論理主義

数学の哲学において、論理主義とは、数学は論理の延長である、数学の一部または全部は論理に還元できる、数学の一部または全部は論理でモデル化できる、という1つ以上の命題からなるプログラムです。^[1]バートランド・ラッセルとアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドは、ゴットロープ・フレーゲによって始められ、その後リチャード・デデキントとジュゼッペ・ペアノによって発展させられたこのプログラムを支持しました。

デデキントの論理主義への道は、彼が特定の有理数集合を使用して実数を特徴付ける公理を満たすモデルを構築できたときに転機を迎えました。これと関連するアイデアにより、彼は算術、代数、解析は自然数とクラスの「論理」に還元できると確信しました。さらに、1872年までに彼は自然数自体が集合と写像に還元できると結論付けました。他の論理学者、特にフレーゲも、1872年に発表された実数の新しい理論に導かれた可能性があります。

『算術基礎』以降のフレーゲの論理主義プログラムの背後にある哲学的推進力は、部分的には、当時の自然数の説明の認識論的および存在論的コミットメントに対する不満と、カントが自然数に関する真理を総合的な先験的真理の例として使用したことは誤りであるという確信であった。

これにより、デデキントとフレーゲを主唱者として、論理主義の拡大期が始まりました。しかし、論理主義プログラムのこの初期段階は、集合論の古典的なパラドックスの発見によって危機に陥りました(カントールの1896 年、ツェルメロとラッセルの1900 ～ 1901 年)。ラッセルが、フレーゲの算術基本法で示された体系に矛盾があるというパラドックスを認識して伝えた後、フレーゲはこのプロジェクトを断念しました。素朴な集合論もこの困難を抱えていること に留意してください。

一方、ラッセルは1903年にジュゼッペ・ペアノの幾何学学派のパラドックスと発展を用いて『数学原理』を著した。幾何学と集合論における原始的概念や関係式の計算を扱ったため、この著書は論理主義の発展における分水嶺となった。論理主義の主張の証拠はラッセルとホワイトヘッドの『プリンキピア・マテマティカ』に集められた。^[2]

今日、現存する数学の大部分は、ツェルメロ-フランケル集合論（またはその拡張ZFC ）の公理など、矛盾がまだ導出されていない少数の論理外公理から論理的に導出できると信じられています。したがって、論理主義プログラムの要素は実行可能であることが証明されましたが、その過程で、クラス、集合、マッピング、およびヘンキン意味論以外の高階論理の理論は、部分的にクワインの後の思想 の影響を受けて、本質的に論理外であると見なされるようになりました。

クルト・ゲーデルの不完全性定理は、自然数に対するペアノの公理を導出できる形式体系（ラッセルのPMにおける体系など）は、その体系のすべての整形式の文を決定できないことを示している。^[3] この結果は、デイヴィッド・ヒルベルトの数学基礎論プログラムに損害を与えた。このプログラムでは、PMのような「無限」理論が有限理論と矛盾しないことが証明され、「無限方法」に不安を抱く人々が、その使用によって矛盾が導出されないことが証明できることが目的であった。ゲーデルの結果は、古典数学を可能な限り保持しながらも論理主義の立場を維持するためには、何らかの無限公理を論理の一部として受け入れなければならないことを示唆している。一見すると、これは論理主義プログラムにも損害を与えるが、それは「無限方法」についてすでに疑念を抱いている人々にとってのみである。それにもかかわらず、ゲーデルの結果の発表以来、論理主義とヒルベルト有限主義の両方から派生した立場が提唱され続けています。

論理主義から派生したプログラムが依然として有効であるという議論の 1 つは、不完全性定理は「他の定理と同様に論理で証明される」ということである。しかし、この議論は、一階論理の定理と高階論理の定理の区別を認めていないように思われる。前者は有限的方法を使用して証明できるが、後者は一般には証明できない。 タルスキの定義不可能性定理は、ゲーデル数付けが構文構造の証明には使用できるが、意味的主張の証明には使用できないことを示している。したがって、論理主義が依然として有効なプログラムであるという主張は、自然数の存在と特性に基づく証明システムは、特定の形式システムに基づく証明システムよりも説得力に欠けると主張することを強いる可能性がある。^[4]

論理主義は、特にフレーゲがラッセルやウィトゲンシュタイン^[5] 、そして後にダメットに与えた影響を通じて、 20世紀の 分析哲学の発展に大きく貢献した。

アイヴァー・グラッタン・ギネスは、フランス語の「ロジスティク」という単語は「 1904年の国際哲学会議でクチュラらによって導入され、その後ラッセルらによってさまざまな言語に適したバージョンで使用された」と述べています（GG 2000：501）。

どうやらラッセルによる最初の（そして唯一の）使用は、1919年の論文で現れたようだ。「ラッセルはフレーゲに何度か言及し、彼を『数学を論理化することに初めて成功した人物』として紹介している（7ページ）。誤解（ラッセルは数学における算術の役割についての自身の見解を説明することで、この誤解を部分的に修正した）は別として、この文章は引用符で囲んだ単語で注目に値するが、引用符の存在は神経質さを示唆しており、彼はこの単語を二度と使わなかったため、「論理主義」は1920年代後半まで登場しなかった」（GG 2002：434）。^[6]

ルドルフ・カルナップ(1929)とほぼ同時期に、しかし明らかに独立して、フランケル(1928) がこの語を使用していました。「彼はホワイトヘッド/ラッセルの立場を特徴付けるために、コメントなしで「論理主義」という名前を使用しました (244 ページのセクションのタイトル、263 ページの説明)」(GG 2002:269)。カルナップはわずかに異なる「ロジスティク」という語を使用しました。ベーマンがカルナップの原稿での使用に不満を述べたため、カルナップは「ロジスティク」という語を提案しましたが、最終的には「ロジスティク」という語の選択に固執しました (GG 2002:501)。最終的に、「1930 年以降、この語が広まったのは主にカルナップによるものでした。」(GG 2000:502)。

論理主義の明白な意図は、数学のすべてを記号論理から導き出すことである（フレーゲ、デデキント、ペアノ、ラッセル）。算術概念を採用する代数論理（ブール論理）とは対照的に、記号論理は、非常に削減された一連の記号（非算術記号）、「思考の法則」を具体化するいくつかの「論理的」公理、および記号をどのように組み立てて操作するかを指示する推論規則（たとえば、置換と可能性（つまり、[1] A はB を実質的に含意し、[2] AからB を導き出すことができる））から始まる。論理主義はまた、フレーゲの基礎から、自然言語のステートメントを「主語|述語」から命題「アトム」または「一般化」の「引数|関数」のいずれかに削減するという方法を採用している。つまり、「すべて」、「いくつか」、「クラス」（コレクション、集合体）、「関係」という概念である。

自然数とその特性の論理的導出において、数の「直観」は、公理として、あるいは偶然に「忍び込む」べきではない。目標は、数え上げ数から始めて実数まで、選択された「思考の法則」のみから、すべての数学を導き出すことであり、暗黙の「前」と「後」、あるいは「少ない」と「多い」、あるいは要は「後継」と「先駆」といった仮定は一切ない。ゲーデル 1944 は、直観主義と形式主義(「ヒルベルト学派」) の基礎体系における「構築」と比較したラッセルの論理的「構築」を次のように要約している。「これらの学派はどちらも、数学的直観に基づいて構築を行っており、その回避はまさにラッセルの構成主義の主要な目的の 1 つである」(ゲーデル 1944、Collected Works 1990:119)。

