3次元空間におけるユークリッド平面

ユークリッド幾何学において、平面とは無限に広がる平らな二次元表面のことである。ユークリッド平面は、しばしば三次元空間の部分空間として現れる。 $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ 典型的な例としては、無限に伸びて無限に薄いと仮定される部屋の壁が挙げられます。一方、実数のペアは $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 平面上の点を記述するには十分だが、平面外の点との関係については、それらが周囲空間に埋め込まれていることを考慮する必要がある。 $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ 。

派生概念

A平面セグメントまたは平面領域（または一般的には単に「平面」）は、平面の表面領域線分に類似しています。双ベクトルは、方向付けられたであり、方向付けられた線分。^{[ a ]} 面は、立体を囲む平面セグメントです。^{[ 1 ]} スラブは、2 つの平行な平面で囲まれた領域です。平行六面体は、3 組の平行な平面で囲まれた領域です。

背景

ユークリッドは、幾何学の公理的扱いという、数学的思考の最初の偉大な金字塔を打ち立てました。^{[ 2 ]}彼は、定義されていない用語（共通概念と呼ばれる）と公準（または公理）の小さな核を選び、それらを使用してさまざまな幾何学的命題を証明しました。平面は、現代的な意味では『原論』のどこにも直接定義されていませんが、共通概念の一部と考えることができます。^{[ 3 ]}ユークリッドは、長さ、角度、または面積を測定するために数値を使用したことはありません。選択されたデカルト座標系を備えたユークリッド平面はデカルト平面と呼ばれ、極座標系を備えた非デカルトユークリッド平面は極平面と呼ばれます。

平面とは、線織面のことである。

ユークリッド平面

数学において、ユークリッド平面は次元が2のユークリッド空間であり、次のように表される。 ${\textbf {E}}^{2}$ または $\displaystyle \mathbb {E} ^{2}}$ これは、各点の位置を決定するために2つの実数を必要とする幾何学的空間です。これはアフィン空間であり、特に平行線の概念を含みます。また、距離によって誘発される計量特性も持ち、円や角度の測定を定義することができます。

選択されたデカルト座標系を持つユークリッド平面は、デカルト平面と呼ばれます。 $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 実数の順序対（実座標平面）に内積を加えたものは、すべてのユークリッド平面がこれと同型であるため、しばしばユークリッド平面または標準ユークリッド平面と呼ばれます。

表現

このセクションでは、3 次元に埋め込まれた平面のみを扱います。具体的には、 $R 3$ です。

含まれる点と線による決定

任意の次元のユークリッド空間において、平面は以下のいずれかによって一意に決定される。

同一直線上にない3つの点（同一直線上にない点）。
線と、その線上にない点。
二つの異なるが交差する線。
2本の異なるが平行な線。

不動産

以下の記述は3次元ユークリッド空間では成り立つが、より高次元では成り立たない。ただし、より高次元にも同様の記述が存在する。

2つの異なる平面は、平行であるか、または直線で交わるかのいずれかである。
直線は、平面に平行であるか、平面と一点で交わるか、または平面内に含まれるかのいずれかである。
同一平面に垂直な2つの異なる直線は、互いに平行でなければならない。
同一直線に垂直な2つの異なる平面は、互いに平行でなければならない。

平面の点法線形式と一般方程式

2次元空間の直線が点傾斜形式で方程式で表されるのと同様に、3次元空間の平面も、平面上の点とそれに直交するベクトル（法線ベクトル）を用いてその「傾斜」を示すことで自然に記述できます。

具体的には、ある点 $P$ $0$ $= ($ $x$ $0$ $,$ $y$ $0$ $,$ $z$ $0$ $)$ の位置ベクトルを $r 0$ とし、 $n$ $= ($ $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ $)$ をゼロでないベクトルとする。点 $P$ $0$ とベクトル $n$ によって決定される平面は、位置ベクトル $rを持つ点$ $Pであって、$ $P$ $0から$ $P$ へ引いたベクトルが $n$ に垂直となるような点の集合である。2 つのベクトルが垂直であるのは、それらの内積がゼロである場合のみであることを思い出すと、目的の平面は、すべての点 $r$ の集合として記述できることがわかる。 $\displaystyle {\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0})=0.}$ ここでドットはドット（スカラー）積を意味します。展開すると次のようになります。 $a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0,$ これは平面の方程式の点法線形式です。 ^{[ 4 ]}これは単なる線形方程式です $ax+by+cz+d=0,$ どこ $d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}),$ これは拡張形です $-{\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {r}}_{0}.$

