ホロノミック関数

数学、より具体的には解析学において、ホロノミック関数は、多項式係数を持つ線型同次微分方程式系の解であり、 D-加群理論の観点から適切な次元条件を満たす、複数の変数の滑らかな関数です。より正確には、ホロノミック関数は滑らかな関数のホロノミック加群の要素です。ホロノミック関数は、微分可能有限関数、別名D-有限関数として記述することもできます。変数のべき級数がホロノミック関数のテイラー展開である場合、1つまたは複数のインデックスにおけるその係数のシーケンスもホロノミックと呼ばれます。 ホロノミックシーケンスはP-再帰シーケンスとも呼ばれ、シーケンス全体とその適切な特殊化によって満たされる多変量再帰によって再帰的に定義されます。単変量の場合、状況は単純化されます。多項式係数を持つ線形同次再帰関係、または同等に多項式係数を持つ線形同次差分方程式を満たす任意の単変量シーケンスはホロノミックです。^[1]

を特性0の体とします(たとえば、または)。 ${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }$

関数がD有限（またはホロノミック）と呼ばれるのは、 ${\displaystyle f=f(x)}$${\displaystyle 0\neq a_{r}(x),a_{r-1}(x),\ldots ,a_{0}(x)\in \mathbb {K} [x]}$

${\displaystyle a_{r}(x)f^{(r)}(x)+a_{r-1}(x)f^{(r-1)}(x)+\cdots +a_{1}(x)f'(x)+a_{0}(x)f(x)=0}$

はすべてのxに対して成り立つ。これは次の ようにも書ける。${\displaystyle Af=0}$

${\displaystyle A=\sum _{k=0}^{r}a_{k}D_{x}^{k}}$

は に写像する微分作用素です。はfの消滅作用素と呼ばれます( の消滅作用素は環 のイデアルを形成し、の消滅子と呼ばれます)。 量rは消滅作用素の位数と呼ばれます。 拡張により、ホロノミック関数f は、そのような位数の消滅作用素が存在する場合、位数rであると言われます。 ${\displaystyle D_{x}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f'(x)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {K} [x][D_{x}]}$${\displaystyle f}$

次のような 多項式が存在する場合、その数列はP再帰的（またはホロノミック）と呼ばれる。${\displaystyle c=c_{0},c_{1},\ldots }$${\displaystyle a_{r}(n),a_{r-1}(n),\ldots ,a_{0}(n)\in \mathbb {K} [n]}$

${\displaystyle a_{r}(n)c_{n+r}+a_{r-1}(n)c_{n+r-1}+\cdots +a_{0}(n)c_{n}=0}$

全てのnに対して成り立つ。これは次の ようにも書ける。${\displaystyle Ac=0}$

${\displaystyle A=\sum _{k=0}^{r}a_{k}S_{n}}$

にマッピングされるシフト演算子はcの消滅演算子と呼ばれます( の消滅演算子は、環 のイデアルを形成し、の消滅子と呼ばれます)。量rは消滅演算子の位数と呼ばれます。拡張により、そのような位数の消滅演算子が存在する場合、ホロノミック シーケンスc は位数rであると言われます。 ${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle c_{0},c_{1},\ldots }$${\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots }$${\displaystyle A}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \mathbb {K} [n][S_{n}]}$${\displaystyle c}$

ホロノミック関数はまさにホロノミック列の生成関数である。がホロノミックであれば、冪級数展開の 係数は${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle c_{n}}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}}$

はホロノミック列を形成します。逆に、与えられたホロノミック列 に対して、上記の和によって定義される関数はホロノミックです (これは、和の収束半径がゼロであっても、形式的な冪級数の意味で当てはまります)。 ${\displaystyle c_{n}}$

ホロノミック関数（または列）は、いくつかの閉包特性を満たします。特に、ホロノミック関数（または列）は環を形成します。ただし、ホロノミック関数（または列）は除算に対して閉じていないため、体を形成しません。

およびがホロノミック関数である場合、次の関数もホロノミックです。 ${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}x^{n}}$${\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}x^{n}}$

• ${\displaystyle h(x)=\alpha f(x)+\beta g(x)}$、ここで、およびは定数である。${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$
• ${\displaystyle h(x)=f(x)g(x)}$(数列のコーシー積)
• ${\displaystyle h(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}g_{n}x^{n}}$(数列のアダマール積)
• ${\displaystyle h(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt}$
• ${\displaystyle h(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(\sum _{k=0}^{n}f_{k})x^{n}}$
• ${\displaystyle h(x)=f(a(x))}$、ここで は任意の代数関数です。ただし、は一般にホロノミックではありません。${\displaystyle a(x)}$${\displaystyle a(f(x))}$

ホロノミック関数の重要な特性は、閉包特性が有効であることです。つまり、およびの消滅演算子が与えられれば、上記の演算のいずれかを使用して定義される、の消滅演算子を明示的に計算できます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$

ホロノミック関数の例には次のものがあります。

• 多項式や有理関数を含むすべての代数関数
• 正弦関数と余弦関数（ただし、正接関数、余接関数、割線関数、余割関数は除く）
• 双曲正弦関数と双曲余弦関数（ただし、双曲正接、双曲余弦、双曲正割、双曲余割は除く）
• 指数関数と対数（任意の底）
• 一般化された超幾何関数は 、すべてのパラメータを固定した状態での関数として考えられます。${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p},b_{1},\ldots ,b_{q},x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle b_{i}}$
• 誤差関数 ${\displaystyle \operatorname {erf} (x)}$
• ベッセル関数 、、、​​${\displaystyle J_{n}(x)}$${\displaystyle Y_{n}(x)}$${\displaystyle I_{n}(x)}$${\displaystyle K_{n}(x)}$
• エアリー 関数、${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)}$${\displaystyle \operatorname {Bi} (x)}$