ゲーデル 1944 は、ライプニッツの『普遍性』からフレーゲ、ペアノを経てラッセルに至る歴史的背景を次のように要約している。「フレーゲは主に思考の分析に興味があり、まず純粋論理から算術を導き出すために微積分学を使用した」のに対し、ペアノは「数学への応用にもっと興味があった」。しかし、「ごく少数の論理的概念と公理から数学の大部分を実際に導き出すという新しい手法が十分に活用されたのは、ラッセルの『プリンキピア・マテマティカ』だけだった。さらに、この若い科学は、抽象的関係理論という新しい手段によって豊かになった」(p. 120-121)。

クリーネ1952 は次のように述べている。「ライプニッツ (1666) は、論理を他のすべての科学の根底にある考えや原理を含む科学として初めて考えました。デデキント (1888) とフレーゲ (1884、1893、1903) は数学的概念を論理的概念で定義することに取り組み、ペアノ (1889、1894–1908) は数学的定理を論理的記号で表現することに取り組みました」(p. 43)。前の段落で、彼はラッセルとホワイトヘッドを「論理学派」の代表として挙げており、他の 2 つの「基礎」学派は直観主義と「形式主義または公理学派」である (p. 43)。

フレーゲ 1879 は、1879 年のBegriffsschriftの序文で、自身の意図を次のように説明しています。「彼は算術の考察から始めました。算術は「論理」から派生したものか、それとも「経験の事実」から派生したものか?」

「私はまず、推論のみによって、すべての個別性を超越する思考の法則だけを頼りに、算術をどこまで進めることができるか確かめなければならなかった。私の最初のステップは、順序の概念を論理的帰結の概念にまで縮小し、そこから数の概念へと進むことだった。直観的なものが気づかれずにここに入り込むのを防ぐために、推論の連鎖に隙間がないようにあらゆる努力をしなければならなかった。…言語の不十分さが障害であることがわかった。どんなに扱いにくい表現を受け入れても、関係が複雑になるにつれて、目的に必要な精度を達成することがますます困難になっていった。この欠陥が、現在の表意文字というアイデアにつながった。したがって、その第一の目的は、推論の連鎖の妥当性に関する最も信頼できるテストを提供し、気づかれずに忍び込もうとするすべての前提を指摘することである」（フレーゲ 1879 年、1933 年） van Heijenoort 1967:5）。

デデキントは 1887 年に、著書『数の性質と意味』の初版に対する序文で、その意図を述べている。彼は、「最も単純な科学の基礎、つまり数論を扱う論理学の部分」が適切に論じられていないと考えていた。つまり、「証明できるものは、証明なしに受け入れるべきではない」のである。

算術（代数、解析）を論理の一部として語るということは、数の概念は空間と時間の直観の概念から完全に独立していると考え、思考の法則から直接生じる結果であると考えていることを意味します。数は人間の心の自由な創造物です。数の科学を構築するという純粋に論理的なプロセスを通じてのみ、私たちは空間と時間の概念を、私たちの心の中に作られたこの数の領域と関連づけて正確に調査する準備が整います」（Dedekind 1887 Dover republication 1963 :31）。

ペアノは1889年に出版した『算術原理』の序文で、その意図を次のように述べている。

数学の基礎に関する問題は、最近多くの人が取り上げているものの、まだ満足のいく解決法がありません。その難しさの主な原因は、言語の曖昧さにあります。 ¶ そのため、私たちが使用する言葉そのものを注意深く調べることが非常に重要です。私の目標は、この調査を行うことです。" (Peano 1889 in van Heijenoort 1967:85)

ラッセルは1903年に『数学原理』の序文でその意図を次のように述べている。

「本研究には 2 つの主な目的がある。その 1 つは、すべての純粋数学は、ごく少数の基本的な論理概念によって定義できる概念のみを扱っており、そのすべての命題はごく少数の基本的な論理原理から演繹できるということを証明することである」(序文 1903:vi)。

「本研究の起源について少し述べると、ここで議論されている問題の重要性がわかるでしょう。約 6 年前、私は力学の哲学の研究を始めました。[「空間の関係理論」における加速と絶対運動という 2 つの問題から] 幾何学の原理の再検討に至り、そこから連続性と無限性の哲学に至り、さらに「any」という単語の意味を発見する目的で記号論理学に至りました」(序文 1903:vi-vii)。

デデキントとフレーゲの認識論はラッセルの認識論ほど明確に定義されていないように思われるが、どちらも単純な命題文（通常は信念）に関する慣習的な「思考の法則」を先験的に受け入れているように思われる。これらの法則は、一般化 R によって結び付けられた 個体xとy間のクラスと関係（例x R y）の理論で補強されれば、それ自体で十分であろう。

デデキントの議論は「1. 以下では、私は思考のあらゆる対象を物と理解する」で始まる。人間は、心のこれらの「物」について議論するために記号を使用する。「物は、それに関して断言または考えられるすべてのものによって完全に決定される」（p. 44）。続く段落で、デデキントは「システムSとは何か。それは集合体であり、多様体であり、関連する要素（物）a、b、cの総体である」と論じ、「思考の対象としてのそのようなシステムSも同様に物である（1） 。あらゆる物に関して、それがSの要素であるかどうかが決定されるとき、それは完全に決定される」と断言する（p. 45、強調追加）。* は、彼が次のように述べている脚注を示す。

「クロネッカーは最近（クレレのジャーナル、第99巻、334-336ページ）、数学における概念の自由な形成に一定の制限を課そうとしたが、私はそれが正当であるとは思わない」（45ページ）。

実際、彼はクロネッカーが「これらの制限の必要性、あるいは単に便宜性についての理由を発表する」のを待っている（45 ページ）。

「神は整数を作った。それ以外はすべて人間の仕事だ」^[7]という主張で有名なクロネッカーには、ヒルベルトを含む敵がいた。ヒルベルトはクロネッカーを「整数をその本質的な性質とともに教義として受け入れ、振り返らない点で教条主義者」 ^[8]と呼び、彼の極端な構成主義的立場をブラウワーの直観主義と同一視し、両者を「主観主義」と非難した。「恣意性、感情、習慣から私たちを解放し、クロネッカーの見解にすでに現れ、直観主義で頂点に達したように私には思える主観主義から私たちを守ることは、科学の課題の一部である」[ ^9] 。ヒルベルトは次に「数学は前提のない科学である。数学を創始するのに、クロネッカーのように神を必要としない…」と述べている（479ページ）。

ラッセルのリアリズムは、ヨーロッパの合理主義とイギリスの経験主義から一部を借用しながら、イギリス観念論に対する解毒剤として機能した。^[10]まず第一に、「ラッセルは、普遍性と物質的対象という2つの重要な問題についてリアリストであった」（ラッセル1912：xi）。ラッセルにとって、テーブルは観察者であるラッセルとは独立して存在する現実のものである。合理主義は先験的知識の概念に貢献し、^[12]経験主義は経験的知識（経験からの帰納）の役割に貢献する。^[13]ラッセルは「先験的」知識というアイデアをカントに帰したが、カントに対して「致命的」と見なす反論を行っている。「[世界の]事実は常に論理と算術に従わなければならない。論理と算術が我々によって貢献されたと言うことは、このことを説明するものではない」（1912：87）。ラッセルは、我々が持つ先験的知識は「物事に関するものであり、単に思考に関するものではない」と結論づけている（1912:89）。そしてこの点で、ラッセルの認識論は、デデキントの「数は人間の心の自由な創造物である」という信念とは異なるように思われる（デデキント 1887:31）^[14]

しかし、生得的なものについての彼の認識論（彼は論理的原理に適用されるときは先験的という言葉を好む、1912:74 参照）は複雑である。彼はプラトンの「普遍性」を強く、明確に支持し（1912:91-118 参照）、真実と虚偽は「外にある」と結論付け、心が信念を創り出し、信念を真実にするものは事実であり、「この事実は（例外的な場合を除いて）信念を持つ人の心とは関係ない」と結論付けた（1912:130）。

