平面（数学）

数学において、平面とは、無限に広がる2 次元空間または平面を 指します。平面は、点(0 次元)、線(1 次元)、および3 次元空間の 2 次元版です。2 次元ユークリッド空間のみを扱う場合は定冠詞が使用されるため、ユークリッド 平面は空間全体を指します。

平面の概念はいくつか定義できます。ユークリッド平面はユークリッド幾何学、特に平行線公理に従います。射影平面は、 2 本の平行線が交差する場所に「無限遠点」を追加して、すべての線分が 1 点で交差するようにすることで作成できます。楕円平面は、実射影平面に距離を追加することでさらに定義できます。また、双曲幾何学に従い、負の曲率を持つ双曲平面を考えることもできます。

抽象的に、位相以外のすべての構造を忘れて、開円板に同相な位相平面を生成することができます。平面をアフィン空間として見ると、距離の概念はありませんが、共線性の概念が保持されるアフィン平面が生成されます。逆に、さらに構造を追加すると、平面を複素直線と呼ばれる1 次元複素多様体として見ることができます。

数学、幾何学、三角法、グラフ理論、グラフ作成における多くの基本的なタスクは、2次元または平面空間で実行されます。^[1]

数学において、ユークリッド平面は2 次元のユークリッド空間で、または で表されます。これは、各点の位置を決定するために2 つの実数が必要となる幾何学的な空間です。これはアフィン空間であり、特に平行線の概念が含まれます。また、距離によって誘導される計量特性も備えており、これにより円の定義や角度の測定が可能になります。 ${\displaystyle {\textbf {E}}^{2}}$${\displaystyle \mathbb {E} ^{2}}$

選択された直交座標系を持つユークリッド平面は、直交平面と呼ばれます。

実数の対の集合（ 実座標平面）は、ドット積を備えており、すべてのユークリッド平面がこれに同型であるため、ユークリッド平面または標準ユークリッド平面と呼ばれることがよくあります。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

ユークリッド幾何学では、平面とは、無限に広がる平らな2次元の 表面のことです。 ユークリッド平面は、多くの場合、 3 次元空間の部分空間として生じます。典型的な例としては、部屋の壁が無限に広がり、その厚さが無限小であると想定されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

実数のペアは平面上の点を記述するのに十分ですが、平面外の点との関係では、周囲空間への埋め込みについて特別な考慮が必要です。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

数学において、射影平面は平面の概念を拡張した幾何学的構造です。通常のユークリッド平面では、2 本の線は通常 1 点で交差しますが、交差しない線 (つまり、平行線) のペアもいくつかあります。射影平面は、平行線が交差する「無限遠点」が追加された通常の平面と考えることができます。したがって、射影平面内の 2つの異なる線は、正確に 1 点で交差します。

ルネサンス期の芸術家たちは、遠近法による描画技法を発展させることで、この数学的なテーマの基礎を築きました。その典型的な例が、拡張ユークリッド平面としても知られる実射影平面です。 ^[4]この例は、若干異なる形で、代数幾何学、位相幾何学、射影幾何学において重要であり、 PG(2, R)、RP ²、P ₂ (R) などさまざまな表記法で表されます。射影平面には、複素射影平面などの無限のものから、ファノ平面などの有限のものまで、他にも数多くあります。

射影平面は 2 次元の射影空間です。すべての射影平面が3 次元の射影空間に埋め込めるわけではありません。このような埋め込み可能性は、すべての射影平面に当てはまるわけではない、デザルグの定理と呼ばれる特性の結果です。

平面は、通常の内積に関して等長である同型性を持つ、よく知られた幾何学的構造に加えて、さまざまな抽象化レベルで見ることができます。各抽象化レベルは、特定のカテゴリに対応します。

極端な場合、すべての幾何学的概念と計量概念を捨てて位相平面を残すことができます。位相平面は、近接の概念は保持しますが距離を持たない、理想化されたホモトピック的に自明な無限のゴムシートと考えることができます。位相平面には線形パスの概念がありますが、直線の概念はありません。位相平面、またはその同等物である開円は、低次元位相幾何学に分類される表面(または 2 次元多様体)を構築するために使用される基本的な位相近傍です。位相平面の同型はすべて連続的な一対一です。位相平面は、平面グラフを扱うグラフ理論の分野や、 4 色定理などの結果の自然なコンテキストです。

平面はアフィン空間として見ることもできます。その同型は、並進と非特異線型写像の組み合わせです。この観点からは距離はありませんが、任意の線上の共線性と距離の比は保存されます。

微分幾何学では、平面を 2 次元の実多様体、つまり微分構造を備えた位相平面と見なします。この場合も距離の概念はありませんが、マップの滑らかさの概念、たとえば微分可能または滑らかなパス (適用される微分構造の種類によって異なります) が存在します。この場合の同型は、選択された微分可能性の次数を持つ全単射です。

抽象化の反対方向では、互換性のある体構造を幾何学的平面に適用して、複素平面と複素解析の主要領域を生み出すことができます。複素体には、実数直線を固定したままにする同型が恒等写像と共役写像の 2 つしかありません。

実数の場合と同様に、平面は最も単純な1 次元(複素数上の複素次元に関して) の複素多様体、複素直線とも呼ばれると考えることもできます。ただし、この観点は、平面を 2 次元の実多様体と見なす場合とは大きく異なります。同型写像はすべて複素平面の共形全単射ですが、唯一の可能性は、複素数の乗算と平行移動の合成に対応する写像です。

さらに、ユークリッド幾何学（どこでも曲率がゼロ）は、平面が持つ唯一の幾何学ではありません。平面は、立体投影を使用して球面幾何学にすることができます。これは、平面に接する球（床の上のボールのように）を置き、頂点を削除し、この点から球を平面に投影するものと考えることができます。これは、地球の表面の一部を平面地図にするときに使用できる投影の 1 つです。結果として得られる幾何学は、一定の正の曲率を持ちます。

あるいは、平面に一定の負の曲率を与える計量を与えて双曲平面を得ることもできます。後者の可能性は、2 つの空間次元と 1 つの時間次元がある単純化されたケースで特殊相対性理論に応用されています。(双曲平面は、 3 次元ミンコフスキー空間内の時間的 超曲面です。)

平面の 1 点コンパクト化は球に同相です(立体射影を参照)。開いた円板は「北極」のない球に同相です。その点を追加すると (コンパクトな) 球が完成します。このコンパクト化の結果は、リーマン球面または複素射影直線と呼ばれる多様体です。ユークリッド平面から点のない球への射影は微分同相写像であり、さらには等角写像でもあります。

平面自体は開円板に同相（かつ微分同相）である。双曲平面の場合、このような微分同相は共形であるが、ユークリッド平面の場合はそうではない。

• アフィン平面
• 半平面
• 双曲幾何学