非述語性

数学、論理学、数学の哲学において、非述語的なものとは自己参照的な 定義のことである。大まかに言えば、定義が非述語的であるのは、定義される集合、または（より一般的には）定義されるものを含む別の集合を呼び出す（言及または量化する）場合である。述語的または非述語的であるとはどういうことかについて、一般に受け入れられている正確な定義はない。著者は、異なるが関連する定義を与えている。

非予測性の反対は述語性であり、これは本質的に、ある「レベル」の型に対する量化が新しい、より高いレベルの型をもたらす、階層化された（または分岐した）理論の構築を伴います。典型的な例は直観主義型理論であり、これは（明示的なレベルなしで）分岐を保持し、非予測性を破棄します。ここでの「レベル」は、用語定義の依存関係の層の数に対応します。

ラッセルのパラドックスは、非述語的構成、つまり、自分自身を含まないすべての集合の集合の有名な例です。パラドックスは、そのような集合は存在できないというものです。もし存在するとしたら、それが自分自身を含むかどうかという疑問が生じます。もし含むなら、定義により、それは含むべきではなく、含まないなら、定義により、それは含むべきです。

集合Xの最大下限glb ( X )にも非述語的定義があります。つまり、Xのすべての要素xについてyが x以下であり、Xのすべての要素以下の任意の z が y 以下である場合に限り、y = glb ( X )となります。この定義は、メンバーが X の下限であり、そのメンバーの 1 つが glb 自体である集合 (問題の順序によっては無限になる可能性もあります) を量化します。したがって、述語主義はこの定義を拒否します。^[1]

「述語的」および「非述語的」という用語はラッセル (1907) によって導入されましたが、その意味はそれ以来少し変化しました。

ソロモン・フェファーマンは述語性の歴史的レビューを行い、それを現在の未解決の研究課題と関連付けています。^[2]

悪循環原理は、パラドックスをきっかけに、アンリ・ポアンカレ（1905–6、1908）^[3]とバートランド・ラッセルによって、正当な集合の仕様に対する要件として提案されました。この要件を満たさない集合は非予測的と呼ばれます。

最初の現代的なパラドックスは、チェーザレ・ブラーリ＝フォルティの1897年の「超限数に関する問題」^{[4]で現れ、}ブラーリ＝フォルティのパラドックスとして知られるようになった。ゲオルク・カントールは、彼（カントール）の「素朴な」集合論で同じパラドックスを発見したようで、これはカントールのパラドックスとして知られるようになった。ラッセルがこの問題に気づいたのは、1901年6月^[5]、フレーゲの数理論理学の論文、1879年のBegriffsschriftを読んだときで、フレーゲの問題の文章は次の通りである。

一方、引数が決定的であり関数が不確定である可能性もあります。^[6]

言い換えれば、関数 f ( a )が与えられた場合、関数fは変数であり、関数 aは不変部分です。では、なぜf自体を値f ( a )に置き換えないのでしょうか。ラッセルはすぐにフレーゲに手紙を書き、次のことを指摘しました。

あなたは、関数も不確定要素として作用できると述べています。これは私が以前信じていたことですが、現在この見解は次のような矛盾があるため疑わしいように思われます。wを述語とします。つまり、それ自体で述語化できない述語です。wはそれ自体で述語化できますか? それぞれの答えから、その反対が導かれます。したがって、 w は述語ではないと結論付けなければなりません。同様に、それぞれが全体としてとらえられたときに、それ自体に属さないクラスのクラス (全体として) は存在しません。このことから、特定の状況下では、定義可能なコレクションは全体を形成しないと結論付けます。^[7]

フレーゲはすぐにラッセルに返信し、問題を認めた。

あなたが矛盾を発見したことは、私に大きな驚きと、ほとんど仰天をもたらしました。なぜなら、それは私が算数を構築しようとしていた基礎を揺るがしたからです。^[8]

この問題は両者にとって個人的に不利な結果をもたらしたが（両者とも印刷所に提出した作品に修正が必要だった）、ファン・ヘイエノールトは「このパラドックスは論理学者の世界を揺るがし、その衝撃は今日でも続いている。…集合と要素という単純な概念を使用するラッセルのパラドックスは、論理学の分野に完全に当てはまる。このパラドックスはラッセルによって初めて『数学の原理』（1903年）で発表され、そこで非常に詳細に論じられている…」と述べている。^{[9]ラッセルは、6年間の試行錯誤の末、最終的に1908年の型理論で「}還元公理を提唱した。それは、あらゆる関数は彼が述語関数と呼ぶものと同じ広がりを持つと述べている。述語関数とは、見かけ上の変数の型が引数の型よりも高くならない関数である」。^[10]しかし、この「公理」はあらゆる方面から抵抗を受けた。

非述語的に定義された数学的対象を拒否する（一方で、自然数は古典的に理解されているように受け入れる）ことは、数学哲学において述語主義として知られる立場につながる。これは、アンリ・ポアンカレとヘルマン・ワイルが著書『連続体』で提唱した。ポアンカレとワイルは、非述語的定義が問題となるのは、1 つ以上の基礎集合が無限である場合のみであると主張した。