数学では、法線ベクトルを単位ベクトルとして表すのが一般的ですが、上記の議論は、長さがゼロでない任意の法線ベクトルにも当てはまります。

$逆に、 a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ が定数で、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ がすべてゼロでない場合、方程式のグラフは簡単に示せる。 $ax+by+cz+d=0,$ $は、ベクトルn = (a, b, c)$ を法線とする平面です。 ^{[ 5 ]}この平面に関するおなじみの式は、平面方程式の一般形、または単に平面方程式と呼ばれます。^{[ 6 ]}

したがって、例えば、説明変数が 2 つある場合、 $y$ $=$ $d$ $+$ $ax$ $+$ $cz$ ( $b$ $= -1$ の場合)の形式の回帰方程式は、 3 次元空間で最適な平面を確立します。

平面を、その平面上にある点と2つのベクトルで記述する

あるいは、平面は、次の形式のすべての点の集合としてパラメトリックに記述することもできます。 ${\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {r}}_{0}+s{\boldsymbol {v}}+t{\boldsymbol {w}},$

ここで、 $s$ と $tは$ すべての実数の範囲をとり、 $v$ と $wは$ 平面を定義する線形独立なベクトルであり、 $r₀ は$ 平面上の任意の（ただし固定された）点の位置を表すベクトルです。ベクトル $v$ と $wは、$ $r₀ を$ 起点として平面に沿って異なる方向を指すベクトルとして視覚化できます。ベクトル $v$ と $wは$ 垂直になることはできますが、平行になることはできません。

3つの点を通して平面を説明する

$p 1 = (x 1, y 1, z 1)$ 、 $p 2 = (x 2, y 2, z 2)$ 、および $p 3 = (x 3, y 3, z 3)$ を非共線点とする。

方法１

$点 p 1$ 、 $p 2$ 、 $p 3$ を通る平面は、次の行列式を満たすすべての点 ( x、y、z )の集合として記述できます。 ${\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end {vmatrix}}={\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x-x_{2}&y-y_{2}&z-z_{2}\\x-x_{3}&y-y_{3}&z-z_{3}\end{vmatrix}}=0.$

方法2

平面を次の形式の方程式で記述する $ax+by+cz+d=0$ 次の連立方程式を解いてください。 $ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d=0$ $ax_{2}+by_{2}+cz_{2}+d=0$ $ax_{3}+by_{3}+cz_{3}+d=0.$

このシステムは、クラメルの公式と基本的な行列操作を用いて解くことができます。 $D={\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}.$

$D$ がゼロでない場合（つまり、原点を通らない平面の場合）、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値は次のように計算できます。 $a={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}1&y_{1}&z_{1}\\1&y_{2}&z_{2}\\1&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}$ $b={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}x_{1}&1&z_{1}\\x_{2}&1&z_{2}\\x_{3}&1&z_{3}\end{vmatrix}}$ $c={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}.$

これらの式はdに関する媒介変数表示です。dをゼロ以外の任意の数値に設定し、それをこれらの式に代入すると、1つの解が得られます。

方法3

この平面は、上記の平面処方の方程式の § 点法線形式および一般形式でも記述できます。適切な法線ベクトルは、外積によって与えられます。 ${\boldsymbol {n}}=({\boldsymbol {p}}_{2}-{\boldsymbol {p}}_{1})\times ({\boldsymbol {p}}_{3}-{\boldsymbol {p}}_{1}),$ また、点 $r 0は、与えられた点$ $p 1$ 、 $p 2$ 、 $p 3$ ^{[ 7 ]}のいずれか（または平面上の他の任意の点）とすることができます。

業務

点から平面までの距離

ユークリッド空間において、点から平面までの距離とは、与えられた点と、その点の平面への直交投影との間の距離、すなわち平面上の最も近い点までの垂直距離のことである。

原点を与えられた点と一致させる変数変換から始めて、移動した平面上の点を見つけることで、それを求めることができます。 $ax+by+cz=d$ 原点に最も近い点。結果として得られる点はデカルト座標を持つ。 $(x,y,z)$ :

