唯一の解決策

常微分方程式の特異解 y s ₍ x )は、特異な解、または初期値問題(一部の著者はコーシー問題とも呼ぶ) が解のある点で一意の解を持たない解である。解が特異となる集合は、1 点ほど小さい場合もあれば、実数直線ほど大きい場合もある。初期値問題が一意の解を持たないという意味で特異である解は、特異関数である必要はない。

場合によっては、特異解という用語は、曲線上のすべての点で初期値問題の一意性が失われる解を意味するために使用されます。 このより強い意味での特異解は、解の族のすべての解に対する接線として与えられることがよくあります。接線とは、 y _cが c によってパラメーター化された解の族の解である場合に、 y s ( x ) = y c ( x ) かつ y' s ( x ) = y' c ( x ) となる点_xが存在することを意味し ます。_これは、特異解が_解の族のエンベロープで_あることを意味します。

通常、微分方程式で特異解が現れる場合は、ゼロになる可能性のある項で割り算を行う必要がある場合です。したがって、微分方程式を解いて割り算を使用する場合は、項がゼロに等しい場合に何が起こるか、そしてそれが特異解につながるかどうかをチェックする必要があります。ピカール・リンデレーフの定理は、唯一の解が存在するための十分な条件を与えており、特異解の存在を否定するために使用できます。ペアノの存在定理などの他の定理は、解が必ずしも一意である必要はなく、特異解の存在を許容するのに十分な条件を与えます。

同次線形常微分方程式を考える

${\displaystyle xy'(x)+2y(x)=0,\,\!}$

ここで、プライムはxに関する微分を表す。この方程式の一般解は

${\displaystyle y(x)=Cx^{-2}.\,\!}$

与えられた に対して、この解はで発散する部分を除いて滑らかです。さらに、与えられた に対して、これは を通過する唯一の解です。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x\not =0}$${\displaystyle (x,y(x))}$

微分方程式を考えてみよう

${\displaystyle y'(x)^{2}=4y(x).\,\!}$

この方程式の1パラメータ解の族は次のように与えられる。

${\displaystyle y_{c}(x)=(xc)^{2}.\,\!}$

別の解決策は、

${\displaystyle y_{s}(x)=0.\,\!}$

検討対象の方程式は 1 次方程式であるため、初期条件はxおよびyの初期値です。上記の 2 つの解の集合を考慮すると、 のときに解が一意にならないことがわかります。( について、平方根の単一の枝が選択されると、ピカール・リンデレーフの定理を使用して一意である局所解が存在することが示されます。)したがって、上記の解はすべて、解が 1 つ以上の点の近傍で一意にならないという意味で、特異解です。(通常、これらの点では「一意性が失われる」と言います。) 最初の解の集合では、1 つの点 で一意性が失われ、2 番目の解では、 のすべての値で一意性が失われます。したがって、 xのすべての値で一意性が失われるというより強い意味で、解は特異解です。ただし、この関数とそのすべての導関数は連続しているため、 特異関数ではありません。${\displaystyle y=0}$${\displaystyle y>0}$${\displaystyle x=c}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y_{s}}$

この例では、解は解の族のエンベロープです。解は点 ですべての曲線に接します。 ${\displaystyle y_{s}(x)=0}$${\displaystyle y_{c}(x)=(xc)^{2}}$${\displaystyle y_{s}}$${\displaystyle y_{c}(x)}$${\displaystyle (c,0)}$

一意性が失われることを利用して、さらに多くの解を構築することができます。これらは、2 つの定数を取り、 のときは を、 のときは を、 のときは をと定義することで見つけることができます。直接計算すると、これはおよびを含むすべての点で微分方程式の解であることが示されます。区間 ではこれらの解は一意性が失われ、および では2 次導関数が存在しないという意味で、解は特異です。 ${\displaystyle c_{1}$${\displaystyle y(x)}$${\displaystyle (x-c_{1})^{2}}$${\displaystyle x<c_{1}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle c_{1}\leq x\leq c_{2}}$${\displaystyle (x-c_{2})^{2}}$${\displaystyle x>c_{2}}$${\displaystyle x=c_{1}}$${\displaystyle x=c_{2}}$${\displaystyle c_{1}\leq x\leq c_{2}}$${\displaystyle x=c_{1}}$${\displaystyle x=c_{2}}$

前の例では、一意性の失敗が に直接関係しているという誤った印象を与えるかもしれません。一意性の失敗は、クレロー方程式の次の例でも確認できます。 ${\displaystyle y(x)=0}$

${\displaystyle y(x)=x\cdot y'+(y')^{2}\,\!}$

y' = pと 書き、

${\displaystyle y(x)=x\cdot p+(p)^{2}.}$

ここで、 xに従って微分をとります。

${\displaystyle p=y'=p+xp'+2pp'}$

これは簡単な代数で表す と

${\displaystyle 0=(2p+x)p'.}$

この条件は、2 p + x =0 またはp ′=0 の場合に解決されます。

p' = 0の場合、y' = p = c = 定数となり、この新しい方程式の一般解は次のようになります。

${\displaystyle y_{c}(x)=c\cdot x+c^{2}}$

ここで、c は初期値によって決まります。

x + 2 p = 0の場合にはp = −½ xとなり、常微分方程式に代入すると次のようになる。

${\displaystyle y_{s}(x)=-{\tfrac {1}{2}}x^{2}+(-{\tfrac {1}{2}}x)^{2}=-{\tfrac {1}{4}}x^{2}.}$

ここで、これらの解が特異解であるかどうかを確認します。 2 つの解が互いに交差する場合、つまり、両方が同じ点 ( x、y ) を通過する場合、1 次常微分方程式の一意性が失われます。 したがって、最初の形式の解が 2 番目の解と交差する場合、一意性が失われます。

交差の条件は、y _s ( x ) = y _c ( x )です。

${\displaystyle c\cdot x+c^{2}=y_{c}(x)=y_{s}(x)=-{\tfrac {1}{4}}x^{2}}$

交点を見つけます。交点は です。 ${\displaystyle (-2c,-c^{2})}$

この点y' _s ( x ) = y' _c ( x )で曲線が接していることを確認できます。導関数を計算します。

${\displaystyle y_{c}'(-2c)=c\,\!}$

${\displaystyle y_{s}'(-2c)=-{\tfrac {1}{2}}x|_{x=-2c}=c.\,\!}$

したがって、

${\displaystyle y_{s}(x)=-{\tfrac {1}{4}}\cdot x^{2}\,\!}$

1パラメータ解族の全ての要素に接する

${\displaystyle y_{c}(x)=c\cdot x+c^{2}\,\!}$

このクレロー方程式の:

${\displaystyle y(x)=x\cdot y'+(y')^{2}.\,\!}$

• チャンドラセカール方程式
• クリスタル方程式
• コースティック（数学）
• 封筒（数学）
• 初期値問題
• ピカール・リンデレーフの定理

• Rozov, N.Kh. (2001) [1994]、「特異解」、数学百科事典、EMS Press