オーダーペア

ノルベルト・ウィーナーは1914年に順序対の最初の集合論的定義を提案した。^{[ 7 ]}$${\displaystyle \left(a,b\right):=\left\{\left\{\left\{a\right\},\,\emptyset \right\},\,\left\{\left\{b\right\}\right\}\right\}.}$$彼は、この定義によって『プリンキピア・マテマティカ』の型を集合として 定義することが可能になったと指摘した。 『プリンキピア・マテマティカ』は、型、ひいてはあらゆる位数の関係を原始的なものとして捉えていた。

ウィーナーは、クラス内のすべての要素が同じ「型」でなければならないという型理論と定義を互換性のあるものにするために、 { b }の代わりに{{ b }} を使用しました。bが追加のセット内にネストされている場合、その型は等しくなります。${\displaystyle \{\{a\},\emptyset \}}$の。

ウィーナー（1914年）とほぼ同時期に、フェリックス・ハウスドルフは自身の定義を提唱した。 $${\displaystyle (a,b):=\left\{\{a,1\},\{b,2\}\right\}}$$ 「ここで、1と2はaとbとは異なる2つの異なるオブジェクトである。」^{[ 8 ]}

1921年にカジミエシュ・クラトフスキは、現在受け入れられている 順序対( a , b )の定義^{[ 9 ] [ 10 ]}を提示した。 $${\displaystyle (a,\ b)_{K}\;:=\ \{\{a\},\ \{a,\ b\}\}.}$$ 第1座標と第2座標が同一の場合、定義は次のようになる。 $${\displaystyle (x,\ x)_{K}=\{\{x\},\{x,\ x\}\}=\{\{x\},\ \{x\}\}=\{\{x\}\}}$$

ある順序対pが与えられたとき、「 xはpの最初の座標である」という性質は次のように定式化できる。 $${\displaystyle \forall Y\in p:x\in Y.}$$「 xはpの2番目の座標である」 という性質は、次のように定式化できる。 $${\displaystyle (\exists Y\in p:x\in Y)\land (\forall Y_{1},Y_{2}\in p:(x\in Y_{1}\land x\in Y_{2})\rightarrow Y_{1}=Y_{2}).}$$ 左と右の座標が同じ場合、右結合${\displaystyle (\forall Y_{1},Y_{2}\in p:(x\in Y_{1}\land x\in Y_{2})\rightarrow Y_{1}=Y_{2})}$これは自明に正しい。なぜなら${\displaystyle Y_{1}=Y_{2}}$その通りです。

もし${\displaystyle p=(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}}$それから：

${\displaystyle \bigcap p=\bigcap {\bigg \{}\{x\},\{x,y\}{\bigg \}}=\{x\}\cap \{x,y\}=\{x\},}$

${\displaystyle \bigcup p=\bigcup {\bigg \{}\{x\},\{x,y\}{\bigg \}}=\{x\}\cup \{x,y\}=\{x,y\}.}$

ペアの最初の座標を抽出するには、次のようにします（任意の交差と任意の和集合に対して反復演算表記を使用します）。 $${\displaystyle \pi _{1}(p)=\bigcup \bigcap p=\bigcup \{x\}=x.}$$

2番目の座標を抽出する方法は以下のとおりです。 $${\displaystyle \pi _{2}(p)=\bigcup \left\{\left.a\in \bigcup p\,\right|\,\bigcup p\neq \bigcap p\rightarrow a\notin \bigcap p\right\}=\bigcup \left\{\left.a\in \{x,y\}\,\right|\,\{x,y\}\neq \{x\}\rightarrow a\notin \{x\}\right\}=\bigcup \{y\}=y.}$$

（もし${\displaystyle x\neq y}$すると、セット${\displaystyle \{y\}}$より簡単に入手できる方法：${\displaystyle \{y\}=\{\left.a\in \{x,y\}\,\right|\,a\notin \{x\}\}}$しかし、前述の式では、次のケースも考慮されています。${\displaystyle x=y}$）

ご了承ください${\displaystyle \pi _{1}}$そして${\displaystyle \pi _{2}}$定義域と値域が適切なクラスであるという意味で、一般化された関数である。

