標準模型の数学的定式化

素粒子物理学の標準模型は、ユニタリー積群 $SU$ $(3)\timesSU(2)\times$ $U(1)$ の内部対称性を含むゲージ量子場理論である。この理論は、レプトン、クォーク、ゲージボソン、ヒッグス粒子といった基本粒子群を記述するものと一般的に考えられている。

標準模型は繰り込み可能で数学的に自己無矛盾である^{[ 1 ]}が、実験予測において大きな成功を収め続けているにもかかわらず、いくつかの未解明の現象を残している^{[ 2 ]}。特に、特殊相対性理論の物理は組み込まれているが、一般相対性理論は組み込まれておらず、重力子が出現すると予想されるエネルギーや距離では標準模型は破綻する。したがって、現代の場の理論の文脈では、標準模型は有効場の理論と見なされている。

量子場理論

標準模型は量子場理論であり、その基本対象は時空のあらゆる点で定義される量子場である。量子場理論では、粒子は粒子よりも基本的な量子場の励起状態（量子とも呼ばれる）として扱われる。これらの場は

物質粒子を表すフェルミオン場 $ψ 。$
電弱ボソン場 $W_{1}$ 、 $W_{2}$ 、 $W_{3}$ 、そして $B。$
グルーオン場、 $G a$ ; および
ヒッグス場、 $φ$ 。

これらが古典場ではなく量子場であるという事実は、数学的には、それらが演算子値を持つという結果をもたらす。特に、これらの場の値は一般に可換ではない。演算子として、これらは量子状態（ケットベクトル）に作用する。

分野の代替的な表現

量子論ではよくあることだが、物事の見方は一つではない。最初に上で示した基本場は、上の図表の「素粒子」とうまく対応していないように見えるかもしれないが、特定の状況においては、上で示したものよりも適切な代替表現がいくつか存在する。

フェルミオン

$フェルミオン場ψを$ 1つ持つのではなく、粒子の種類ごとに別々の成分に分割することができます。これは量子場理論の歴史的発展を反映しており、電子成分 $ψe$ （電子 $と$ その反粒子である陽電子を表す）が量子電磁力学の元の $ψ$ 場であり、後にミューオンとタウオン（およびそれらの反粒子）に対応する $ψμ$ と $ψτ$ 場が $加わり$ ました。電弱理論は $、$ $\psi _{\nu _{\mathrm {e} }},\psi _{\nu _{\mu }}$ 、そして $\psi _{\nu _{\tau }}$ 対応するニュートリノの場合。クォークはさらに別の成分を追加します。電子や他のレプトン成分のように 4成分スピノルであるためには、フレーバーとカラーの組み合わせごとに1つのクォーク成分が必要であり、合計は24になります（荷電レプトン用に3つ、ニュートリノ用に3つ、クォーク用に2·3·3 = 18）。これらのそれぞれが4成分ディラックスピノルであり、フェルミオン場には合計96個の複素数値成分があります。

重要な定義の一つは、棒付きフェルミオン場である。 ${\bar {\psi }}$ これは次のように定義されます $\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ 、どこ $\dagger$ $はψ$ のエルミート随伴行列を表し、 $γ$ $0$ はゼロ次ガンマ行列です。ψ $を$ $n$ $\times 1$ 行列と考えると、 ${\bar {\psi }}$ $1 \times n$ 行列として考えるべきです。

キラル理論

$ψ$ の独立した分解は、カイラリティ成分への分解である。

「左」キラル性： $\psi ^{\rm {L}}={\frac {1}{2}}(1-\gamma _{5})\psi$
「正しい」キラリティ： $\psi ^{\rm {R}}={\frac {1}{2}}(1+\gamma _{5})\psi$

どこ $\gamma _{5}$ これは5番目のガンマ行列です。これは標準模型において非常に重要です。なぜなら、左カイラリティ成分と右カイラリティ成分はゲージ相互作用によって異なる扱いを受けるからです。

