ラッセルのパラドックス

数理論理学において、ラッセルのパラドックス（ラッセルのアンチノミーとも呼ばれる）は、イギリスの哲学者で数学者のバートランド・ラッセルが1901年に発表した集合論のパラドックスである。 ^{[1] [2]ラッセルのパラドックスは、}無制限の内包原理を含むすべての集合論が矛盾を生じることを示している。^{[3]無制限の内包原理によれば、十分に明確に定義された任意の}特性 に対して、その特性を持つすべてのオブジェクトのみの集合が存在する。R を、それ自身のメンバーではないすべての集合の集合とする。（この集合は「ラッセル集合」と呼ばれることもある。）R がそれ自身のメンバーでない場合、その定義から、R はそれ自身のメンバーであることがわかる。しかし、R がそれ自身のメンバーである場合、それはそれ自身のメンバーではない。なぜなら、Rはそれ自身のメンバーではないすべての集合の集合だからである。結果として生じる矛盾がラッセルのパラドックスです。記号で表すと次のようになります。

${\displaystyle {\text{R=\{x\mid x\not \in x\}{\text{とすると、R\in R\iff R\not \in R}$

ラッセルはまた、このパラドックスの一種がドイツの哲学者で数学者のゴットロープ・フレーゲが構築した公理系から導き出せることも示し、数学を論理学に還元しようとするフレーゲの試みを覆し、論理学のプログラムに疑問を投げかけた。このパラドックスを回避する2つの有力な方法が1908年に提案された。ラッセル自身の型理論とツェルメロ集合論である。特に、ツェルメロの公理は無制限内包原理を制限していた。エイブラハム・フレンケルのさらなる貢献により、ツェルメロ集合論は現在では標準的なツェルメロ・フレンケル集合論（選択公理を含めて一般にZFCとして知られる）に発展した。このパラドックスに対するラッセルとツェルメロの解決法の主な違いは、ツェルメロは集合論の公理を修正しながら標準的な論理言語を維持したのに対し、ラッセルは論理言語そのものを修正した点である。 ZFCの言語は、トラルフ・スコーレムの助けにより、一階述語論理の言語であることが判明した。^[4]

このパラドックスは、1899年にドイツの数学者エルンスト・ツェルメロによってすでに独立に発見されていた。^[5]しかし、ツェルメロはこの考えを公表せず、その考えはゲッティンゲン大学のダヴィド・ヒルベルト、エドムント・フッサール、その他の学者にしか知られていなかった。1890年代末には、現代集合論の創始者とされるゲオルク・カントールが、ヒルベルトとリヒャルト・デデキントに手紙で伝えたように、自分の理論が矛盾を生じることをすでに認識していた。^[6]

よく見かける集合のほとんどは、それ自体のメンバーではありません。それ自体のメンバーでない集合を「正常」、それ自体のメンバーである集合を「異常」と呼びます。明らかに、すべての集合は正常か異常のいずれかでなければなりません。たとえば、平面内のすべての正方形の集合を考えてみましょう。この集合自体は平面内の正方形ではないため、それ自体のメンバーではなく、したがって正常です。対照的に、平面内の正方形ではないものすべてを含む補集合自体は平面内の正方形ではないため、それ自体のメンバーの 1 つであり、したがって異常です。

ここで、すべての正規集合の集合Rについて考え、 Rが正規か異常かを判断します。 Rが正規であれば、すべての正規集合の集合 (それ自体) に含まれるため、異常になります。一方、Rが異常であれば、すべての正規集合の集合 (それ自体) には含まれないため、正常になります。このことから、 R は正規でも異常でもないという結論が導かれます。これがラッセルのパラドックスです。

「素朴集合論」という用語は、さまざまな意味で使用されます。1 つの用法では、素朴集合論は、2 項非論理述語を持つ第 1 階言語で定式化され、外延性公理を含む形式理論です。 ${\displaystyle \in}$

${\displaystyle \forall x\,\forall y\,(\forall z\,(z\in x\iff z\in y)\implies x=y)}$

そして無制限理解の公理スキーム：

${\displaystyle \exists y\forall x(x\in y\iff \varphi (x))}$

内部に自由変数としてxを持つ述語に対して。 を代入すると 、${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle x\notin x}$${\displaystyle \varphi (x)}$

${\displaystyle \exists y\forall x(x\in y\iff x\notin x)}$

そして、存在的インスタンス化（記号の再利用）と普遍的インスタンス化により 、${\displaystyle y}$

${\displaystyle y\in y\iff y\notin y,}$

矛盾である。したがって、この素朴な集合論は矛盾している。^[7]