ラッセルはこれらの認識論的概念をどこから得たのでしょうか? 彼は 1903 年の著書『数学原理』の序文でそのことを語っています。彼は、「エミリーはウサギである」という信念は存在しないが、この存在しない命題の真実性はいかなる知性にも依存しないと主張していることに注目してください。エミリーが本当にウサギであるなら、この真実の事実はラッセルや他の知性が生きているか死んでいるかに関係なく存在し、エミリーとウサギの関係は「究極的」です。

「哲学の根本的な問題に関して、私の立場は、そのすべての主要な特徴において、GE ムーア氏から引き継がれています。私は、命題の非存在性 (存在を主張するものを除く) と、それらがいかなる知性からも独立していることを、彼から受け入れました。また、世界 (存在するものの世界と実体の世界の両方) は、相互に独立した無数の実体で構成され、それらの関係は究極的であり、それらの用語またはそれらが構成する全体の形容詞に還元できないとみなす多元主義も受け入れました。... . . . 先ほど述べた教義は、私の意見では、どんなに満足できる数学の哲学にも不可欠であり、次のページがそれを示すことを願っています。... . . . 形式的には、私の前提は単に想定されていますが、現在のほとんどの哲学がそうではない数学が真実であると認めているという事実は、確かにそれらを支持する強力な議論です。」(序文 1903:viii)

1902 年、ラッセルはフレーゲの『算術基礎』にフレーゲの基本法則 V から派生した「悪循環」（ラッセルのパラドックス）を発見し、1903 年の『数学原理』ではそれを繰り返さないことを決意しました。土壇場で追加された 2 つの付録では、フレーゲの理論と自身の理論の詳細な分析とパラドックスの解決に 28 ページを費やしました。しかし、彼は結果について楽観的ではありませんでした。

「階級に関しては、私は階級の概念に必要な条件を満たす概念をまったく認識できなかったと告白しなければならない。そして第 10 章で議論された矛盾は何かが間違っていることを証明しているが、それが何であるかはこれまで私は発見できなかった。（ラッセル 1903:vi への序文）」

1944 年のゲーデルは、1903 年の若きラッセル (「[私の前提] は数学が真実であることを許す」) には同意しなかったが、上で引用したラッセルの発言 (「何かがおかしい」) にはおそらく同意しただろう。ラッセルの理論は数学の満足のいく基礎に到達できなかった。その結果は「本質的に否定的である。つまり、このようにして導入されたクラスと概念は、数学の使用に必要なすべての特性を備えていない」 (ゲーデル 1944:132)。

ラッセルはどのようにしてこのような状況に至ったのでしょうか。ゲーデルは、ラッセルが意外な「現実主義者」であり、ひねりを効かせていると述べています。彼はラッセル 1919:169 の「論理学は、動物学と同じくらい真実に現実世界に関係している」(ゲーデル 1944:120) を引用しています。しかし、彼は「具体的な問題に取り組み始めると、分析対象 (たとえば、クラスや命題) の大部分がすぐに「論理的虚構」に変わり、つまり、直接認識できないだけである」と述べています (ゲーデル 1944:120)。

ラッセルの論理主義に関する観察で、ペリーはラッセルがリアリズムの 3 つの段階、すなわち極端、中庸、建設的段階を経たと述べています (ペリー 1997:xxv)。1903 年は極端段階にあり、1905 年までには中庸段階にありました。数年後、彼は次の著書『外界に関するわれわれの知識』 [1914] で「世界の基本的な構成要素としての物理的または物質的な対象を廃止し、感覚データからそれらを構築しようと試みました」 (ペリー 1997:xxvi)。

ゲーデル 1944 が「名目主義的構成主義... むしろ虚構主義と呼ぶべき」と呼んだこれらの構成は、ラッセルの「より急進的な考え、無階級理論」から派生したものである (p. 125):

「それによれば、クラスや概念は実際のオブジェクトとして存在することはなく、これらの用語を含む文は、他の事柄について話す方法として解釈できる場合にのみ意味を持ちます」（p. 125）。

詳細は、以下の批評セクションをご覧ください。

フレーゲとデデキントの論理主義はラッセルの論理主義と似ていますが、細部が異なります (以下の「批判」を参照)。全体的に、論理主義者による自然数の導出は、たとえば集合論のツェルメロの公理 (「Z」) からの導出とは異なります。Z からの導出では、「数」の定義の 1 つに、そのシステムの公理 (ペアリングの公理) が使用され、「順序付きペア」の定義につながりますが、自然数の導出を可能にするさまざまな論理主義者の公理体系には、明白な数公理は存在しません。いずれにしても、集合論の公理体系間で数の定義を導出するために必要な公理が異なる場合があることに注意してください。たとえば、ZF と ZFC では、ペアリングの公理、したがって最終的には順序付きペアの概念は、無限公理と置換公理から導出可能であり、フォン ノイマン数の定義で必要になります(ツェルメロ数の定義では不要)。一方、NFUでは、フレーゲ数は、Grundgesetze での導出と同様の方法で導出できます。

『プリンキピア』は、その前身である『数学基礎論』と同様に、数の構成を「類」、「命題関数」、特に「相似性」（「等数性」：集合の要素を一対一に対応させる）と「順序付け」（「の次の」関係を使用して等数の類の集合を順序付ける）などの基本命題から始める。^[15]論理的導出では、このようにして構築された基数は 自然数と同等とされ、これらの数はすべて同じ「型」、つまり類の類になるが、一部の集合論的構成では、たとえばフォン・ノイマン数やツェルメロ数では、各数はサブセットとしてその前身を持つ。クリーネは次のように述べている。（クリーネの仮定（1）と（2）は、nが特性P を持つときは常に0 が特性 P を持ち、n +1 が特性Pを持つと述べている。）

「ここでの観点は、[クロネッカー]の『神は整数を作った』という格言とペアノの数と数学的帰納法の公理の観点とは非常に異なっている。[クロネッカー]の格言では、自然数列の直観的な概念を前提とし、そこから、自然数の特定の特性Pが (1) かつ (2) となるように与えられるときはいつでも、与えられた自然数は必ず特性Pを持つという原理を導き出した。」(Kleene 1952:44)。

論理主義のプログラムにとって自然数の構成が重要である理由は、ラッセルの「伝統的な純粋数学のすべてが自然数から導出できるということは、かなり最近の発見であるが、長い間疑われていた」(1919:4) という主張に由来する。実数の導出の 1 つは、有理数に対するデデキントのカット理論から導出され、有理数は自然数から導出される。これがどのように行われるかの例は有用であるが、それはまず自然数の導出に依存している。したがって、論理主義による自然数の導出に哲学的な困難が生じた場合には、これらの問題が解決されるまでプログラムを停止するのに十分なはずである (以下の批判を参照)。

自然数を構築する試みの一つは、Bernays 1930-1931に要約されている。^[16] しかし、詳細が不完全なBernaysの要約を使用するのではなく、いくつかの限定された例を組み込んだラッセルの構築の言い換えの試みを以下に示す。

ラッセルにとって、コレクション (クラス) は、命題 (1 つまたは複数のものについての事実の主張) の結果として生じる、固有名で指定される「もの」の集合体です。ラッセルはこの一般的な概念を分析しました。彼は文中の「用語」から始め、次のように分析しました。

ラッセルにとって、「用語」は「物」または「概念」のいずれかです。「思考の対象になるもの、または真または偽の命題に現れるもの、または 1 つとして数えられるものはすべて、用語と呼びます。したがって、これは哲学用語の中で最も広い言葉です。これと同義語として、単位、個体、実体という言葉を使用します。最初の 2 つは、すべての用語が 1 つであるという事実を強調し、3 つ目は、すべての用語が存在、つまり何らかの意味で存在するという事実から派生しています。人、瞬間、数、クラス、関係、キメラ、または言及できるその他のものは、必ず用語です。そして、これこれのものが用語であることを否定することは常に誤りです」(ラッセル 1903:43)