ロッサー（1953）^{[ 14 ]}は、クワインによる順序対の定義を採用したが、これは自然数の事前定義を必要とする。${\displaystyle \mathbb {N} }$自然数の集合とし、まず定義する。 $${\displaystyle \sigma (x):={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\notin \mathbb {N} ,\\x+1,&{\text{if }}x\in \mathbb {N} .\end{cases}}}$$ 機能${\displaystyle \sigma }$引数が自然数の場合はその引数をインクリメントし、そうでない場合はそのままにします。0 は範囲に現れません。${\displaystyle \sigma }$。 として${\displaystyle x\setminus \mathbb {N} }$は、${\displaystyle x}$ない${\displaystyle \mathbb {N} }$続ける $${\displaystyle \varphi (x):=\sigma [x]=\{\sigma (\alpha )\mid \alpha \in x\}=(x\setminus \mathbb {N} )\cup \{n+1:n\in (x\cap \mathbb {N} )\}.}$$ これは集合の集合イメージです${\displaystyle x}$下${\displaystyle \sigma }$、時には と表記される${\displaystyle \sigma ''x}$同様に。関数を適用する${\displaystyle \varphi }$集合xに対して、その集合内のすべての自然数を単純に増加させる。特に、${\displaystyle \varphi (x)}$0 は決して含まれないため、任意の集合xとyに対して、 $${\displaystyle \varphi (x)\neq \{0\}\cup \varphi (y).}$$ さらに定義する $${\displaystyle \psi (x):=\sigma [x]\cup \{0\}=\varphi (x)\cup \{0\}.}$$ これにより、${\displaystyle \psi (x)}$常に0という数字を含みます。

最後に、順序対 ( A , B ) を互いに素な和集合として 定義する。$${\displaystyle (A,B):=\varphi [A]\cup \psi [B]=\{\varphi (a):a\in A\}\cup \{\varphi (b)\cup \{0\}:b\in B\}.}$$ （それは${\displaystyle \varphi ''A\cup \psi ''B}$（別表記法）

0を含まないペアのすべての要素を抽出し、元に戻す${\displaystyle \varphi }$Aが得られます。同様に、B は、0 を含むペアの要素から復元できます。^{[ 15 ]}

例えば、ペア${\displaystyle (\{\{a,0\},\{b,c,1\}\},\{\{d,2\},\{e,f,3\}\})}$エンコードされる${\displaystyle \{\{a,1\},\{b,c,2\},\{d,3,0\},\{e,f,4,0\}\}}$提供された${\displaystyle a,b,c,d,e,f\notin \mathbb {N} }$。

型理論や、公理的集合論NFなどの派生理論では、クワイン・ロッサー対は射影と同じ型を持つため、「型レベル」の順序対と呼ばれます。したがって、この定義には、順序対の集合として定義される関数が、引数の型より 1 だけ高い型を持つことができるという利点があります。この定義は、自然数の集合が無限である場合にのみ有効です。これはNFでは当てはまりますが、型理論やNFUでは当てはまりません。J . バークレー・ロッサーは、このような型レベルの順序対 (あるいは「型を 1 上げる」順序対) の存在が無限公理を意味することを示しました。クワイン集合論の文脈における順序対の詳細な議論については、Holmes (1998) を参照してください。^{[ 16 ]}

集合論の発展初期、パラドックスが発見される前に、カントールはフレーゲに倣い、関係の概念が原始的であると仮定して、2つの集合の順序対をこれらの集合間に成り立つすべての関係のクラスとして定義した。^{[ 17 ]}$${\displaystyle (x,y)=\{R:xRy\}.}$$

この定義は、現代の形式化された集合論のほとんどでは受け入れられず、与えられた集合と同等の力を持つすべての集合のクラスとして集合の濃度を定義する方法論に似ています。^{[ 18 ]}

モース＝ケリー集合論は、真クラスを自由に利用する。^{[ 19 ]}モースは、射影が集合だけでなく真クラスにもなり得るように順序対を定義した。（クラトフスキーの定義ではこれは許されない。）彼はまず、クラトフスキーの方法で射影が集合となる順序対を定義した。次に、彼はその順序対 を再定義した。$${\displaystyle (x,y)=(\{0\}\times s(x))\cup (\{1\}\times s(y))}$$ ここで、構成要素のデカルト積はクラトフスキー集合のペアであり、 $${\displaystyle s(x)=\{\emptyset \}\cup \{\{t\}\mid t\in x\}}$$

これにより、射影が適切なクラスであるような可能なペアが得られます。上記のクワイン・ロッサーの定義も、射影として適切なクラスを認めています。同様に、トリプルは次のように3タプルとして定義されます。 $${\displaystyle (x,y,z)=(\{0\}\times s(x))\cup (\{1\}\times s(y))\cup (\{2\}\times s(z))}$$

シングルトンセットの使用${\displaystyle s(x)}$挿入された空集合を持つタプルは、 aがnタプルでbがmタプルであり、a = bならばn = mとなるという一意性を持つことができる。順序対として定義される順序付きトリプルは、順序対に関してこの性質を持たない。