\displaystyle x={\frac {ad}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\quad \quad \displaystyle y={\frac {bd}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\quad \quad \displaystyle z={\frac {cd}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}

。

原点と点の間の距離 $(x,y,z)$ は ${\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ 。

線と平面の交点

幾何学において、三次元空間における直線と平面の交点は、空集合、一点、または直線そのもののいずれかになります。直線が平面に埋め込まれている場合は直線全体が交点となり、直線が平面に平行で平面の外側にある場合は空集合となります。それ以外の場合は、直線は平面を一点で切断します。

これらのケースを区別し、後者のケースにおける点と線の方程式を決定することは、コンピュータグラフィックス、モーションプランニング、および衝突検出において有用である。

2つの平面の交線

幾何学において、3次元空間における2つの平面の交点は直線、または平行な平面の場合は空集合となる。

球面と平面の交点

球と平面の交点が空集合または一点でない場合、それは円になります。これは次のように説明できます。

S を中心Oの球、PをSと交わる平面とする。OEをPに垂直に引き、Pとの交点をEとする。交点内の任意の 2 つの異なる点をAとBとする。すると、 AOEとBOE は共通の辺OEを持ち、斜辺AOとBO が等しい直角三角形となる。したがって、残りの辺AEとBEも等しい。これにより、交点内のすべての点が平面P上の点Eから同じ距離にあることが証明される。言い換えれば、交点内のすべての点は中心Eを持つ円C上にある。^[⁸^]これにより、 PとSの交点がCに含まれることが証明される。OEは円の軸であることに注意する。

ここで、円Cの点Dを考えます。CはP内にあるので、Dも P 内にあります。一方、三角形AOEとDOE は、共通の辺OEを持ち、2辺EAとEDが等しい直角三角形です。したがって、斜辺AOとDO は等しく、 Sの半径に等しいので、D はS内にあります。これにより、C はPとSの交点に含まれることが証明されます。

その結果として、球面上には、与えられた3点を通る円がちょうど1つだけ存在する。^{[ 9 ]}

この証明は、円上の点がすべてその極のいずれかから共通の角度距離にあることを示すように拡張できる。 ^{[ 10 ]}

円錐曲線も比較してみてください。円錐曲線は楕円を生成することができます。

自然界での発生

平面は、平面鏡での鏡面反射や進行平面波の波面など、多くの物理現象の数学的モデルとして機能します。乱されていない液体の自由表面は、ほぼ平坦になる傾向があります（平坦性を参照）。これまでに製造された最も平坦な表面は、量子安定化原子ミラーです。^[¹¹^] 天文学では、軌道上の位置を定義するためにさまざまな基準面が使用されます。 解剖学的平面は、側面（「矢状面」）、前頭面（「冠状面」）、または横断面である場合があります。地質学では、層（堆積物の層）はしばしば平面です。平面は、焦点面、画像面、画像面など、さまざまな形式のイメージングに関係しています。

ミラー指数

格子面の姿勢は、その面に垂直な線の向きであり、^{[ 12 ]}面のミラー指数によって記述されます。3 次元空間では、平面の族 (一連の平行な平面) は、そのミラー指数( hkl ) で表すことができ、^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}平面の族は、その構成平面すべてに共通の姿勢を持ちます。

ストライクアンドディップ

地質学で観察される多くの特徴は平面または線であり、それらの向きは一般的に姿勢と呼ばれます。これらの姿勢は2つの角度で指定されます。

線の場合、これらの角度はトレンドとプランジと呼ばれます。トレンドは線のコンパス方向であり、プランジは水平面となす下向きの角度です。^{[ 15 ]}

平面の場合、2つの角度は走向角と傾斜角と呼ばれます。走向線とは、水平面と観測された平面構造物（したがって水平線）との交線であり、走向角とはこの線の方向（つまり、地理上の北または磁北に対する方向）です。傾斜角とは、走向線に垂直な第3の垂直面から見た、水平面と観測された平面構造物との間の角度です。