「用語の中には、それぞれ物と概念と呼ぶ 2 つの種類を区別することができます。前者は固有名詞によって示される用語であり、後者は他のすべての単語によって示される用語です。概念の中でも、少なくとも 2 つの種類、つまり形容詞によって示されるものと動詞によって示されるものを区別する必要があります」(1903:44)。

「前者のものは述語またはクラス概念と呼ばれることが多く、後者は常に、またはほとんどの場合、関係です。」（1903：44）

「命題の用語とは、たとえ数が多くても、命題に現れ、命題の主題とみなせる用語のことである。命題の用語の特徴は、命題がなくなることなく、それらの用語のいずれかを他の実体に置き換えることができることである。したがって、「ソクラテスは人間である」は、1 つの用語のみを持つ命題であると言える。命題の残りの構成要素のうち、1 つは動詞であり、もう 1 つは述語である。. . . 述語は、動詞以外の概念であり、1 つの用語または主題のみを持つ命題に現れる。」(1903:45)

ある物体を指して、「私の目の前にある『エミリー』という物体は女性です」と言うとします。これは命題であり、話し手の信念の主張であり、外界の「事実」に照らして検証されるものです。「心は真実や虚偽を創造するのではありません。信念を創造するのです。信念を真実にするのは事実であり、この事実は（例外的な場合を除いて）信念を持つ人の心にはまったく関係しません」（1912：130）。発話と「事実」との対応を調査した結果、ラッセルがエミリーがウサギであることを発見した場合、彼の発話は「偽」とみなされます。エミリーが女性（ラッセルはディオゲネス・ラエルティオスのプラトンに関する逸話に従って、人間を「羽のない二足動物」の女性と呼ぶのが好きです）である場合、彼の発話は「真」とみなされます。

「クラスは、クラス概念とは対照的に、与えられた述語を持つすべての項の合計または結合である」（1903 年、55 ページ）。クラスは、外延（メンバーをリストする）または内包、つまり「x はuである」または「x はvである」などの「命題関数」によって指定できます。しかし、「外延を純粋とすると、クラスはその項の列挙によって定義され、この方法では、記号論理のように無限のクラスを扱うことはできません。したがって、クラスは一般に概念によって示されるオブジェクトと見なされる必要があり、この限りで、内包の観点は不可欠です。」（1909 年、66 ページ）

「クラス概念の特徴は、一般の用語とは異なり、uがクラス概念である 場合にのみ、 「 xはuである」が命題関数となることである。」(1903:56)

「71. クラスは、外延的にも内包的にも定義できる。つまり、クラスであるオブジェクトの種類、またはクラスを表す概念の種類を定義できる。これが、この関係における外延と内包の対立の正確な意味である。しかし、一般的な概念はこのように二重の方法で定義できるが、特定のクラスは、たまたま有限である場合を除いて、内包的に、つまり、これこれの概念によって表されるオブジェクトとしてのみ定義できる。論理的には、外延的定義は無限のクラスにも同様に当てはまるように見えるが、実際には、それを試みると、死は目標を達成する前に、私たちの賞賛に値する努力を中断するだろう。」（1903:69）

『プリンキピア』では、自然数は、実体の集合について主張できるすべての命題から派生します。ラッセルは、以下の 2 番目の (イタリック体の) 文でこれを明確にしています。

「第一に、数自体は無限の集合を形成し、したがって数え上げによって定義することはできません。第二に、与えられた数の項を持つ集合自体が、おそらく無限の集合を形成します。たとえば、世界には 3 つの項の無限の集合があると仮定します。そうでない場合、世界の物の総数は有限になりますが、これは可能ではありますが、ありそうにありません。第三に、私たちは「数」を無限の数が可能になるように定義したいと考えています。したがって、無限の集合内の項の数について話すことができなければならず、そのような集合は内包によって、つまり、そのすべてのメンバーに共通でメンバーに固有の特性によって定義されなければなりません。」(1919:13)

例として、次の有限の例を考えてみましょう。ある通りに12の家族があるとします。子供がいる家族もあれば、いない家族もあります。これらの家庭の子供の名前について議論するには、「childnameは家族 F nの子供の名前である」という12の命題を、F1、F2、… F12という名前の家族がいる特定の通りのこの集合に適用する必要があります。12の命題のそれぞれは、「引数」childname が特定の家庭の子供に当てはまるかどうかに関するものです。子供の名前 ( childname ) は、命題関数f ( x ) のxと考えることができます。ここで関数は「名前が F nである家族の子供の名前」です。^{[17] [オリジナル研究? ]}

前述の例は、有限個の家族の有限通り上の有限命題関数「家族 F n'の子供たちの子供の名前」上で有限であるのに対し、ラッセルは明らかに、次の例を無限領域に広がるすべての命題関数に拡張して、すべての数を作成できるようにすることを意図していた。

クリーネは、ラッセルが非予測的定義を提示しており、それを解決しなければラッセルのパラドックスのようなものを導き出す危険があると考えている。「ここでは、自然数列の定義に先立って、論理に存在する基数のすべての特性の全体を前提としている」（クリーネ 1952:44）。ここで提示した有限の例でも、ラッセルが単位クラスを扱うときにこの問題が現れる（ラッセル 1903:517 を参照）。

ここで、「クラス」とは正確には何なのか、あるいは何であるべきかという疑問が生じる。デデキントとフレーゲにとって、クラスとはそれ自体が独立した実体であり、命題関数F を満たすすべての実体xと同一視できる「統一体」である。(この象徴はラッセルに登場し、フレーゲに帰せられる。「関数の本質はxを取り除いたときに残るものである。つまり、上記の例では 2( ) ³ + ( ) である。引数x は関数に属していないが、2 つを合わせると全体が構成される (同書 p. 6 [つまり、フレーゲの 1891 年のFunction und Begriff ]」(ラッセル 1903:505)。) たとえば、特定の「統一体」に名前を付けることができる。家族 Fα に、アニー、バービー、チャールズという名前の子供がいるとしよう。

{ a, b, c } _Fα

コレクションまたはクラスをオブジェクトとして扱うというこの概念は、制限なく使用されると、ラッセルのパラドックスにつながります。非述語的定義については、以下を参照してください。ラッセルの解決策は、クラスの概念を、命題を満たす要素のみと定義することでした。彼の主張は、引数x は、関数によって作成された命題関数、つまり「クラス」には属さないというものでした。クラス自体は、それ自体が単一のオブジェクトとは見なされず、一種の有用なフィクションとしてのみ存在します。「我々は、事物のクラスが、何らかの意味で 1 つのオブジェクトとして存在するかどうかの判断を避けてきました。この問題の判断は、どちらにしても、我々の論理とは無関係です」(プリンキピア・マテマティカ初版1927:24)。

ラッセルは 1919 年の著書でもこの意見を主張し続けています。「象徴的フィクション」という言葉に注目してください。^{[独自の研究ですか? ]}

「クラスは、そのメンバーと同じ種類のものではあり得ず、単なる積み重ねや集合体でもなく、命題関数と同一視することもできないと決定した場合、それらが記号的虚構以上のものであるとすれば、それが何であるかを見ることは非常に困難になります。そして、それらを記号的虚構として扱う方法を見つけることができれば、クラスが存在しないという反対の仮定を強いられることなく、クラスが存在すると仮定する必要がなくなるため、私たちの立場の論理的安全性が高まります。私たちは、両方の仮定を控えるだけです。...しかし、クラスが存在すると主張することを拒否するとき、クラスが存在しないと独断的に主張していると思われてはいけません。私たちは、クラスに関して単に不可知論者です...」（1919：184）