特に、弱いアイソスピン SU(2)変換の下では $、$ 左巻き粒子は弱いアイソスピン二重項であり、右巻き粒子は一重項である。つまり、 $ψR$ の弱いアイソスピンはゼロである。より簡単に言えば、弱い相互作用は、例えば左巻き電子を左巻きニュートリノ（ $W-$ の放出を伴う）に回転させることができるが、同じ右巻き粒子ではそうすることはできない。余談だが、右巻きニュートリノはもともと標準模型には存在しなかったが、ニュートリノ振動の発見はニュートリノが質量を持つ必要があることを意味し、質量のある粒子の伝播中にカイラリティが変化する可能性があるため、右巻きニュートリノは $実際$ に存在しなければならない。しかし、これは（実験的に実証されている）弱い相互作用のカイラルな性質を変えるものではない。

さらに、 $U(1)は$ 異なる作用をします $\psi _{\mathrm {e} }^{\rm {L}}$ そして $\psi _{\mathrm {e} }^{\rm {R}}$ （それらは異なる弱いハイパーチャージを持っているため）。

質量と相互作用の固有状態

したがって、例えばニュートリノの質量固有状態と相互作用固有状態を区別することができる。前者は自由空間を伝播する状態であり、後者は相互作用に関与する異なる状態である。どちらが「基本」粒子なのか？ニュートリノの場合、「フレーバー」（ν）を定義するのが一般的である。_e、ν_μ、またはν_τ ) は相互作用の固有状態によって定義されるのに対し、クォークの場合はフレーバー（アップ、ダウンなど）は質量状態によって定義されます。これらの状態は、クォークの場合はCKM 行列 PMNS 行列（一方、荷電レプトンは質量とフレーバーの両方の固有状態です）。

余談ですが、これらの行列のいずれかに複素位相項が存在する場合、直接CP対称性の破れが生じ、現在の宇宙における物質が反物質よりも優勢である理由を説明できる可能性があります。これはCKM行列で証明されており、PMNS行列でも起こると予想されています。

正のエネルギーと負のエネルギー

最後に、量子場は「正」のエネルギー部分と「負」のエネルギー部分に分解されることがあります。ψ $= ψ + + ψ - 。$ これは量子場理論が構築された時点ではあまり一般的ではありませんが、場理論を量子化する過程ではしばしば重要な役割を果たします。

ボソン

ヒッグス機構により、電弱ボソン場は $W_{1}$ 、 $W_{2}$ 、 $W_{3}$ 、そして $B$ 物理的に観測可能な状態を作り出すために「混合」する。ゲージ不変性を維持するためには、基となる場は質量を持たない必要があるが、観測可能な状態はその過程で質量を獲得することができる。これらの状態は以下のとおりである。

質量を持つ中性（Z）ボソン： $Z=\cos \theta _{\rm {W}}W_{3}-\sin \theta _{\rm {W}}B$

質量のない中性ボソン： $A=\sin \theta _{\rm {W}}W_{3}+\cos \theta _{\rm {W}}B$

巨大な荷電Wボソン： $W^{\pm }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(W_{1}\mp iW_{2}\right)$ ここで、 $θW$ $は$ ワインバーグ角である。

A場は光子であり $、$ 古典的にはよく知られている電磁気的な4元ポテンシャル、すなわち電場と磁場に対応します。Z場 $は$ 実際には光子が行うすべての過程に寄与しますが、その質量が大きいため、通常はその寄与は無視できます。

摂動量子場理論と相互作用描像

標準模型の「粒子」と「力」に関する定性的な記述の多くは、摂動量子場理論の観点からの模型解釈に由来する。この理論では、ラグランジアンは次のように分解される。 ${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{0}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {I} }$ 自由場ラグランジアンと相互作用ラグランジアンに分けられる。自由場は孤立した粒子を扱うのに対し、複数の粒子が関わる過程は相互作用によって生じる。状態ベクトルは粒子が相互作用するときにのみ変化するという考え方であり、自由粒子とは量子状態が一定の粒子であることを意味する。これは量子力学における相互作用描像に対応する。

より一般的なシュレーディンガー描像では、自由粒子の状態さえも時間とともに変化します。典型的には、位相は粒子のエネルギーに依存する速度で変化します。一方、ハイゼンベルク描像では、状態ベクトルは一定に保たれますが、その代償として演算子（特に観測量）は時間依存になります。相互作用描像は、この2つの中間に位置し、演算子（量子場）と状態ベクトルの両方に時間依存性が与えられます。量子場理論（QFT）では、前者はモデルの自由場部分、後者は相互作用部分と呼ばれます。自由場モデルは厳密に解くことができ、その後、完全モデルの解は、例えばダイソン級数を用いて、自由場解の摂動として表現できます。

