代数論理

数理論理学において、代数論理とは自由変数を含む方程式を操作することによって得られる推論です。

現在、古典代数論理と呼ばれているものは、さまざまな論理(これらの演繹システムの代数的意味論を構成する代数のクラスの形式) や、表現や双対性などの関連問題の研究に適したモデルの識別と代数的記述に重点を置いています。ブール代数の表現定理やストーン双対性などのよく知られた結果は、古典代数論理の傘下にあります (Czelakowski 2003)。

最近の抽象代数論理(AAL) の研究は、ライプニッツ演算子を使用してさまざまな形式の代数化可能性を分類するなど、代数化のプロセス自体に焦点を当てています(Czelakowski 2003)。

同次二項関係は、何らかの集合Xに対してX × Xのべき集合に存在しますが、異次関係はX ≠ YであるX × Yのべき集合に存在します。与えられた関係が 2 つの個体に当てはまるかどうかは 1ビットの情報であるため、関係はブール演算で調べられます。べき集合の要素は包含によって部分的に順序付けられ、これらの集合の束は関係の相対的な乗算または合成によって代数になります。

「基本的な演算は集合論的な和集合、積集合、補集合、相対乗算、変換である。」^[1]

変換は、関数理論に反して、常に存在する逆関係を指します。与えられた関係は論理行列で表すことができます。その場合、逆関係は転置行列で表されます。他の 2 つの関係の合成として得られる関係は、ブール演算を使用した行列乗算によって得られる論理行列で表されます。

関係の計算の例は、質問の理論であるエロテティクスに見られます。発話の世界には、陳述 Sと質問 Qがあります。 QからSへの関係πと α が2 つあります。q α aは、 a が質問qへの直接の答えである場合に成立します。もう 1 つの関係q π pは、 p が質問qの前提である場合に成立します。逆の関係π ^{T は}SからQまで伸びており、合成π ^{T α は}S上の同次関係です。^[2]適切な質問をして十分な答えを引き出す技術は、ソクラテス式対話法で認識されています。

主要な二項関係特性の記述は、関係の計算によって定式化されています。関数の単価性特性は、式 を満たす関係Rを記述します。ここで、IはRの値域における恒等関係です。単価性特性は、 の単価性、または式に対応します。ここで、I はRの定義域における恒等関係です。 ${\displaystyle R^{T}R\subseteq I,}$${\displaystyle R^{T}}$${\displaystyle RR^{T}\subseteq I,}$

しかし、一価関係は部分関数に過ぎないのに対し、一価全体関係は関数である。全体性の公式は、チャールズ・ロウナーとギュンター・シュミットが一価全体の関係に対してマッピングという用語を使用していることである。^{[3] [4]}${\displaystyle I\subseteq RR^{T}.}$

相補関係の便利さに触発されて、オーガスタス・ド・モルガンとエルンスト・シュレーダーは、関係Rの補集合に対して を使用する同値性を導入した。これらの同値性は、単価関係 ( ) と全関係 ( )の代替式を提供する。したがって、マッピングは式を満たす。シュミットはこの原理を「左から否定を下回る」と使用している。^[5]マッピングfの場合、 ${\displaystyle {\bar {R}}}$${\displaystyle R{\bar {I}}\subseteq {\bar {R}}}$${\displaystyle {\bar {R}}\subseteq R{\bar {I}}}$${\displaystyle {\bar {R}}=R{\bar {I}}.}$ ${\displaystyle f{\bar {A}}={\overline {fA}}.}$

集合論に基づく関係代数構造は、それを記述する公理によってタルスキによって超越された。そして彼は、公理を満たすすべての代数は集合関係によって表現できるかどうかを尋ねた。否定的な答え^[6]は抽象代数論理のフロンティアを開いた。^{[7] [8] [9]}

代数論理は、代数構造、多くの場合は有界格子を特定の論理のモデル（解釈）として扱い、論理を順序理論の一分野にします。

代数論理では:

• 変数は、何らかの論議宇宙にわたって暗黙的に普遍的に量化されます。存在的に量化された変数や開いた式は存在しません。
• 用語は、プリミティブ演算と定義済み演算を使用して変数から構築されます。接続詞はありません。
• 通常の方法で項から構築された式は、論理的に同等である場合は等しくすることができます。トートロジーを表現するには、式を真理値と等しくします。
• 証明の規則は、等しいもの同士の置き換え^{[説明が必要]}と均一な置き換えです。モーダス・ポネンスは依然として有効ですが、めったに使用されません。

以下の表では、左の列に 1 つ以上の論理システムまたは数学システムが示され、そのモデルである代数構造が同じ行の右に表示されます。これらの構造の一部は、ブール代数またはその適切な拡張です。様相論理やその他の非古典的論理は、通常、「演算子付きブール代数」と呼ばれるものによってモデル化されます。

少なくともいくつかの点で 第一階論理を超える代数形式には次のものがあります。

• 集合論の表現力を持つ組み合わせ論理。
• 関係代数は、おそらく代数論理の典型であり、ペアノ算術と、標準的なZFCを含むほとんどの公理的集合論を表現できます。

代数論理は、おそらく形式論理への最古のアプローチであり、ライプニッツが1680年代に書いた多くの覚書から始まったと議論されています。そのうちのいくつかは19世紀に出版され、1918年にクラレンス・ルイスによって英語に翻訳されました^{。[10] ：291–305}しかし、代数論理に関するライプニッツの知られている研究のほぼすべては、ルイ・クーチュラがライプニッツのNachlassで発見した後、1903年に初めて出版されました。パーキンソン（1966年）とレムカー（1969年）はクーチュラの著書から抜粋して英語に翻訳しました。

現代の数理論理学は、ジョージ・ブール^[11]とオーガスタス・ド・モルガン^[12]の2冊の小冊子を著者とする1847年に始まりました。1870年にチャールズ・サンダース・パースは相対論理に関するいくつかの著作の最初のものを出版しました。アレクサンダー・マクファーレンは1879年に「論理代数の原理」 ^[13]を出版し、1883年にはジョンズ・ホプキンス大学でパースの弟子であったクリスティン・ラッドが「論理代数について」を出版しました。^[14]二項関係が関係の合成と組み合わされると、論理はより代数的になりました。集合AとBについて、AとB上の関係は、ブール代数で記述される特性を持つA × Bの冪集合のメンバーとして表されます。「関係の計算」^[9]は、ライプニッツの論理へのアプローチの頂点であると言えるでしょう。カールスルーエ大学では、関係式の計算はエルンスト・シュレーダーによって説明されました。^[15]特に彼はシュレーダー規則を定式化しましたが、ド・モルガンは定理Kでそれを予見していました。

1903年、バートランド・ラッセルは、関係の計算と論理主義を、計算の演算を基本概念として、純粋数学の彼独自のバージョンとして発展させた。^[16] 「論理のブール・シュレーダー代数」は、 1918年にカリフォルニア大学バークレー校でクラレンス・ルイスの教科書で開発された。^[10]彼は、関係の論理を2つ以上の変数の 命題関数から派生したものとして扱った。

ヒュー・マッコール、ゴットロープ・フレーゲ、ジュゼッペ・ペアノ、AN ホワイトヘッドは皆、記号論理学、数学、哲学を融合するというライプニッツの夢を共有していました。

1910年から1913年にかけて『プリンキピア・マテマティカ』が出版された後、レオポルト・レーヴェンハイムとトラルフ・スコーレムによる代数論理に関するいくつかの著作が登場し、タルスキは1941年のエッセイ「関係式の微積分について」で関係式への関心を復活させた。^[9]

ヘレナ・ラシオワによれば、「1920年から1940年にかけて、特にポーランド論理学派では、いわゆる論理行列法によって非古典的な命題計算に関する研究が行われました。論理行列はある種の抽象代数であるため、これが論理における代数的手法の使用につながりました。」^[17]

Brady (2000) は、代数論理とモデル理論の豊かな歴史的つながりについて論じています。モデル理論の創始者であるエルンスト・シュレーダーとレオポルド・レーヴェンハイムは、代数的伝統に根ざした論理学者でした。現代の数理論理学の主要分野である集合論的モデル理論の創始者であるアルフレッド・タルスキも次のように述べています。

