シェファー脳卒中

ブール関数と命題論理において、シェファーストロークは、論理積演算の否定に相当する論理演算を表し、日常言語では「両方ではない」と表現されます。これは、非論理積、代替否定（オペランドの少なくとも一方が偽であることを示しているため）、またはNAND（「否定かつ」）とも呼ばれます。^{[ 1 ]}デジタルエレクトロニクスでは、 NANDゲートに対応します。ヘンリー・モーリス・シェファーにちなんで名付けられ、次のように表記されます。${\displaystyle \mid }$または${\displaystyle \uparrow }$または${\displaystyle {\overline {\wedge }}}$または${\displaystyle Dpq}$ルカシェヴィチによるポーランド記法では（ただし、選言を表すためによく使われる || とは異なります）。

その双対はNOR演算子（ピアースの矢、クワインの短剣、またはウェッブ演算子とも呼ばれる）です。双対と同様に、NANDは他の論理演算子を必要とせずに単独で使用して論理形式体系を構成することができます（NANDは機能的に完全です）。この特性により、NANDゲートはコンピュータプロセッサの設計を含め、現代のデジタルエレクトロニクスにおいて非常に重要なものとなっています。

非論理積は、2つの論理値に対する論理演算です。少なくとも一方の命題が偽である場合に限り、真という値を生成します。

パースは、非連言の機能的完全性を初めて示した（これを次のように表現した）。${\displaystyle {\overline {\curlywedge }}}$）しかし、その結果は公表しなかった。^{[ 2 ] [ 3 ]}ピアースの編集者は付け加えた${\displaystyle {\overline {\curlywedge }}}$) 非選言の場合。^{[ 3 ]}

1911年、スタムはは、非連言の完全性の証明を最初に発表し、それを次のように表現した。${\displaystyle \sim }$（スタムフック）^{[ 4 ]}と非選言が初めて印刷物に登場し、その機能的完全性を示した。^{[ 5 ]}

1913年、シェファーは非選言を次のように説明した。${\displaystyle \mid }$そしてその機能的な完全性を示した。シェファーはまた、${\displaystyle \wedge }$非選言の場合。^{[ 4 ]} 1917年のニコッドに始まり、ホワイトヘッドとラッセルに続いた多くの人々は、シェファーが非連言を次のように説明したと誤解していた。${\displaystyle \mid }$そして、この記号をシェファー・ストロークと名付けた。

1928年、ヒルベルトとアッカーマンは演算子との非結合について記述した。${\displaystyle /}$[ ^{6 ] [ 7 ]​}

1929年、ルカシェヴィチは${\displaystyle D}$で${\displaystyle Dpq}$彼のポーランド記法では非接続詞を表す。^{[ 8 ]}

非連言の別の表記法は次のとおりです。${\displaystyle \uparrow }$この表記法を最初に導入した人物は不明だが、対応する${\displaystyle \downarrow }$非選言については、1940年にクワインが使用した。^{[ 9 ]}

このストロークは、 1913 年に米国数学会紀要^{[ 10 ]}に論文を発表したHenry Maurice Shefferにちなんで名付けられました。彼はこのストロークを使用してブール代数の公理化を提供し、命題論理のよく知られた演算子( AND、OR、NOT ) を使用したHuntingtonによる標準的な定式化と等価であることを証明しました。ブール代数の自己双対性により、Sheffer の公理は、ストロークの代わりに NAND または NOR 演算のどちらを使用しても同様に有効です。Sheffer は論文の中でこのストロークを非選言 ( NOR ) の記号として解釈し、非連言については脚注でのみ言及し、特別な記号は使用しませんでした。このストロークを非連言 ( NAND ) の記号として初めて使用したのはJean Nicodで、1917 年の論文で、これが現在の慣習となっています。^{[ 11 ] [ 12 ]}ラッセルとホワイトヘッドは、1927年のプリンキピア・マテマティカ第2版でシェファーストロークを使用し、第1版の「OR」と「NOT」演算の代替として提案しました。

チャールズ・サンダース・パース（1880年）は、30年以上前にアンフェック（「両方向に切る」という意味）という用語を用いてNANDまたはNORの機能的完全性を発見したが、その発見を公表することはなかった。シェファーの2年前、エドワード・スタムもNANDおよびNOR演算子について説明し、他のブール演算もそれによって表現できることを示した。^{[ 5 ]}

NANDは可換性はあるが結合性はない。つまり、${\displaystyle P\uparrow Q\leftrightarrow Q\uparrow P}$しかし${\displaystyle (P\uparrow Q)\uparrow R\not \leftrightarrow P\uparrow (Q\uparrow R)}$[ ^{13 ]​}

NANDの観点から表現${\displaystyle \uparrow }$命題論理の一般的な演算子は次のとおりです。

• ユゼフ・マリア・ボチェンスキー;メンネ、アルベルト・ハインリヒ[ドイツ語] (1960)数理論理学の正確さ。バード、オットー訳（改訂 版）。オランダ、南ホラント州ドルドレヒト: D. ライデル。(注: フランス語版とドイツ語版から編集および翻訳: Précis de logique mathématique )
• チャールズ・サンダース・パース(1931–1935) [1880]。「定数1つを持つブール代数」。チャールズ・ハートショーン、ポール・ワイス編『チャールズ・サンダース・パース論文集』第4巻 、ケンブリッジ：ハーバード大学出版局、12–20頁。 

• シェファーの脳卒中に関する記事（インターネット哲学百科事典掲載）
• http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electronic/nand.html
• 2入力および4入力NANDゲートの実装
• 瀬戸康夫氏によるストローク関数を用いたいくつかの公理の証明@ Project Euclid