\,u=q_{2}\,u^{2},}$

これはベルヌーイ方程式である。このベルヌーイ方程式を解くために必要な代入は

${\displaystyle z={\frac {1}{u}}}$

代用

${\displaystyle y=y_{1}+{\frac {1}{z}}}$

これをリカッチ方程式に直接代入すると、線形方程式が得られる。

${\displaystyle z'+(q_{1}+2\,q_{2}\,y_{1})\,z=-q_{2}}$

リカッチ方程式の解の集合は次のように与えられる。

${\displaystyle y=y_{1}+{\frac {1}{z}}}$

ここで、z は前述の線形方程式の一般解です。

• 線形二次レギュレータ
• 代数リカッチ方程式
• 線形2次ガウス制御

• ヒル、アイナー（1997）[1976]、複素領域における常微分方程式、ニューヨーク：ドーバー出版、ISBN 0-486-69620-0
• Nehari、Zeev (1975) [1952]、等角図法、ニューヨーク: Dover Publications、ISBN 0-486-61137-X
• ポリアニン、アンドレイ D.; ザイツェフ、ヴァレンティン F. (2003)、常微分方程式の厳密解ハンドブック(第 2 版)、フロリダ州ボカラトン: チャップマン & ホール/CRC、ISBN 1-58488-297-2
• ゼリキン、ミハイル・I.（2000）、変分法における同次空間とリカッチ方程式、ベルリン：シュプリンガー・フェアラーク
• リード、ウィリアム・T.（1972）、リカッチ微分方程式、ロンドン：アカデミック・プレス

• 「リカッチ方程式」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• EqWorld の Riccati 方程式: 数式の世界。
• Mathworldのリカッチ微分方程式
• 連続時間代数リカッチ方程式を解く MATLAB 関数。
• SciPy には、連続代数リカッチ方程式と離散代数リカッチ方程式を解く関数があります。