• 関係代数を用いた抽象代数論理学の創始^[9]
• 円筒代数を発明した
• リンデンバウム・タルスキー代数を共同発見。

関係の計算の実践において、ジャック・リゲは代数論理を使用して有用な概念を発展させました。彼は、（集合上の）同値関係の概念を、二機能関係という概念を用いて異質の場合に拡張しました。リゲはまた、階段状の論理行列には階段状の補行列があり、階段の転置の解釈からNMフェラーズの定理が導かれるという注釈によって、異質のコンテキストに順序付けを拡張しました。リゲは、論理ベクトルの外積をとることで長方形関係を生成しました。これは、形式概念分析の拡大不可能な長方形に貢献します。

ライプニッツは代数論理学の台頭には影響を与えなかった。なぜなら、彼の論理学の著作はパーキンソンとレムカーの翻訳以前にはほとんど研究されていなかったからである。論理学者としてのライプニッツに関する現在の理解は、主にヴォルフガング・レンツェンの著作に由来しており、レンツェン (2004) にまとめられている。論理学と形而上学の現在の研究がライプニッツの思想からどのようにインスピレーションを得て、その思想に光を当てることができるかについては、ザルタ (2000) を参照のこと。

• ブール代数
• コッドの定理
• コンピュータ代数
• 普遍代数

• Brady, Geraldine (2000)。From Peirce to Skolem: A Neglected Chapter in the History of Logic。アムステルダム、オランダ：North-Holland/Elsevier Science BV。2009-04-02 にオリジナルからアーカイブ。2009-05-15に取得。
• Czelakowski , Janusz (2003)。「レビュー: J. Michael DunnとGary M. Hardegree 著『哲学的論理における代数的方法』」。The Bulletin of Symbolic Logic。9。Association for Symbolic Logic、ケンブリッジ大学出版局。ISSN  1079-8986。JSTOR 3094793  。
• レンツェン、ヴォルフガング、2004、「ライプニッツの論理学」、ガバイ、D.、ウッズ、J.編、『論理学の歴史ハンドブック、第3巻：ライプニッツからフレーゲまでの現代論理学の台頭』、ノースホラント：1-84。
• レムカー、ルロワ（1969）[初版1956年]、ライプニッツ：哲学論文と書簡（第2版）、ライデル。
• パーキンソン、GHR（1966）。ライプニッツ：論理論文。オックスフォード大学出版局。
• Zalta、EN、2000、「概念の (ライプニツィアン) 理論」、Philosophiegeschichte und logische Analyze / 論理分析と哲学の歴史3: 137-183。

• J. マイケル ダン、ゲイリー M. ハーディグリー (2001)。哲学的論理における代数的方法。オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-853192-0。非古典的論理学を学んだことがあるが、順序理論や普遍代数の知識があまりない読者にとって、この本は良い入門書です。この本では、これらの前提条件を詳細に説明しています。しかし、この本は、AAL の結果の提示が不十分で、時には間違っていると批判されています。Janusz Czelakowski によるレビュー
• ハイナル・アンドレカ、イシュトヴァン・ネメティ、イルディコ・サイン (2001)。 「代数論理」。 Dov M. Gabbay、Franz Guenthner (編)。哲学論理ハンドブック、第 2 巻(第 2 版)。スプリンガー。ISBN 978-0-7923-7126-7。下書き。
• Ramon Jansana (2011)、「命題的帰結関係と代数論理」。スタンフォード哲学百科事典。主に抽象代数論理について。
• スタンリー・バリス (2015)、「論理伝統の代数」。スタンフォード哲学百科事典。
• ウィラード・クワイン(1976 年)、「代数論理と述語関数」、ハーバード大学出版局のThe Ways of Paradoxの 283 ～ 307 ページ。

歴史的観点

• アイヴァー・グラッタン・ギネス、2000年。『数学的根源の探求』プリンストン大学出版局。
• Irving Anellisおよび N. Houser (1991)「19 世紀の代数論理と普遍代数のルーツ」、代数論理、Colloquia Mathematica Societatis János Bolyai # 54、János Bolyai Mathematical SocietyおよびElsevierの 1 ～ 36 ページ ISBN 0444885439 

• PhilPapersの代数論理