そして、 PMの第 2 版(1927) で、ラッセルは「関数はその値を通じてのみ発生する。関数のすべての機能は外延的である。したがって、関数とクラスを区別する理由はない。したがって、関数とは異なるクラスは、*20 で保持しているその影のような存在さえも失う」と主張している (p. xxxix)。言い換えれば、独立した概念としてのクラスは完全に消滅した。

ステップ 2: 「類似」クラスを「バンドル」に収集する: 上記のコレクションは、「等数性」による「2 項関係」(比較) にまとめることができ、ここでは≈で表されます。つまり、要素の 1 対 1 の対応です。^[18]これにより、ラッセルのクラスのクラス、つまりラッセルが「バンドル」と呼んだものが作成されます。「すべてのカップルを 1 つのバンドルに、すべてのトリオを別のバンドルに、などと想定できます。このようにして、さまざまなコレクションのバンドルが得られ、各バンドルは、一定数の項を持つすべてのコレクションで構成されます。各バンドルは、メンバーがコレクション、つまりクラスであるクラスです。したがって、それぞれがクラスのクラスです」(Russell 1919:14)。

ステップ 3: null クラスを定義する: 特定のクラスのクラスは、そのクラスに要素が含まれていないため、つまり、この特定のクラス/コレクションを定義したアサーションの述語を満たす要素がないため、特別であることに注意してください。

結果として得られる実体は、「ヌル クラス」または「空クラス」と呼ばれることがあります。ラッセルはヌル/空クラスを Λ で表しました。では、ラッセルのヌル クラスとは正確には何でしょうか。PMでラッセルは「クラスは少なくとも 1 つのメンバーを持つときに存在すると言われる...メンバーを持たないクラスは「ヌルクラス」と呼ばれる...「α はヌルクラスである」は「α は存在しない」と同義である」と述べている。ヌルクラス自体は「存在する」のかどうかという疑問が自然に生じる。この問題に関連する困難は、ラッセルの 1903 年の著作で発生する。^{[19]フレーゲの}『基本法則』でパラドックスを発見した後、彼は 1903 年の著作に付録 A を追加し、ヌルクラスと単位クラスの本質の分析を通じて「型の教義」の必要性を発見した。単位クラス、非述語的定義の問題、ラッセルの「悪循環原理」の詳細については、以下を参照。^[19]

ステップ 4: 各バンドルに「数字」を割り当てます。略語と識別のために、各バンドルに一意のシンボル (別名「数字」) を割り当てます。これらのシンボルは任意です。

ステップ 5: 「0」を定義するフレーゲに従って、ラッセルは、この役割を果たすのに適切なクラスとして、メンバーを持たないクラスの空またはヌルクラスを選択しました。このヌルクラスは、「0」というラベルが付けられます。

ステップ 6: 「後継者」の概念を定義する: ラッセルは、新しい特性「遺伝的」(フレーゲの「先祖」を参照) を定義しました。これは、別のクラス (クラスのクラスである場合もあります) から特性を「継承」する能力を持つ特定のクラスの特性です。つまり、「ある特性が自然数系列で「遺伝的」であるとは、それが数nに属するときは常に、 nの後継であるn +1にも属する場合です」(1903:21)。彼は、「自然数は、 0 の「後継者」の子孫、つまり「子供」であり、「後継者」の継承者であり、「後継者」の直前の先行者 (「後継者」の逆) という関係にある」(1919:23) と主張しています。

ここでラッセルは、特に「数列」、「数n」、「後継者」など、定義のない単語をいくつか使用していることに注意してください。これらは、いずれ定義する予定です。特に、ラッセルは、後継者を構成するために、クラスの単位クラス「1」を使用していないことに注意してください。その理由は、ラッセルの詳細な分析では、^[20]単位クラスがそれ自体で実体になると、それ自体の命題の要素にもなり得るためです。これにより、命題は「非述語的」になり、「悪循環」が発生します。むしろ、彼は次のように述べています。「第 2 章では、基数はクラスのクラスとして定義され、第 3 章では、数 1 はすべての単位クラスのクラス、つまり、悪循環がなければ 1 つのメンバーだけを持つすべてのクラスのクラスとして定義されることがわかりました。もちろん、数 1 がすべての単位クラスのクラスとして定義される場合、単位クラスは、1が何を意味するかを知っていると想定しないように定義する必要があります(1919:181)。 」

ラッセルは後継者を定義するために、「単位」として次のような単一の実体または「用語」を使用します。

「後継者」を定義することが残っています。任意の数nが与えられ、 αをn 個のメンバーを持つクラスとし、x を α のメンバーではない項とします。すると、xが追加されたαで構成されるクラスには+1個のメンバーが含まれます。したがって、次の定義が得られます。

クラスαの項の数の次の数は、αとx（xはクラスに属する項ではない）からなるクラスの項の数である。」（1919：23）

ラッセルの定義では、バンドル内のコレクションに「追加される」新しい「用語」が必要です。

ステップ 7: null クラスの後継を構築します。

ステップ 8: 等数クラスのすべてのクラスに対して、その後継クラスを作成します。

ステップ 9: 数字を順序付ける: 後続数を作成するプロセスでは、さまざまな「数字」の間に「... は... の後続数である」という関係 (「 S 」で表すことができる) が必要です。「ここで、0、1、2、3、... の順序で自然数が連続する性質について検討する必要があります。通常、数字はこの順序で考えます。データを分析する作業では、「順序」または「シリーズ」の定義を論理用語で探すことが不可欠です。... 順序は、用語のクラスではなく、クラスのメンバー間の関係にあります。クラスのメンバー間では、あるものは先に、あるものは後に現れます。」(1919:31)

ラッセルは、「順序関係」の概念に 3 つの基準を適用しています。まず、非対称性の概念を定義します。つまり、2 つの項xとyの間にS (「... は... の後継である」)などの関係がある場合、x S y ≠ y S x となります。次に、 3 つの数x、y、zの推移性の概念を定義します。x S yかつy S zならばx S zとなります。 3 番目に、彼は連結の概念を定義します。「順序付けされるクラスの任意の 2 つの項が与えられた場合、先行する項と後続する項が必ず存在します。関係が連結されているのは、そのフィールドの任意の 2 つの異なる項 (関係のドメインと逆ドメインの両方、たとえば、結婚関係における夫と妻) が与えられた場合、最初の項と 2 番目の項の間、または 2 番目の項と最初の項の間に関係が成立する場合です (両方が発生する可能性は排除されませんが、関係が非対称である場合は両方が発生することはありません)。(1919:32)

彼は次のように結論づけている。「... [自然] 数m は、他の数 n が m の継承者が持つすべての遺伝的特性を持つとき、n より小さいと言われる。このように定義された「より小さい」関係が非対称、推移的、かつ連結であり、その体に [自然] 数を持つ [つまり、ドメインと逆ドメインの両方が数である] ことは容易にわかり、証明も難しくない。」 (1919:35)

反復の「超論理的」概念の推定: クリーネは、「論理は既にその定式化において数学的概念を前提としているという理由で、論理主義のテーゼは最終的に疑問視される可能性がある。直観主義の見解では、反復の概念に本質的な数学的核心が含まれている」と述べている (クリーネ 1952:46)

Bernays 1930-1931 は、この「2 つのもの」という概念は、2 つのものが存在するという主張がなくても、また 2 つのものに適用される述語を参照しなくても、すでに何かを前提としていると指摘しています。つまり、単に「1 つのものともう 1 つのもの」を意味します。この単純な定義に関して、数の概念は基本的な構造概念である ことがわかります。数学は純粋に論理的な知識であるという論理学者の主張は、理論的論理をより詳しく観察すると、不明瞭で誤解を招くものであることがわかります。[「論理的」の定義を拡張できます] ただし、この定義により、認識論的に重要なものが隠され、数学に特有のものが見落とされます」(Mancosu 1998:243)。