ラッセルのパラドックス（および同時期に発見されたブラーリ＝フォルティのパラドックスなどの他の同様のパラドックス）以前は、集合の概念に関する一般的な概念は、フォン・ノイマンとモルゲンシュテルンが述べた「集合の外延的概念」であった。^[8]

集合とは、任意のオブジェクトの集合であり、集合の要素であるオブジェクトの性質や数にはまったく制限がありません。要素は集合を構成し、集合を決定しますが、要素間にはいかなる順序や関係もありません。

特に、オブジェクトのコレクションとしての集合と固有クラスの間には区別がありませんでした。さらに、コレクションの各要素の存在は、その要素の集合の存在に十分であると考えられていました。しかし、ラッセルやブラリ＝フォルティなどのパラドックスは、すべてのオブジェクトが存在しているにもかかわらず、集合を形成しないオブジェクトのコレクションの例によって、この集合の概念が不可能であることを示しました。

古典論理の爆発原理から、どんな命題も矛盾から証明できる。したがって、公理的集合論におけるラッセルのパラドックスのような矛盾の存在は悲惨である。なぜなら、どんな式でも真であると証明できれば、それは真と偽の慣習的な意味を破壊してしまうからである。さらに、集合論は数学の他のすべての分野の公理的発展の基礎と見なされていたため、ラッセルのパラドックスは数学全体の基礎を脅かすものであった。これが、20世紀初頭に一貫した（矛盾のない）集合論を開発するための多くの研究の動機となった。

1908年、エルンスト・ツェルメロは集合論の公理化を提案した。これは、任意の集合理解を分離公理（Aussonderung）などのより弱い存在公理に置き換えることで素朴集合論のパラドックスを回避するものであった。（パラドックスを避けることはツェルメロの当初の意図ではなく、彼が整列定理を証明する際にどの仮定を用いたかを文書化することが目的でした。）^[9] 1920年代にアブラハム・フランケル、トラルフ・スコーレム、そしてツェルメロ自身によって提案されたこの公理理論の修正により、 ZFCと呼ばれる公理的集合論が生まれた。この理論はツェルメロの選択公理が論争の的ではなくなると広く受け入れられ、ZFCは現在まで 標準的な公理的集合論であり続けている。

ZFC は、すべてのプロパティに対して、そのプロパティを満たすすべてのものの集合が存在するとは想定していません。むしろ、任意の集合Xが与えられた場合、一階述語論理を使用して定義可能なXの任意のサブセットが存在すると主張しています。上記のラッセルのパラドックスによって定義されたオブジェクトR は、任意の集合Xのサブセットとして構成できないため、ZFC では集合ではありません。ZFC のいくつかの拡張、特にフォン・ノイマン・ベルネイス・ゲーデル集合論では、 Rのようなオブジェクトは適切なクラスと呼ばれます。

ZFC は型については何も述べていないが、累積階層には型に似た層の概念がある。ツェルメロ自身は、一階述語論理の言語を使用してスコーレムが ZFC を定式化したことを決して受け入れなかった。ホセ・フェレイロスが指摘するように、ツェルメロはむしろ「サブセットを分離するために使用される命題関数 (条件または述語) や置換関数は、「完全に任意」 [ganz beliebig ] である可能性がある」と主張した。この発言に対する現代の解釈は、ツェルメロがスコーレムのパラドックスを避けるために高階量化を含めたかったというものである。1930 年頃、ツェルメロは (明らかにフォン・ノイマンとは無関係に)基礎公理も導入したため、フェレイロスが指摘するように、「「循環」および「非根拠」集合を禁止することで、TT [型理論] の重要な動機の 1 つである引数の型の原理を [ZFC] に取り入れた」。ツェルメロが好んだこの 2 次 ZFC は、基礎公理も含み、豊富な累積階層を可能にしました。フェレイロスは次のように書いている。「ツェルメロの『層』は、ゲーデルとタルスキが提案した単純TT [型理論] の現代版の型と本質的に同じである。ツェルメロがモデルを展開した累積階層は、超限型が許容される累積TTの宇宙として記述できる。(クラスが構築されるという考えを放棄し、非述語的立場を採用すると、超限型を受け入れることは不自然ではない。) したがって、単純TTとZFCは、基本的に同じ意図されたオブジェクトについて「話す」システムと見なすことができる。主な違いは、TTは強力な高階論理に依存しているのに対し、ツェルメロは2階論理を採用し、ZFCは1階定式化も可能であることである。累積階層の1階「記述」は、可算モデルの存在 (スコーレムのパラドックス) によって示されるように、はるかに弱いが、いくつかの重要な利点がある。」^[10]