自由場と相互作用への分解は、原理的には任意であることに注意すべきである。例えば、QEDにおける繰り込みは、自由場電子の質量を（電磁場を持つ）物理的な電子の質量に一致させるように修正し、その過程で自由場ラグランジアンに項を追加する。この項は相互作用ラグランジアンの対項によって打ち消されなければならず、その結果、ファインマン図では2本の線からなる頂点として現れる。ヒッグス場が粒子に質量を与えると考えられているのも、この方法である。相互作用項のうち、ヒッグス場の非ゼロの真空期待値に対応する部分は、相互作用から自由場ラグランジアンに移され、そこではヒッグス場とは全く関係のない質量項のように見える。

自由地

低エネルギー領域に適した通常の自由場／相互作用場の分解では、自由場は以下の式に従う。

フェルミオン場 $ψは$ ディラック方程式を満たす。 $(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m_{\rm {f}}c)\psi _{\rm {f}}=0$ 各タイプについて $f$ フェルミオンの。
光子場 $Aは$ 波動方程式を満たす $\partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }=0$ 。
ヒッグス場 $φは$ クライン・ゴルドン方程式を満たす。
弱い相互作用場 $Z 、 W \pm は$ プロカ方程式を満たす。

$これらの方程式は厳密に解くことができる。通常は、まず各空間軸に沿って周期L$ を持つ周期解を考え、その後 $L \to\inftyの$ 極限をとることでこの周期性の制約を解除する。

$周期的な場合、場F$ (上記いずれか)の解は、次の形式のフーリエ級数で表すことができます。 $F(x)=\beta \sum _{\mathbf {p} }\sum _{r}E_{\mathbf {p} }^{-{\frac {1}{2}}}\left(a_{r}(\mathbf {p} )u_{r}(\mathbf {p} )e^{-{\frac {ipx}{\hbar }}}+b_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )v_{r}(\mathbf {p} )e^{\frac {ipx}{\hbar }}\right)$ どこ：

$β$ は正規化因子であり、フェルミオン場の場合 $\psi _{\rm {f}}$ それは ${\textstyle {\sqrt {m_{\rm {f}}c^{2}/V}}}$ 、どこ $V=L^{3}$ は考慮される基本セルの体積です。光子場 $A μ$ の場合、 $\hbar c/{\sqrt {2V}}$ 。
$p$ に関する総和は、周期 $L$ と一致するすべての運動量、すなわちすべてのベクトルに関するものである。 ${\frac {2\pi \hbar }{L}}(n_{1},n_{2},n_{3})$ どこ $n_{1},n_{2},n_{3}$ 整数です。
$r$ に関する和は、偏光やスピンなど、場に特有の他の自由度をカバーします。通常は $1$ から $2$ または $1$ から $3 の$ 和として表されます。
$E p$ は場の $運動量p$ 量子に対する相対論的エネルギーであり ${\textstyle ={\sqrt {m^{2}c^{4}+c^{2}\mathbf {p} ^{2}}}}$ 静止質量が $m$ の場合。
$r (p)$ と $$ $b_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )$ は、それぞれ運動量 $p$ の「a粒子」と「b粒子」に対する消滅演算子と生成演算子です。「b粒子」は「a粒子」の反粒子です。異なる場には異なる「a粒子」と「b粒子」が存在します。一部の場では、 $a$ と $b$ は同じです。
$u r (p)$ と $v r (p)$ は、場のベクトルまたはスピノルの側面を担う非演算子です (該当する場合)。
$p=(E_{\mathbf {p} }/c,\mathbf {p} )$ $は、運動量p$ を持つ量子の4 次元運動量です。 $px=p_{\mu }x^{\mu }$ は4次元ベクトルの内積を表します。

$L \to \infty の$ 極限では、 $β$ の中に隠された $V$ の助けを借りて、和は積分に変わります。β の数値は、選択された正規化にも依存します $。$ $u_{r}(\mathbf {p} )$ そして $v_{r}(\mathbf {p} )$ 。