ヒルベルト 1931:266-7 は、バーネイズと同様に、数学には「論理を超えた何か」があると考えている。「経験と思考のほかに、さらに第三の知識源がある。今日ではカントと細部においてもはや同意できないとしても、カント認識論の最も一般的で基本的な考え方は、その重要性を保っている。それは、直観的な先験的思考様式を確かめ、それによってすべての知識の可能性の条件を調査することである。私の意見では、これは基本的に、数学の原理の調査で起こっていることである。先験的思考とは、ここでの基本的な思考様式に他ならないし、それ以下でもない。私はこれを有限思考様式とも呼んでいる。表現能力において、すでに私たちに与えられているものがある。それは、すべての思考に先立つ直接の経験として直観的に存在する、論理を超えた具体的な対象である。論理的推論が確実であるためには、これらの対象はすべての部分において完全に調査可能でなければならず、その提示、相違、連続、または隣り合って並んでいることは、直接的かつ直観的に与えられなければならない。私たちも、対象も、他の何物にも還元できない、あるいはそのような還元を必要としない何かとして捉えているのです。」（Hilbert 1931 in Mancosu 1998: 266, 267）。

簡単に言えば、ヒルベルトとバーナイスによれば、「順序」または「後継者」という概念は、記号論理の範囲外にある 先験的概念です。

ヒルベルトは論理主義を「誤った道」として退けた。「純粋に論理的に数を定義しようとする者もいれば、通常の数論的推論モードを自明であると単純に考える者もいた。どちらの道でも、克服できない障害に遭遇した。」(Hilbert 1931 in Mancoso 1998:267)。不完全性定理は、ヒルベルトの有限主義にとって同様の障害となると主張できる。

マンコスは、ブラウワーが次のように結論付けたと述べています。「論理の古典的な法則や原理は、[記号表現における] 認識された規則性の一部であり、数学的構成の事後記録から導き出されたものです。理論論理は、経験科学であり、数学の応用です」(マンコス 1998:9 によるブラウワーの引用)。

プリンキピア・マテマティカ（どちらの版でも）に出てくるラッセル論理主義の技術的側面に関して、ゲーデルは 1944 年に失望した。

「数学的論理とそこからの数学の導出に関するこの最初の包括的かつ徹底的な説明は、（『プリンキピア』の*1～*21に含まれる）基礎の形式的な正確さに非常に欠けており、この点でフレーゲと比較するとかなり後退していることは残念である。何よりも欠けているのは、形式主義の構文の正確な説明である」（ゲーデル1944年著作集1990年：120の脚注1を参照）。

特に彼は、「置換の規則と、定義されたシンボルをその定義によって置き換える規則については、特に疑問がある」と指摘した（ラッセル 1944:120）。

これらの基礎の根底にある哲学に関して、ゲーデルはラッセルの「無階級理論」は「名目主義的な構成主義…これはフィクション主義と呼ぶ方が適切かもしれない」(ゲーデル 1944:119 の脚注 1 を参照) を体現するものであり、誤りであるとみなしました。詳細は、以下の「ゲーデルの批判と提案」を参照してください。

複雑な関係理論は、ラッセルの1919年の説明的な『数理哲学入門』と1927年の『プリンキピア』第2版を引き続き妨げていた。一方、集合論は、関係を集合の順序付きペアに還元する方向に進んでいた。グラッタン＝ギネスは、『プリンキピア』第2版で、ラッセルは自身の弟子ノーバート・ウィーナー（1914年）が達成したこの還元を無視したと指摘している。おそらく「残っていた苛立ち」のせいで、ラッセルはまったく反応しなかった。^[21] 1914年までにハウスドルフは別の同等の定義を提供し、 1921年にクラトフスキーは今日使用されている定義を提供した。^[22]

司書が自分の蔵書を 1 冊の本に索引付けしたいとします (「索引」の頭文字は Ι とします)。この索引には、図書館内のすべての本とその場所がリストされます。結局、本は 3 冊しかなく、タイトルは Ά、β、Γ です。索引 I を作成するために、司書は 200 ページの空白ページがある本を購入し、それに「I」というラベルを付けます。これで、司書には I、Ά、β、Γ の 4 冊の本があります。この作業は難しくありません。完了すると、索引 I の内容は 4 ページになり、各ページには一意のタイトルと場所 (各エントリは Title.Location _Tと略されます) があります。

I = { IL _I、 Ά.L _Ά、 β.L _β、 Γ.L _Γ }。

ポアンカレは、このような I の定義を「非述語的」であるとみなしました。彼は、数学では述語的定義のみが許されると考えていたようです。

「定義は、定義された概念に依存するすべてのオブジェクト、つまり、何らかの方法で定義できるすべてのオブジェクトを除外する場合にのみ、「述語的」であり、論理的に許容されます。」 ^[23]

ポアンカレの定義によれば、図書館員の索引帳は「非予測的」である。なぜなら、I の定義は、I、Ά、β、および Γ の全体性の定義に依存しているからである。以下に述べるように、一部の解説者は、常識的なバージョンにおける非予測性は無害であると主張しているが、以下の例が示すように、無害ではないバージョンもある。これらの困難に応えて、ラッセルは「悪循環原理」という強い禁止を主張した。

「いかなる全体性も、この全体性によってのみ定義できる要素、またはこの全体性に関係する、あるいはこの全体性を前提とする要素を含むことはできない」（悪循環原理）（ゲーデル 1944、Collected Works Vol. II 1990:125に掲載）。^[24]

予測不可能性の有害な例がどのようなものかを説明するために、引数 α を関数fに入力して出力 ω = 1−α を得た場合の結果を考えてみましょう。これは、真理値が 1 と 0 である「記号論理」式 ω = NOT -α と同等の「代数論理」式と見なすことができます。入力 α = 0 のとき、出力 ω = 1 となり、入力 α = 1 のとき、出力 ω = 0 となります。

関数を「非述語的」にするには、入力と出力を同一視し、α = 1−αとする。

たとえば、有理数の代数では、α = 0.5 のときにこの等式が満たされます。しかし、たとえば「真理値」0 と 1 のみが許可されるブール代数では、この等式は満たされません。

論理主義プログラムの困難さの一部は、α = NOT-αパラドックス^[25]から生じている可能性がある。ラッセルは、フレーゲの1879年の著書『Begriffsschrift』^[26]で、フレーゲが関数の入力「関数的」（変数の値）をオブジェクト（物、項）だけでなく関数自身の出力からも導き出すことを許可していたことを発見した。^[27]

上で述べたように、フレーゲとラッセルの自然数の構成は、同数のクラスのクラス (「バンドル」) の形成から始まり、各バンドルに一意の「数」を割り当て、次に非対称な関係 S ( x S y ≠ y S x )を介してバンドルを順序付けます。しかし、フレーゲはラッセルとは異なり、単位クラスのクラスを単位自体として識別することを許可しました。

しかし、数字 1 のクラスはそれ自体が単一のオブジェクトまたはユニットであるため、これもユニット クラスのクラスに含める必要があります。このクラスを含めると、タイプとコンテンツが 無限に増加します。

ラッセルは、クラスを「フィクション」と宣言することでこの問題を回避しました。これにより、クラスは命題機能を満たす要素のみを指定でき、それ以外のものは指定できないことを意味しました。「フィクション」であるため、クラスは物、つまり実体、「用語」、「単一性」、「単位」であると考えることはできません。クラスは集合体ですが、ラッセルの見解では「物としての価値」はありません。