ZFC では、集合Aが与えられた場合、 A内の集合のうちそれ自身のメンバーではない集合だけで構成される集合B を定義することができます。ラッセルのパラドックスと同じ理由により、 B はA内に存在できません。このラッセルのパラドックスのバリエーションは、すべてのものを含む集合は存在しないことを示しています。

ツェルメロや他の研究者、特にジョン・フォン・ノイマンの研究により、ZFC によって記述される「自然な」オブジェクトと見なされる構造が最終的に明らかになりました。つまり、それらは、空集合からべき乗集合演算を無限に繰り返すことによって構築されたフォン・ノイマン宇宙Vの要素です。したがって、ラッセルのパラドックスに反することなく、つまりVの要素について推論することによって、非公理的な方法で集合について推論することが再び可能になりました。集合をこのように考えることが適切であるかどうかは、数学の哲学に関する対立する観点の間で論争の的となっています。

ラッセルのパラドックスに対する他の解決法としては、型理論に近い基礎戦略を持つものとして、クワインの新基礎やスコット・ポッター集合論などがある。さらに別のアプローチとしては、二重拡張集合論のように、適切に修正された理解スキームで多重所属関係を定義する方法がある。

^{ラッセルは1901年5月[11]}か6月にこのパラドックスを発見した。^[12] 1919年の著書『数学哲学入門』の中で、彼は「カントールの証明に最大基数は存在しないという欠陥を見つけようとした」と述べている。^[13] 1902年の手紙^{[14]で、彼は}ゴットロープ・フレーゲにフレーゲの1879年の『Begriffsschrift』のパラドックスを発見したことを告げ、論理と集合論の両方の観点から、特にフレーゲの関数の定義の観点から問題を説明した。^{[a] [b]}

ただ 1 点だけ、困難に遭遇しました。あなたは (p. 17 [p. 23 上記])、関数も不確定要素として機能できると述べています。これは以前は信じていましたが、現在では次の矛盾があるため、この見解は疑わしいと思われます。w を述語とします。つまり、それ自体で述語化できない述語です。w はそれ自体で述語化できますか?それぞれの答えから、その反対が導かれます。したがって、 w は述語ではないと結論付けなければなりません。同様に、それぞれが全体としてとらえられたときに、それ自体に属さないクラスのクラス (全体として) は存在しません。このことから、特定の状況下では、定義可能なコレクション [Menge] は全体を形成しないと結論付けます。

ラッセルは1903年の著書『数学原理』でこのパラドックスについて長々と述べ、その中でこのパラドックスとの最初の遭遇を繰り返している。^[15]

基本的な質問から離れる前に、すでに述べた、それ自体では述語化できない述語に関する特異な矛盾について、より詳細に検討する必要があります。...カントールの証明を調和させようとする努力の中で、私はそれに至ったと述べておこうと思います...

ラッセルがフレーゲにこのパラドックスについて手紙を書いたのは、ちょうどフレーゲが『算術基礎』第2巻を準備していた頃だった。^[16]フレーゲはすぐにラッセルに返事を出し、1902年6月22日付けの手紙は、ファン・ヘイエノールトのコメントとともに、ヘイエノールト 1967:126–127に掲載された。フレーゲはその後、パラドックスを認める付録を書き、^{[17]ラッセルが『}数学原理』で支持することになる解決策を提案したが、^[18]後に一部の人から不十分だとみなされた。^[19] 一方、ラッセルは自分の作品が印刷中だったので、型の教義に関する付録を加えた。^[20]

エルンスト・ツェルメロは、1908年に「整列可能性の新しい証明」（「最初の公理的集合論」の出版と同時期に出版）^{[21]で、カントールの素朴集合論における}アンチノミーは以前に発見されていたと主張した。彼は「しかし、ラッセル^9が集合論的アンチノミーに与えた初歩的な形式でさえ、彼ら[J.ケーニッヒ、ジョルダン、F.バーンスタイン]に、これらの困難の解決は整列を放棄することではなく、集合の概念を適切に制限することのみに求められると納得させることができただろう」と述べている^[22] 。脚注9は、彼が主張している箇所である。

