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構造主義は数学の哲学における理論であり、数学理論は数学的対象の構造を記述するものであると主張する。数学的対象は、そのような構造における位置によって徹底的に定義される。したがって、構造主義は、数学的対象は固有の特性を持たず、システムにおける外部関係によって定義されると主張する。たとえば、構造主義は、数 1 は自然数理論の構造において 0 の後継数として徹底的に定義されると主張する。この例を一般化すると、あらゆる自然数はその理論におけるそれぞれの位置によって定義される。数学的対象の他の例としては、幾何学における直線や平面、抽象代数における要素や演算などがあげられる。
構造主義は、数学的命題は客観的な真理値を持つという点で、認識論的に 現実的な見解である。しかし、その中心的な主張は、数学的対象がどのような実体であるかということにのみ関係しており、数学的対象または構造がどのような存在を持っているかということには関係していない（言い換えれば、それらの存在論には関係していない）。数学的対象がどのような存在を持っているかは、それらが埋め込まれている構造の存在に依存する。この点に関して、構造主義のさまざまな亜種はさまざまな存在論的主張をしている。[1]
数学の哲学における構造主義は、特にポール・ベナセラフ、ジェフリー・ヘルマン、マイケル・レズニック、スチュワート・シャピロ、ジェームズ・フランクリンと関連しています。
歴史的動機
構造主義の発展の歴史的な動機は、存在論の根本的な問題に由来しています。中世以来、哲学者たちは数学の存在論に抽象的な対象が含まれているかどうかについて議論してきました。数学の哲学では、抽象的な対象は伝統的に次のような実体として定義されています。
（１）心から独立して存在する
（２）経験的世界から独立して存在する。そして
（３）永遠不変の性質を持つ。
伝統的な数学的プラトン主義は、自然数、実数、関数、関係、システムといった数学的要素の集合がそのような抽象的オブジェクトであると主張します。対照的に、数学的唯名論は、数学の存在論においてそのような抽象的オブジェクトの存在を否定します。
19 世紀後半から 20 世紀初頭にかけて、反プラトン主義のプログラムが数多く人気を集めました。これには直観主義、形式主義、述語主義が含まれます。しかし、20 世紀半ばまでに、これらの反プラトン主義理論には独自の問題がいくつかありました。その結果、プラトン主義への関心が再び高まりました。この歴史的背景の中で、構造主義の動機が生まれました。1965 年、ポール・ベナセラフは「数にはあり得ないもの」と題する論文を発表しました。[2] ベナセラフは、2 つの主要な議論に基づいて、集合論的プラトン主義は数学の哲学的理論としては成功できないと結論付けました。
まず、ベナセラフはプラトン的なアプローチは存在論的テストに合格しないと主張した。 [2] 彼は集合論的プラトン主義の存在論に反対する議論を展開したが、これは歴史的にベナセラフの同一視問題と呼ばれている。ベナセラフは、自然数を純粋集合に関係付ける集合論的な方法は、要素的に同値であると指摘した。しかし、自然数を純粋集合に関係付ける「真の」同一性ステートメントを求めると、これらの要素的に同値な集合が互いに関係付けられるときに、異なる集合論的方法は矛盾した同一性ステートメントを生み出す。[2] これにより、集合論的な虚偽が生じる。その結果、ベナセラフは、この集合論的な虚偽は、抽象的な対象を明らかにするプラトン的な方法で数を集合に還元することは不可能であることを示していると推論した。
第二に、ベナセラフはプラトン的なアプローチは認識論のテストに合格しないと主張した。ベナセラフは、抽象的な対象にアクセスするための経験的または合理的な方法は存在しないと主張した。数学的対象が空間的または時間的ではない場合、ベナセラフはそのような対象は知識の因果理論を通じてアクセスできないと推論する。[3] したがって、プラトン主義者にとって、限られた経験的な心を持つ数学者が、心や世界から独立した永遠の真実に正確にアクセスできる方法について、もっともらしい説明を提供するという基本的な認識論的問題が生じる。これらの考慮、つまり存在論的議論と認識論的議論から、ベナセラフの反プラトン的批判が数学の哲学における構造主義の発展の動機となったのである。
品種
スチュワート・シャピロは構造主義を3つの主要な学派に分類しています。[4]これらの学派は、アンテ・レム、イン・レム、ポスト・レムと呼ばれています。
- 先行構造主義[5]（「事物以前」）、あるいは抽象構造主義[4]あるいは抽象主義[6] [7]（特にマイケル・レズニック[4] 、スチュワート・シャピロ[4] 、エドワード・N・ザルタ[8]、オイステイン・リンネボと関連）[9] は、プラトン主義（様相新論理主義も参照）と類似の存在論を持つ。構造は現実的だが抽象的で非物質的な存在であると考えられている。そのため、ベナセラフが指摘したように、そのような抽象構造と生身の数学者との間の相互作用を説明するという標準的な認識論的問題に直面する。[3]