「クラスが多数であることは異論の余地がないが、多数であり、1 つではない。これを単一の記号で表すこともできる。つまり、x ε u は「xはuのうちの 1 つ」を意味する。これは、 xとuという 2 つの項の関係として解釈してはならない。なぜなら、数値接続詞としてのu は単一の項ではないからである。したがって、クラスのクラスは多数の多数であり、その構成要素はそれぞれ多数のみであり、したがって、いかなる意味でも単一の構成要素であるはずがない[など]」(1903:516)。

これは、「一番下」に、任意のクラス、任意のクラスのクラス、クラスのクラスのクラスなど、すべての単独の「用語」をリストできる (「述語」述語によって指定される) ことを前提としていますが、クラスの「タイプ」の階層という新しい問題が生じます。

ゲーデル 1944:131 は、「ラッセルはクラスの外延的見解に反する 2 つの理由を挙げている。すなわち、(1) ヌルクラス (これはコレクションにはなり得ない) と (2) 単位クラス (これは個々の要素と同一でなければならない) の存在である」と述べている。彼は、ラッセルはこれらを架空のものとみなすべきだったが、すべてのクラス (2、3 などの数を定義するクラスのクラスなど) は架空のものであるというさらなる結論を導き出すべきではなかったと示唆している。

しかし、ラッセルはそうしなかった。1903年の 「付録 A:フレーゲの論理学と算術学の教義」で詳細な分析を行った後、ラッセルは次のように結論付けている。

「このようにして私たちに強制される論理的教義は、命題の主題は単一の用語ではなく、本質的には多くの用語である可能性があるというものである。これは、0 と 1 以外の数を主張するすべての命題に当てはまる」(1903:516)。

次の「クラスは多数である」という表現に注意してください。クラスは命題関数を満たす項（物）の集合体ですが、クラスは物自体ではありません。

「したがって、最終的な結論は、クラスの正しい理論は第 6 章の理論よりもさらに拡張的であり、多数のクラスは常に命題関数によって定義される唯一のオブジェクトであり、これが形式的な目的に適しているということです」(1903:518)。

それは、牧場主が自分の家畜 (羊、牛、馬) すべてを、架空の牧場にある 3 つの架空の囲い場 (羊用、牛用、馬用) に集めるようなものである。実際に存在するのは羊、牛、馬 (拡張部分) であり、架空の「概念」の囲い場や牧場ではない。^{[オリジナル調査? ]}

ラッセルがすべてのクラスは有用な虚構であると宣言したとき、彼は「単位」クラスの問題を解決しましたが、全体的な問題は消え去ったわけではなく、むしろ新しい形で現れました。「これからは、(1) 項、(2) クラス、(3) クラスのクラス、などと、際限なく区別することが必要になります。ある集合のどの要素も他の集合の要素ではないとみなす必要があります。また、x ε uは、 x がuが属する集合より 1 つ低い次数の集合に属している必要があることを必要とします。したがって、x ε x は 意味のない命題となり、このようにして矛盾が回避されます」(1903:517)。

これはラッセルの「型の教義」である。 x ε xのような非述語的表現を彼の論理で扱えるようにするために、ラッセルは、そのような非述語的定義はすべて述語的定義を持つという一種の作業仮説を提案した。この仮定には、関数の「順序」と引数の「型」という概念が必要である。まず、関数（およびその拡張としてのクラス、つまり「行列」）は「順序」によって分類され、個体の関数は順序 1、関数の関数（クラスのクラス）は順序 2 などとなる。次に、関数の引数（関数の「入力」）の「型」をその「重要性の範囲」と定義する。つまり、 f ( x ) に差し込むと意味のある出力 ω を生成する入力α（個体？ クラス？ クラスのクラス？ など）とは何か。これは、次の例に示すように、「タイプ」が混合順序になる可能性があることを意味することに注意してください。

「ジョー・ディマジオとヤンキースは1947年のワールドシリーズで優勝した」

この文は、「 x は1947 年のワールド シリーズで優勝した」+「y は1947 年のワールド シリーズで優勝した」という 2 つの節に分解できます。最初の文は、 xに個別の「ジョー ディマジオ」を入力として取り、もう 1 つの文は、yに集合体の「ヤンキース」を入力として取ります。したがって、複合文は (混合) タイプ 2 を持ち、順序 (1 と 2) が混合されます。

ラッセルが「述語的」と表現したのは、関数が変数の「型」よりも高次のものでなければならないという意味です。したがって、クラスのクラスを作成する関数 (次数 2) は、その変数の引数としてクラス (型 1) と個体 (型 0) のみを受け入れることができます。これらはより低い型だからです。型 3 は型 2、1、または 0 のみを受け入れることができます。ただし、これらの型は混在できます (たとえば、この文が (ある程度) 真であるためには、「z は1947 年のワールド シリーズで優勝した」という文は、個体 (型 0) の「ジョー ディマジオ」および/または彼の他のチームメイトの名前を受け入れることができ、個々のプレーヤーのクラス (型 1)「ヤンキース」を受け入れることができます)。

還元公理とは、任意の次数の関数は、適切な次数の同等の述語関数に還元できる（または置換できる）という仮説である。 ^[28]初版を注意深く読むと、n次述語関数は、個々の原子命題の巨大な「マトリックス」または集合体として「ずっと下まで」表現する必要がないことがわかる。「実際には、変数の相対的なタイプのみが関係するため、特定のコンテキストで発生する最も低いタイプは、個体のタイプと呼ばれることがある」（p. 161）。しかし、還元公理は、理論的には「ずっと下まで」還元可能であることを示唆している。

しかし、1927 年のPMの第 2 版までに、ラッセルは還元公理を諦め、論理演算子で結び付けられた基本命題まで関数の順序を「徹底的に」強制すると結論付けました。

「どんな順序であっても、すべての命題は、ストロークによって結合された基本命題から構成されるマトリックスから導き出される」（PM 1927 付録 A、385 ページ）

(「ストローク」は、PM の第 2 版で採用された Sheffer のストロークで、他のすべての論理関数を定義できる単一の 2 つの引数を持つ論理関数です。)

しかし、最終的な結果は彼の理論の崩壊でした。ラッセルは次のような残念な結論に達しました。「順序数と基数の理論は生き残りますが、無理数、および実数全般はもはや適切に扱うことができません。おそらく、還元公理よりも異論の少ない別の公理がこれらの結果をもたらすかもしれませんが、私たちはそのような公理を見つけることに成功していません」( PM 1927:xiv)。

ゲーデル 1944 は、ラッセルの論理主義プロジェクトが行き詰まったことに同意しているが、整数さえ生き残ったということには同意していないようだ。

「[第 2 版では] 還元公理は削除され、すべての基本述語は最低の型に属し、より高い順序と型の変数 (および明らかに定数も) の唯一の目的は、原子命題のより複雑な真理関数を主張できるようにすることであると明示的に述べられています」(Gödel 1944、Collected Works :134)。

しかしゲーデルは、この手順は何らかの形で算術を前提としているようだと主張している (p. 134)。彼は「異なる位数の整数が得られる」と推論している (p. 134-135)。ラッセル 1927 PM付録 B の「5 より高い位数の整数は 5 位数の整数と同じである」という証明は「決定的ではない」し、「整数理論が分岐階層 (クラスと型) に基づいて得られるかどうか (またはどの程度まで) という問題は、現時点では未解決とみなされなければならない」。ゲーデルは、位数n (任意のn ) の命題関数は有限の記号の組み合わせで記述される必要があるため、いずれにしても問題にはならないと結論付けた (すべての引用と内容は 135 ページから引用)。