⁹ 1903、pp. 366-368。しかし、私はこの矛盾をラッセルとは独立して自分で発見し、1903年以前にヒルベルト教授らに伝えていた。^[23]

フレーゲはヒルベルトに算術基礎書のコピーを送った。前述のように、フレーゲの最後の巻にはラッセルがフレーゲに伝えたパラドックスについて触れられていた。フレーゲの最後の巻を受け取った後、ヒルベルトは1903年11月7日にフレーゲに手紙を書き、その中でラッセルのパラドックスについて「ツェルメロ博士が3、4年前にそれを発見したと私は信じている」と述べた。ツェルメロの実際の議論の記述は、エドムント・フッサールの遺書で発見された。^[24]

1923 年、ルートヴィヒ・ヴィトゲンシュタインはラッセルのパラドックスを次のように「解決」することを提案しました。

関数がそれ自身の引数になることができない理由は、関数の記号が既にその引数のプロトタイプを含んでおり、関数がそれ自身を含むことができないからです。関数 F(fx) がそれ自身の引数になることができると仮定しましょう。その場合、命題F(F(fx))が存在することになりますが、この場合、外側の関数Fと内側の関数F は異なる意味を持つことになります。内側の関数はO(fx)の形式を持ち、外側の関数はY(O(fx))の形式を持つからです。文字 'F' だけが 2 つの関数に共通していますが、文字自体は何も意味しません。これは、F(Fu)の代わりに(do) : F(Ou)と書けばすぐに明らかになります。Ou = Fu です。これでラッセルのパラドックスは解消されます。(論理哲学論考、3.333)

ラッセルとアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドは、フレーゲが成し遂げられなかったことを達成することを望み、3 巻からなるプリンキピア・マテマティカを執筆しました。彼らは、この目的のために考案した型の理論を使用して、素朴な集合論のパラドックスを排除しようとしました。彼らは、ある意味で算術の基礎を確立することに成功しましたが、それが純粋に論理的な手段によって達成されたことはまったく明らかではありません。プリンキピア・マテマティカは既知のパラドックスを回避し、多くの数学の導出を可能にしましたが、その体系は新しい問題を引き起こしました。

いずれにせよ、1930年から1931年にかけてクルト・ゲーデルは、現在では第一階述語論理として知られる『プリンキピア・マテマティカ』の大部分の論理は完全であるが、ペアノ算術は無矛盾であれば必然的に不完全であることを証明した。これは、普遍的ではないものの、フレーゲの論理主義プログラムが完成不可能であること を示したと広く考えられている。

2001年、ラッセルのパラドックスの100年を祝う国際会議がミュンヘンで開催され、その議事録が出版された。^[12]

このパラドックスには、現実の状況に近いバージョンがいくつかあり、論理学者以外の人にも理解しやすいかもしれません。たとえば、理髪師のパラドックスでは、自分で髭を剃らない男性全員の髭を剃る理髪師を想定し、自分で髭を剃らない男性だけを剃ります。理髪師が自分で髭を剃るべきかどうかを考えると、同様のパラドックスが浮かび上がります。^[25]

床屋のパラドックスのような「素人バージョン」に対する簡単な反論は、そのような床屋は存在しない、または床屋は人間ではないのでパラドックスなしで存在できる、ということのようです。ラッセルのパラドックスの要点は、「そのような集合は存在しない」という答えは、与えられた理論における集合の概念の定義が不十分であることを意味するということです。「そのような集合は存在しない」という文と「それは空集合である」という文の違いに注意してください。それは、「バケツはない」と言うことと「バケツは空である」と言うことの違いのようなものです。

上記に対する注目すべき例外は、グレリング・ネルソンのパラドックスかもしれない。このパラドックスでは、人や髪の切り方ではなく、言葉と意味がシナリオの要素である。床屋のパラドックスに対して、そのような床屋は存在しない（そして存在し得ない）と言って反駁するのは簡単だが、意味のある定義された言葉について同様のことを言うことは不可能である。

このパラドックスをドラマチックに表現した例を次に示します。すべての公共図書館が所蔵するすべての書籍のカタログを作成しなければならないとします。カタログ自体が図書館の書籍の 1 つであるため、一部の司書は完全性のためにカタログに含めますが、他の司書はそれが図書館の書籍の 1 つであることは自明であるためカタログから除外します。次に、これらすべてのカタログが国立図書館に送られたと想像してください。カタログの中には、自分自身をリストに含めるものもあれば、含めないものもあります。国立図書館の司書は、自分自身をリストするすべてのカタログと、自分自身をリストしないすべてのカタログの 2 つのマスター カタログを作成します。