エルンスト・ツェルメロは、1908 年の著書「整列可能性の新しい証明」^{[11]で、「b.}非述語的定義に関する反論」という1 つのセクションを丸々設け、そこで「ポアンカレ (1906、p. 307) [は、定義は「述語的」であり、定義された概念に依存するすべてのオブジェクト、つまり、定義によって何らかの方法で決定できるすべてのオブジェクトを除外する場合のみ、論理的に許容される」と述べている」 ^[12]に反論している。彼は、非述語的定義の 2 つの例を挙げている。(i) デデキント連鎖の概念と (ii) 「解析において、以前に定義された「完全な」数集合Zの最大値または最小値がさらなる推論に使用される場合。これは、たとえば、よく知られているコーシーの証明で発生します...」。^[13]彼はこのセクションを次のような観察で締めくくっている。「定義は、定義されるものと同等の概念に依存する可能性が非常に高い。実際、あらゆる定義において、定義者と定義対象は同等の概念であり、ポアンカレの要求を厳密に遵守すると、あらゆる定義、ひいては科学のすべてが不可能になるだろう」。^[14]

ツェルメロの、以前に定義された「完全な」数の集合の最小値と最大値の例は、クリーネ1952:42-42 に再び登場し、そこでクリーネは、非述語的定義の議論の中で最小上限の例を使用しています。クリーネはこの問題を解決していません。次の段落では、ワイルが 1918 年のDas Kontinuum (連続体) で非述語的定義を排除しようとしたことと、「上限を持つ任意の空でない実数集合Mには最小上限があるという定理(Weyl 1919 も参照)」を保持できなかったことについて説明しています。^[15]

ラムゼイは、「非述語的」な定義は無害である可能性があると主張しました。たとえば、「部屋で一番背の高い人」の定義は、それが要素となっているものの集合、つまり部屋にいるすべての人物の集合に依存しているため、非述語的です。数学に関して、非述語的定義の例は、集合内の最小の数であり、これは正式には次のように定義されます。y = min( X )である場合、かつその場合のみ、 Xのすべての要素xに対して、y がx以下であり、y がX内にあります。

バージェス（2005）は、フレーゲ論理、ペアノ算術、第二階算術、公理的集合論の文脈で、述語的理論と非述語的理論について詳しく論じている。

• ゲーデル、エッシャー、バッハ
• 非述語的多態性
• 論理主義
• リチャードのパラドックス

• 「述語的定義と非述語的定義」、インターネット哲学百科事典
• 述語主義に関する PlanetMath の記事
• ジョン・バージェス、2005年。『フレーゲの修正』プリンストン大学出版局。
• Solomon Feferman、2005年、「述語性」、オックスフォード数学・論理哲学ハンドブック、オックスフォード大学出版局、590-624ページ。
• ラッセル、B. (1907)、「超限数と順序型の理論におけるいくつかの困難について」、ロンドン数学会誌、s2–4 (1): 29–53、doi :10.1112/plms/s2-4.1.29
• Stephen C. Kleene 1952 (1971 版)、Introduction to Metamathematics、North-Holland Publishing Company、アムステルダム、NY、ISBN 0-7204-2103-9。特に、§11 パラドックス(pp. 36–40) および§12 パラドックスからの最初の推論非予測的定義 (p. 42) を参照してください。彼は、6 つほどの (有名な) パラドックス (アンチノミー) の例はすべて非予測的定義の例であると述べ、ポアンカレ (1905–6、1908) とラッセル (1906、1910) は「パラドックスの原因はこれらの非予測的定義にあると明言した」 (p. 42) が、「特に解析学など、私たちが保持したい数学の一部にも非予測的定義が含まれている」と述べています。 (同上) ワイルは 1918 年の著書「連続体」で、非述語的定義を使わずに可能な限り多くの解析を導こうとしたが、「上限を持つ実数の任意の空でない集合 M には最小の上限があるという定理は導かなかった (Weyl 1919 も参照)」(p. 43)。 
• Hans Reichenbach 1947, Elements of Symbolic Logic , Dover Publications, Inc., NY, ISBN 0-486-24004-5。§40 . アンチノミーと型の理論を参照 (pp. 218 — ここで彼は、予測不可能の定義自体 (「「予測不可能」の定義は予測不可能か?」) を含むアンチノミーの作成方法を示している)。彼は、型の理論を使用して「構文のパラドックス」(「論理的パラドックス」) を、メタ言語 (彼の「言語レベルの理論」) を使用して「意味のパラドックス」を排除する方法を示したと主張している。彼はこの概念の提案をラッセル、より具体的にはラムゼイに帰している。 
• Jean van Heijenoort 1967、1976 年第 3 刷、「From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931」、Harvard University Press、Cambridge MA、ISBN 0-674-32449-8 (pbk.) 
• Zermelo, E. (1908)、「Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung」、Mathematische Annalen (ドイツ語)、65 : 107–128、doi :10.1007/BF01450054、JFM  38.0096.02