- 構造主義[ 5]（「物の中に」）[5]または様相構造主義[4] （特にジェフリー・ヘルマンと関連）[4]は、アリストテレス的実在論[10]（真理値においては実在論だが、存在論においては抽象的対象についての反実在論）に相当する。構造は、何らかの具体的なシステムがそれを例示する限りにおいて存在するとされる。これにより、完全に正当な構造が偶然存在しないことがある、有限の物理的世界は、そうでなければ正当な構造を収容できるほど「大きく」ない可能性があるという、通常の問題が生じる。ジェームズ・フランクリンのアリストテレス的実在論もまた構造主義であり、対称性などの構造特性は物理的世界に具体化され、知覚可能であると主張している。[11]物理的世界に収まらないほど大きい具体化されていない構造の問題に対して、フランクリンは、他の科学も具体化されていない普遍性を扱うことができると答えている。例えば、色彩科学では、現実の物体には存在しない青の色合いを扱うことができます。[12]
- ポストレム構造主義[13]（「事物の後の」）または排除的構造主義[4] （特にポール・ベナセラフと関連）[4]は、構造に関して反実在論的であり、名目論と類似している。名目論と同様に、ポストレムアプローチは、関係構造における位置以外の特性を持つ抽象的な数学的対象の存在を否定する。この見解によれば、数学的システムが存在し、共通の構造的特徴を持つ。ある構造に当てはまることがあれば、その構造を例示するすべてのシステムに当てはまる。しかし、システム間で構造が「共通に保持されている」と語るのは単なる手段に過ぎず、実際にはそれらは独立した存在ではない。
参照
先駆者
参考文献
- ^ ブラウン、ジェームズ (2008)。数学の哲学。ラウトレッジ。p. 62。ISBN 978-0-415-96047-2。
- ^ abcベナセラフ、 ポール(1965)。「数字ではあり得ないもの」。哲学評論。74 (1): 47–73。doi :10.2307 / 2183530。JSTOR 2183530。
- ^ ab Benacerraf, Paul (1983). 「数学の真実」。 Putnam, HW; Benacerraf, P. (編)。数学の哲学: 選集(第 2 版)。 Cambridge University Press。 pp. 403–420。ISBN 978-0-521-29648-9。
- ^ abcdefgh シャピロ、スチュワート（1996年5月）。「数学的構造主義」。哲学数学。4 （2）：81-82。doi ： 10.1093/philmat/4.2.81。
- ^ abc シャピロ 1997、p.9
- ^ テナント、ニール (2017)、「論理主義と新論理主義」、ザルタ、エドワード N. (編)、スタンフォード哲学百科事典(2017 年冬版)、スタンフォード大学形而上学研究室、 2022 年 7 月 10 日取得。
- ^ 抽象主義のプラトン主義と混同しないでください。
- ^ Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (2011 年 2 月)。「論理的に首尾一貫した Ante Rem 構造主義」(PDF)。オントロジー依存性ワークショップ。ブリストル大学。
- ^ リンネボ、オイステイン（2018）。薄いオブジェクト：抽象主義の説明。オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-255896-1。
- ^ da Silva, Jairo José (2017). 数学とその応用: 超越論的観念論的視点. Springer. p. 265. ISBN 978-3-319-63073-1。
- ^ フランクリン 2014、48～59ページ
- ^フランクリン、ジェームズ（ 2015年）。「非インスタンス化特性と半プラトン主義アリストテレス主義」。形而上学評論。69 （1）：25–45。JSTOR 24636591。2021年6 月29日閲覧。
- ^ Nefdt, Ryan M. (2018). 「推論主義と構造主義: 2つの理論の物語」Logique et Analyse . 244 : 489–512. doi :10.2143/LEA.244.0.3285352.
文献
- フランクリン、ジェームズ (2014)。『数学のアリストテレス的実在論哲学：量と構造の科学としての数学』パルグレイブ・マクミラン。ISBN 978-1-137-40072-7。
- Resnik, Michael (1982). 「パターンの科学としての数学: 認識論」. Noûs . 16 (1): 95–105. doi :10.2307/2215419. JSTOR 2215419.
- レスニック、マイケル（1997）。パターンの科学としての数学。クラレンドン・プレス。ISBN 978-0-19-825014-2。
- シャピロ、スチュワート (1997)。数学の哲学: 構造と存在論。オックスフォード大学出版局。doi : 10.1093/ 0195139305.001.0001。ISBN 978-0-19-513930-3。
外部リンク
- 数学的構造主義、インターネット哲学百科事典
- 抽象主義、インターネット哲学百科事典
- 英国ブリストル大学構造主義基礎研究プロジェクト