注記

解説

↑より正確には、向き付けられた平面セグメントの同値類に類似した代数的実体。

引用文献

↑メリアム・ウェブスター大学辞典（第11 版）。マサチューセッツ州スプリングフィールド：メリアム・ウェブスター。2004年。
↑イブス 1963 、p.19
↑ジョイス、DE（1996）、『ユークリッド原論』第1巻、定義7、クラーク大学、 2009年8月8日取得
↑アントン 1994 、p.155
↑アントン 1994 、p.156
↑ Weisstein, Eric W. (2009), "Plane" , MathWorld--A Wolfram Web Resource 、 2009年8月8日取得
↑ドーキンス、ポール、「平面の方程式」、微積分学III
↑証明はホッブスの命題304に従う。
↑ホッブス、提案308
↑ホッブス、提案310
↑エヴァンス、ジョン（2008年8月22日）。「これまでで最も滑らかな表面は原子の鏡である」。ニュー・サイエンティスト。 2023年3月5日取得。
↑ウィリアム・アンソニー・グランヴィル (1904)。「§178 曲面への法線」。微分積分学の基礎。Ginn & Company。p. 275。
↑ Augustus Edward Hough Love (1892). A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity . Vol. 1. Cambridge University Press. p. 79 ff .
↑マーカス・フレデリック・チャールズ・ラッド、レックス・アルフレッド・パーマー (2003)。「§2.3 面族と面間隔」。X線結晶構造解析による構造決定（第4版）。シュプリンガー。62ページ以降。ISBN 0-306-47454-9。
↑スティーブン・マーク・ローランド、アーネスト・M・デューベンドルファー、イルザ・M・シーフェルバイン（2007）。「線と平面の姿勢」。構造解析と合成：構造地質学の実験コース（第3版）。ワイリー・ブラックウェル。1ページ以降。ISBN 978-1-4051-1652-7。

参考文献

アントン、ハワード（1994）、『初等線形代数（第7 版）』、ジョン・ワイリー＆サンズ、ISBN 0-471-58742-7
イブス、ハワード（1963）、『幾何学概論』第 1巻、ボストン：アリン・アンド・ベーコン社。
ホッブス、チャールズ・オースティン（1921）。立体幾何学。ケンブリッジ、GHケント。pp. 396-400。LCCN 21016427。

外部リンク

「平面」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
ワイススタイン、エリック・W. 「プレーン」 . MathWorld .
『算術と平面幾何学の難しさを緩和する』は、15世紀に書かれたアラビア語の写本で、平面幾何学と算術に関する入門書として用いられている。

[1] より正確には、向き付けられた平面セグメントの同値類に類似した代数的実体。

[2] メリアム・ウェブスター大学辞典（第11 版）。マサチューセッツ州スプリングフィールド：メリアム・ウェブスター。2004年。

[3] イブス 1963 、p.19

[4] ジョイス、DE（1996）、『ユークリッド原論』第1巻、定義7、クラーク大学、 2009年8月8日取得

[5] アントン 1994 、p.155

[6] アントン 1994 、p.156

[Weisstein2009-7] Weisstein, Eric W. (2009), "Plane" , MathWorld--A Wolfram Web Resource 、 2009年8月8日取得

[PaulsPlanes-8] ドーキンス、ポール、「平面の方程式」、微積分学III

[9] 証明はホッブスの命題304に従う。

[10] ホッブス、提案308

[11] ホッブス、提案310

[Evans_2008-12] エヴァンス、ジョン（2008年8月22日）。「これまでで最も滑らかな表面は原子の鏡である」。ニュー・サイエンティスト。 2023年3月5日取得。

[Granville-13] ウィリアム・アンソニー・グランヴィル (1904)。「§178 曲面への法線」。微分積分学の基礎。Ginn & Company。p. 275。

[Love-14] Augustus Edward Hough Love (1892). A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity . Vol. 1. Cambridge University Press. p. 79 ff .

[Ladd-15] マーカス・フレデリック・チャールズ・ラッド、レックス・アルフレッド・パーマー (2003)。「§2.3 面族と面間隔」。X線結晶構造解析による構造決定（第4版）。シュプリンガー。62ページ以降。ISBN 0-306-47454-9。

[Rowland-16] スティーブン・マーク・ローランド、アーネスト・M・デューベンドルファー、イルザ・M・シーフェルバイン（2007）。「線と平面の姿勢」。構造解析と合成：構造地質学の実験コース（第3版）。ワイリー・ブラックウェル。1ページ以降。ISBN 978-1-4051-1652-7。

[ a ]

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[

[ 9 ]

[ 10 ]

[

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]