ゲーデルは 1944 年の著作で、ラッセルの論理主義が失敗していると考える箇所を特定し、その問題を修正するための提案を行っている。彼は「悪循環原理」を再検討し、それを「～によってのみ定義可能」、「関与」、「前提」の 3 つの部分に分割している。「非予測的定義を不可能にし、それによってデデキントとフレーゲによってもたらされた論理からの数学の導出、および数学自体の多くを破壊する」のは最初の部分である。彼は、数学は固有の非予測性 (たとえば「すべての実数を参照して定義される実数」) に依存しているように見えるため、自分が提示したものは「古典数学が間違っているという証明ではなく、悪循環原理が間違っているという証明」であると結論付けている (すべての引用はゲーデル 1944:127)。

ラッセルの無クラス理論が問題の根源である。ゲーデルは、非予測性は数学全体に見られるような「不合理」ではないと信じている。ラッセルの問題は、論理と数学の対象、特に命題、クラス、概念に対する「構成主義的（または名目主義的） 」 ^[29]立場から生じている。「概念は記号であり、記号によって表される独立した対象は単なるフィクションとして現れる」（128 ページ）。

実際、ラッセルの「無階級」理論について、ゲーデルは次のように結論づけています。

「これは、データ外のオブジェクトの存在についての仮定を排除し、これらのデータに基づく構成に置き換える傾向を詳細に説明した数少ない例の 1 つとして非常に興味深い³³。ここでの「データ」は相対的な意味で理解されるべきであり、つまり、クラスと概念の存在を前提としない論理として理解されるべきである。この場合、結果は本質的に否定的であった。つまり、このようにして導入されたクラスと概念は、数学での使用に必要なすべての特性を備えていない。...これはすべて、論理と数学 (物理学とまったく同じ) は、説明できない実際の内容を持つ公理に基づいて構築されているという上記の見解の検証にすぎない」(p. 132)

彼は次のような提案と観察でエッセイを締めくくっています。

「より保守的な道を進むべきである。それは、クラスと概念という用語の意味をより明確にし、客観的に存在する実体としてのクラスと概念の一貫した理論を確立することである。これは、数学的論理の実際の発展が辿ってきた道であり、ラッセル自身もその著作のより建設的な部分でその道を辿らざるを得なかった。この方向への試みの中で主要なものは、単純な型の理論と公理的集合論であり、どちらも少なくとも、現代数学の導出を可能にし、同時に既知のすべてのパラドックスを回避するという点で成功している。 ¶ 数学的論理がこれまでペアノらの高い期待に大きく遅れをとってきたのは、基礎のこの不完全な理解によるものだと疑うのが妥当であるように思われる。」(p. 140)

新論理主義は、その支持者によって元の論理主義プログラムの後継者とみなされる一連の見解を表します。^[30]より狭義には、新論理主義は、フレーゲの『論理学原理』のシステムの修正版（一種の第二階論理と見なすことができます）を使用して、フレーゲのプログラムの一部またはすべての要素を救済しようとする試みと見なすことができます。

例えば、既知のパラドックスの導出を防ぐために、基本法則 V (素朴集合論における無制限理解の公理図式に類似) を何らかの「より安全な」公理に置き換えることができる。BLV の代替として最もよく引用される候補はヒュームの原理であり、これは「#」の文脈的定義であり、「# F = # Gであり、その場合のみFとGの間に一対一の関係がある」で与えられる。^[31]この種の新論理主義は、しばしば新フレーゲ主義と呼ばれる。^{[32]新フレーゲ主義の支持者には、}クリスピン・ライトやボブ・ヘイルがおり、彼らはスコットランド学派や抽象主義プラトン主義とも呼ばれ、^[33]一種の認識論的基礎付け主義を唱えている。^[34]

新論理主義の他の主要な支持者には、スタンフォード・エドモントン学派と呼ばれることもあるバーナード・リンスキーとエドワード・N・ザルタ、抽象構造主義、あるいは様相新論理主義があり、彼らは公理的形而上学の一形態を支持している。^{[34] [32]}様相新論理主義は、第二次様相対象理論の範囲内でペアノの公理を導き出す。^{[35] [36]}

もうひとつの準新論理主義的アプローチは、M.ランドール・ホームズによって提案された。この種の基本法の修正では、クワインのNFや関連システムのような階層化可能な公式への制限を除いて、BLVはそのまま残る。基本的に、基本法のすべてが「通過」する。結果として得られるシステムは、ジェンセンのNFU +ロッサーの計数公理と同じ一貫性の強さを持つ。 ^[37]

• アリストテレス的実在論的数学哲学

• リチャード・デデキント、1858、1878、「数論に関するエッセイ」、Open Court Publishing Company 1901 による英訳、Dover 出版 1963、Mineola、NY、ISBN 0-486-21010-3。2つのエッセイが含まれています。I.「連続性と無理数」とオリジナルの序文、II.「数の性質と意味」と 2 つの序文 (1887、1893)。 
• Howard Eves、1990、「Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics Third Edition」、Dover Publications、Inc、Mineola、NY、ISBN 0-486-69609-X。 
• I. Grattan-Guinness、2000、「数学的根源の探求 1870–1940: カンターからラッセル、ゲーデルに至る論理学、集合論、数学の基礎」、プリンストン大学出版局、プリンストン、NJ、ISBN 0-691-05858-X。 
• Jean van Heijenoort、1967、「From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931」、第3版1976年、Harvard University Press、ケンブリッジ、MA、ISBN 0-674-32449-8。フレーゲの1879年のBegriffsschrift（ファン・ヘイジェノールトの解説付き）、ラッセルの1908年のMathematical logic as based on the theory of types（ウィラード・V・クワインの解説付き）、ツェルメロの1908年のA new proof of the possible of a well-ordering（ファン・ヘイジェノールトの解説付き）、ラッセルからフレーゲへの手紙、ラッセルからフレーゲへの手紙などが含まれています。 
• Stephen C. Kleene、1971、1952、「Introduction To Metamathematics 1991 10th printing」、North-Holland Publishing Company、アムステルダム、NY、ISBN 0-7204-2103-9。 
• Mario Livio、2011 年「数学はなぜ機能するのか: 数学は発明されたのか、それとも発見されたのか? 著名な天体物理学者は、この数千年来の疑問に対する答えは両方であると示唆している」、Scientific American (ISSN 0036-8733)、第 305 巻、第 2 号、2011 年 8 月、Nature America, Inc の Scientific American 部門、ニューヨーク、ニューヨーク州。
• バートランド・ラッセル、1903年、「数学原理第1巻」、ケンブリッジ：英国ケンブリッジ大学出版局。
• Paolo Mancosu、1998、「From Brouwer to Hilbert: The Debate on the Foundations of Mathematics in the 1920s」、Oxford University Press、ニューヨーク、NY、ISBN 0-19-509632-0。 
• バートランド・ラッセル、1912年、「哲学の問題」（ジョン・ペリーによる序文付き、1997年）、オックスフォード大学出版局、ニューヨーク、NY、ISBN 0-19-511552-X。 
• Bertrand Russell, 1919, Introduction to Mathematical Philosophy、Barnes & Noble, Inc、New York、NY、ISBN 978-1-4114-2942-0 。これはPrincipia Mathematicaの非数学的なガイドです。  

  • Amit Hagar 2005 Introduction to Bertrand Russell, 1919, Introduction to Mathematical Philosophy、Barnes & Noble, Inc、New York、NY、ISBN 978-1-4114-2942-0。 

• アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドとバートランド・ラッセル、1927年第2版、(初版1910–1913年)、『プリンキピア・マテマティカ』、1962年版、ケンブリッジ大学出版局、英国ケンブリッジ、ISBNなし。第2版、*56に短縮され、第2版の序文Xiii-xlviページと、 *9「見かけの変数の理論」に代わる新しい付録A（*8 「見かけの変数を含む命題」） 、および付録C 「真理関数とその他」が追加されました。

• 数学百科事典の「論理主義」