問題は、これらのマスター カタログは、それ自体をリストするべきかどうかです。「それ自体をリストするすべてのカタログのカタログ」は問題ありません。司書がそれを自身のリストに含めない場合、それはそれ自体を含むカタログの真のカタログのままです。司書がそれを含める場合、それはそれ自体をリストするカタログの真のカタログのままです。しかし、司書が最初のマスター カタログで間違いを犯すことができないのと同じように、2 つ目のマスター カタログでは失敗する運命にあります。「それ自体をリストしないすべてのカタログのカタログ」に関しては、司書はそれを自身のリストに含めることはできません。なぜなら、そうするとそれ自体が含まれることになり、他のカタログ、つまりそれ自体を含むカタログのカタログに属することになるからです。しかし、司書がそれを省略した場合、カタログは不完全になります。どちらにしても、それ自体をリストしないカタログの真のマスター カタログにはなり得ません。

上で理髪師のパラドックスについて説明したように、ラッセルのパラドックスを拡張するのは難しくありません。次の例を見てみましょう。

• 他動詞⟨V⟩は、その 名詞形に適用できます。

文を作ります:

⟨V⟩は、 ⟨V⟩をしない人すべて（そしてその人たちだけ）のことです。

時々、「すべて」は「すべての⟨V⟩者」に置き換えられます。

例としては「ペイント」が挙げられます。

絵を描く画家は、自分で絵を描かない人全員（そしてその人たちだけ）を描く。

または「選出」

自分で選ばなかった人全員を選ぶ選挙人または（代表者）です。

ビッグバン・セオリーのシーズン8のエピソード「スカイウォーカーの侵入」で、シェルドン・クーパーは「 Play That Funky Music 」という曲を分析し、その歌詞はラッセルのパラドックスの音楽的な例を示していると結論付けている。^[26]

このスキームに当てはまるパラドックスには次のものがあります。

• 「ひげそり」の床屋さん。
• 「含む」という元のラッセルのパラドックス: 自分自身を含まないすべてのコンテナ (コンテナ) を含むコンテナ (セット)。
• 「記述子」に関するグレリング・ネルソンのパラドックス: 記述子 (単語) は、それ自体を説明しないすべての単語を説明します。
• 「表示」に関するリチャードのパラドックス: 自分自身を表示しないすべての表示者 (数) を表示する表示者 (数)。(このパラドックスでは、数のすべての記述に番号が割り当てられます。「自分自身を表示しないすべての表示者 (数) を表示する」という用語は、ここではリチャードのパラドックスと呼ばれます。)
• 「私は嘘をついている。」、つまり嘘つきのパラドックスとエピメニデスのパラドックスは、その起源は古代に遡る。
• ラッセル・マイヒルのパラドックス

• Burali -Forti パラドックス、すべての整列順序の順序型について
• クリーネ・ロッサーのパラドックスは、自己否定文によって、元のラムダ計算が矛盾していることを示す。
• カリーのパラドックス（ハスケル・カリーにちなんで名付けられた）は、否定を必要としない。
• 最も小さくて面白くない整数のパラドックス
• タイプ理論におけるジラールのパラドックス

• 基本法 V
• カントールの対角線論証 – 集合論における証明
• ゲーデルの不完全性定理 – 数理論理学における極限的結果
• ヒルベルトの第一問題 – 数理論理学における命題リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 「表示について」
• 集合論のパラドックス
• クワインのパラドックス
• 自己言及
• 自己言及的パラドックスのリスト
• 奇妙なループ – 階層システム内の複数のレベルを通過する循環構造
• 普遍集合 – すべてのオブジェクトを含む数学的集合

• カプラン、ジェフリー（2022年）。「ラッセルのパラドックス - 深刻な問題の簡単な説明」。YouTube 。 2023年11月25日閲覧。

ウィキバーシティにはラッセルのパラドックスに関する学習リソースがあります

• 「ラッセルのパラドックス」。インターネット哲学百科事典。
• アーヴァイン、アンドリュー・デイヴィッド（2016年）。「ラッセルのパラドックス」。ザルタ、エドワード・N（編）『スタンフォード哲学百科事典』。
• ワイスタイン、エリック W.「ラッセルのアンチノミー」。MathWorld。
• 「ラッセルのパラドックス」。Cut -the-Knot 。 2023年11月25日閲覧。