技術的には、 $a_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )$ はケットベクトルの内積空間における演算子 $a$ $r$ $($ $p$ $)の$ エルミート随伴です。 $a_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )$ そして、生成演算子と消滅演算子としての $r (p)は、$ これらの演算子のいずれかが作用する前と後の状態の保存量を比較することによって得られます。 $a_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )$ 例えば、粒子を1つ追加すると考えることができます。なぜなら、粒子数演算子の固有値に $1が$ 加算され、ベクトル値運動量演算子の固有値がその分だけ増加するため、その粒子の運動量は $p$ になるはずだからです。これらの導出では、量子場による演算子の式から始めます。演算子は $\dagger$ は作成演算子であり、 $\dagger$ 消滅演算子であるかどうかは、それらに対して仮定された交換関係の符号によって課される慣例である。

摂動量子場理論における計算の準備において重要なステップは、上記の「演算子」因子 $a$ と $b を$ 、対応するベクトル因子またはスピノル因子 $u$ と $v$ から分離することです。ファインマングラフの頂点は、相互作用ラグランジアンの異なる因子からの $u$ と $v が$ どのように組み合わされるかによって決まり、一方、辺は、ダイソン級数の項を正規形にするために $a$ と $b$ をどのように移動させる必要があるかによって決まります。

相互作用項と経路積分アプローチ

ラグランジアンは、生成消滅演算子（「正準」形式）を用いずに、経路積分形式を用いることで導出することもできます。これは、ディラックの初期の業績に基づいてファインマンが開拓したものです。ファインマン図は、相互作用項を視覚的に表現したものです。ファインマン図に関する記事では、その簡単な導出方法が紹介されています。

ラグランジュ形式主義

ここで、標準模型のラグランジアン密度に現れる前述の自由項と相互作用項について、もう少し詳しく説明しましょう。このような項は、ゲージ不変かつ基準系不変でなければなりません。そうでなければ、物理法則は観測者のフレームの任意の選択に依存してしまうからです。したがって、特殊相対性理論の中心となる並進対称性、回転対称性、慣性基準系不変性からなる大域的なポアンカレ対称性が適用されなければなりません。局所的な $SU(3) \times SU(2) \times U(1)$ ゲージ対称性は、内部対称性です。ゲージ対称性の3つの要素は、後述するように、適切な関係式が定義された後、3つの基本的な相互作用を生み出します。

運動学的用語

自由粒子は、質量項と、場の「運動」に関係する運動項によって表すことができる。

フェルミオン場

ディラックフェルミオンの運動項は $i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi$ ここでの表記は、記事の前半から引き継がれています。ψ $は$ 、標準模型における任意の、またはすべてのディラックフェルミオンを表すことができます。一般に、以下に示すように、この項は結合定数の中に含まれます（全体として「動的」項が作成されます）。

ゲージフィールド

スピン1の磁場については、まず磁場強度テンソルを定義する。 $F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}$ $与えられたゲージ場（ここではA を$ 使用）に対して、ゲージ結合定数 $g$ を持つ。量 $f abc$ は、交換子によって定義される特定のゲージ群の構造定数である。 $[t_{a},t_{b}]=if^{abc}t_{c},$ ここで、 $t i$ は群の生成元です。アーベル群（可換群）（ここで使用する $U(1)など）では、生成元$ $t$ $a が$ すべて互いに可換であるため、構造定数はゼロになります。もちろん、これは一般には当てはまりません。標準モデルには非アーベル群 $SU(2)$ および $SU(3)が含まれます（このような群は、$ ヤン・ミルズゲージ理論と呼ばれるものにつながります）。

$SU(3) \times SU(2) \times U(1)$ の各部分群に対応する3つのゲージ場を導入する必要があります。

グルーオン場テンソルは次のように表される。 $G_{\mu \nu }^{a}$ ここで、添え字 $aは色の$ $8$ 表現SU(3)の要素を表します。強い結合定数は慣例的に $g s$ (または曖昧さがない場合は単に $g ) と表記されます。$ 標準模型のこの部分の発見につながった観測については、量子色力学の記事で議論されています。
表記法 $W_{\mu \nu }^{a}$ $は、SU(2)$ のゲージ場テンソルに使用されます。ここで、 $a はこの群の$ $3 つの$ 生成子を走ります。結合定数は $g w$ または単に $g$ と表記できます。ゲージ場はで表されます。 $W_{\mu }^{a}$ 。
$弱いハイパーチャージのU(1)$ のゲージ場テンソルは $B μν$ で表され、結合は $g'$ で表され、ゲージ場は $B μ$ で表されます。