ホロノミック関数のクラスは、超幾何関数のクラスの厳密なスーパーセットです。ホロノミックだが超幾何ではない特殊関数の例には、ホイン関数が含まれます。

ホロノミックシーケンスの例には次のものがあります。

• フィボナッチ 数列、そしてより一般的にはすべての定数再帰列${\displaystyle F_{n}}$
• 階乗の順序 ${\displaystyle n!}$
• 二項係数 の列（ nまたはkの関数として）${\displaystyle {n \choose k}}$
• 調和 数列、より一般的には任意の整数mに対して${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}$${\displaystyle H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{m}}}}$
• カタロニア数字の列
• モツキン数列
• 異常の列挙。

超幾何関数、ベッセル関数、および古典的な直交多項式は、その変数のホロノミック関数であるだけでなく、そのパラメータに関するホロノミック列でもあります。たとえば、ベッセル関数と は、2 次線形回帰 を満たします。 ${\displaystyle J_{n}}$${\displaystyle Y_{n}}$${\displaystyle x(f_{n+1}+f_{n-1})=2nf_{n}}$

非ホロノミック関数の例には以下のものがあります。

• 機能^[2]${\displaystyle {\frac {x}{e^{x}-1}}}$
• 関数tan( x )+sec( x ) ^[3]
• 2 つのホロノミック関数の商は一般にホロノミックではありません。

非ホロノミックシーケンスの例には次のものがあります。

• ベルヌーイ数
• 交互順列の数^[4]
• 整数分割数^[3]
• 数字^[3]${\displaystyle \log(n)}$
• ^[3]の数字${\displaystyle n^{\alpha}}$${\displaystyle \alpha \not \in \mathbb {Z} }$
• 素数^[3 ]
• 既約順列と連結順列の列挙。^[5]

ホロノミック関数は、コンピュータ代数における強力なツールです。ホロノミック関数またはシーケンスは、有限量のデータ、つまり消滅演算子と有限の初期値セットで表すことができ、閉包特性により、等式テスト、合計、積分などの操作をアルゴリズム的に実行できます。近年、これらの技術により、多数の特殊関数と組み合わせの恒等式の自動証明が可能になりました。

さらに、複素平面上の任意の点でホロノミック関数を任意の精度で評価し、ホロノミックシーケンス内の任意のエントリを数値的に計算するための高速アルゴリズムが存在します。

ホロノミック関数を操作するためのソフトウェアには以下が含まれます。

• Christoph Koutschanによって開発されたMathematica用のHolonomicFunctions [1]パッケージは、一変量および多変量ホロノミック関数の閉包性の計算と恒等式の証明をサポートしています。
• Maple用のalgolib [2]ライブラリには以下のパッケージが含まれています。
  • gfun は、Bruno Salvy、Paul Zimmermann、Eithne Murrayによって開発され、一変量閉包特性と証明のために使用されている[3]。
  • mgfunはフレデリック・チザックによって開発され、多変量閉包特性と証明に用いられる[4]
  • numgfun は、数値評価のために Marc Mezzarobba によって開発された。

数学関数の動的辞書 (2010-07-06 にWayback Machineにアーカイブ済み) は、ホロノミック関数に基づいて、多くの古典的および特殊関数 (ある点での評価、テイラー級数とユーザー指定の精度への漸近展開、微分方程式、テイラー級数の係数の再帰、導関数、不定積分、プロットなど) を自動的に学習するオンライン ソフトウェアです。

• フラジョレ、フィリップ; ゲルホールド、ステファン; サルヴィ、ブルーノ (2005)、「対数、累乗、および n 次素数関数の非ホロノミック特性について」、Electronic Journal of Combinatorics、11 (2)、doi : 10.37236/1894、S2CID  184136。
• フラジョレ、フィリップ、セジウィック、ロバート (2009)。解析的組合せ論。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0521898065。
• Kauers, Manuel; Paule, Peter (2011)。『The Concrete Tetrahedron: Symbolic Sums, Recurrence Equations, Generating Functions, Asymptotic Estimates 』。『Text and Monographs in Symbolic Computation 』。Springer。ISBN 978-3-7091-0444-6。
• Klazar, Martin (2003) 「既約順列と連結順列」(PDF)。(ITIシリーズプレプリント)
• Mallinger, Christian (1996). 単変数ホロノミック関数とシーケンスのアルゴリズム操作と変換(PDF) (論文) . 2013 年6 月 4 日閲覧。
• スタンレー、リチャード P. (1999)。列挙的組合せ論。第 2 巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-56069-6。
• Zeilberger, Doron (1990). 「特殊関数の恒等式に対するホロノミックシステムアプローチ」.計算および応用数学ジャーナル. 32 (3): 321–368. doi : 10.1016/0377-0427(90)90042-X . ISSN  0377-0427. MR  1090884.
• カウアーズ、マヌエル（ 2023）。D有限関数。数学におけるアルゴリズムと計算。第30巻。シュプリンガー。doi ： 10.1007 / 978-3-031-34652-1。ISBN 978-3-031-34652-1。