運動項は次のように書ける。 ${\mathcal {L}}_{\rm {kin}}=-{1 \over 4}B_{\mu \nu }B^{\mu \nu }-{1 \over 2}\mathrm {tr} W_{\mu \nu }W^{\mu \nu }-{1 \over 2}\mathrm {tr} G_{\mu \nu }G^{\mu \nu }$ ここで、トレースは、それぞれ $W$ と $Gに隠された$ $SU(2)$ と $SU(3)$ のインデックス上にあります。2 つのインデックスのオブジェクトは、ベクトル場である $W$ と $G$ から導出された場の強度です。さらに、 $SU(2)$ と $SU(3)$ のシータ角という 2 つの隠されたパラメータがあります。

結合項

次のステップは、ゲージ場をフェルミオンに「結合」させ、相互作用を可能にすることである。

電弱セクター

電弱セクターは対称群 $U(1) \times SU(2) L$ と相互作用し、添え字 L は左巻きフェルミオンとの結合のみを示します。 ${\mathcal {L}}_{\mathrm {EW} }=\sum _{\psi }{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\left(i\partial _{\mu }-g^{\prime }{1 \over 2}Y_{\mathrm {W} }B_{\mu }-g{1 \over 2}{\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathbf {W} _{\mu }\right)\psi$ ここで、 $Bμ$ $は$ U $(1)$ ゲージ場、 $YW は$ 弱いハイパーチャージ（ $U(1)$ 群の生成子）、 $Wμ は$ 3成分 $SU(2)ゲージ場、$ $τ$ の成分はパウリ行列（ $SU(2)$ 群の無限小生成子）であり、その固有値は弱いアイソスピンを与える。弱い力との統一を達成するためには、QEDとは異なる、弱いハイパーチャージの新しい $U(1)$ 対称性を再定義する必要があることに注意する。電荷 $Q 、$ 弱いアイソスピン $T3$ （ $Tz$ $、$ $I3$ または $Iz$ とも呼ばれる）の第3成分、 $および$ 弱いハイパーチャージ $YW$ $は$ $、$ $次の$ 関係にある $。$ $Q=T_{3}+{\tfrac {1}{2}}Y_{\rm {W}},$ （または、別の表記法 $Q = T 3 + Y W$ による）。この記事で使用されている最初の表記法は、以前のゲルマン・西島公式と同等です。これは、ハイパーチャージを、与えられた同型多重項の平均電荷の2倍にします。

弱いアイソスピンに対する保存電流は次のように定義できる。 $\mathbf {j} _{\mu }={1 \over 2}{\bar {\psi }}_{\rm {L}}\gamma _{\mu }{\boldsymbol {\tau }}\psi _{\rm {L}}$ 弱いハイパーチャージの場合 $j_{\mu }^{Y}=2(j_{\mu }^{\rm {em}}-j_{\mu }^{3})~,$ どこ $j_{\mu }^{\rm {em}}$ 電流と $j_{\mu }^{3}$ 3番目の弱いアイソスピン電流。上記で説明したように、これらの電流が混ざり合って物理的に観測されるボソンが生成され、それによって結合定数間の検証可能な関係も得られます。

これをより簡単に説明すると、ラグランジアンから項を選び出すことで電弱相互作用の効果を見ることができます。例えば、 $ψ$ に含まれる各（左巻き）フェルミオン二重項にSU(2)対称性が作用していることがわかります。 $-{g \over 2}({\bar {\nu }}_{e}\;{\bar {e}})\tau ^{+}\gamma _{\mu }(W^{+})^{\mu }{\begin{pmatrix}{\nu _{e}}\\e\end{pmatrix}}=-{g \over 2}{\bar {\nu }}_{e}\gamma _{\mu }(W^{+})^{\mu }e$ 粒子が左手系であると理解されている場所で、 $\tau ^{+}\equiv {1 \over 2}(\tau ^{1}{+}i\tau ^{2})={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$

これは「弱いアイソスピン空間における回転」に対応する相互作用であり、言い換えれば、 $W$ $-$ ボソンの放出を介した $e L$ と $ν eL$ の間の変換です。一方、 $U(1)対称性は電磁気学に似ていますが、中性$ $Z$ $0$ を介してすべての「弱いハイパーチャージ」フェルミオン (左巻きと右巻きの両方)に作用し、光子を介して荷電フェルミオンにも作用します。

量子色力学分野

量子色力学（QCD）セクターは、 $SU(3)対称性を持つ$ クォークとグルーオン間の相互作用を定義し、 $T$ $a$ によって生成される。レプトンはグルーオンと相互作用しないため、このセクターの影響を受けない。グルーオン場に結合したクォークのディラック・ラグランジアンは次のように与えられる。 ${\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }=i{\overline {U}}\left(\partial _{\mu }-ig_{s}G_{\mu }^{a}T^{a}\right)\gamma ^{\mu }U+i{\overline {D}}\left(\partial _{\mu }-ig_{s}G_{\mu }^{a}T^{a}\right)\gamma ^{\mu }D.$ ここで、 $U$ と $D$ はアップ型クォークとダウン型クォークに関連付けられたディラック・スピノルであり、その他の表記は前のセクションから引き継がれている。

質量項とヒッグス機構

質量用語

ディラック・ラグランジアンから生じる質量項（任意のフェルミオン $ψ$ について）は $-m{\bar {\psi }}\psi$ これは電弱対称性の下で不変ではない。これは、 $ψを$ 左手系成分と右手系成分で表すことで確認できる（実際の計算は省略する）。 $-m{\bar {\psi }}\psi =-m({\bar {\psi }}_{\rm {L}}\psi _{\rm {R}}+{\bar {\psi }}_{\rm {R}}\psi _{\rm {L}})$ つまり、 ${\bar {\psi }}_{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}$ そして ${\bar {\psi }}_{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}$ 項は現れません。質量生成相互作用は、粒子のカイラリティの絶え間ない反転によって実現されることがわかります。スピン1/2粒子は、同じ $SU(2)$ 表現と等しく反対の弱い超電荷を持つ右/左カイラリティのペアを持たないため、これらのゲージ電荷が真空中で保存されると仮定すると、スピン1/2粒子はカイラリティを交換することはできず、質量を持たないままでなければなりません。さらに、WボソンとZボソンは質量を持つことが実験的にわかっていますが、ボソン質量項には、明らかにゲージの選択に依存する組み合わせ $A μ A μ$ が含まれています。したがって、標準模型のフェルミオンやボソンは質量を持って「始まる」ことはできず、何らかの別のメカニズムによって質量を獲得する必要があります。

ヒッグス機構

これら二つの問題の解決策はヒッグス機構にあり、ヒッグス機構ではスカラー場（その数はヒッグス機構の正確な形式によって異なる）が（最も簡潔に説明すると）質量を持つボソンによって自由度として「吸収」され、湯川結合を介してフェルミオンと結合して質量項のように見えるものを作り出す。

標準模型では、ヒッグス場は群 $SU(2) L$ の複素スカラー場である。 $\phi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\phi ^{+}\\\phi ^{0}\end{pmatrix}},$ ここで、上付き文字 $+$ と $0 は$ 、各成分の電荷 ( $Q$ ) を示します。両成分の弱い超電荷 ( $Y W$ $) は1$ です。

ラグランジアンのヒッグス部分は ${\mathcal {L}}_{\rm {H}}=\left[\left(\partial _{\mu }-igW_{\mu }^{a}t^{a}-ig'Y_{\phi }B_{\mu }\right)\phi \right]^{2}+\mu ^{2}\phi ^{\dagger }\phi -\lambda (\phi ^{\dagger }\phi )^{2},$ ここで $λ > 0$ かつ $μ 2 > 0$ であるため、自発的対称性の破れのメカニズムを利用できます。ここには、最初はポテンシャルの形状の中に隠されている非常に重要なパラメータがあります。ユニタリゲージでは、次のように設定できます。 $\phi ^{+}=0$ そして作る $\phi ^{0}$ 本当だ。それから $\langle \phi ^{0}\rangle =v$ は、ヒッグス場の非零の真空期待値である。 $v$ 質量の単位を持ち、標準模型において無次元ではない唯一のパラメータです。また、プランクスケールよりもはるかに小さく、ヒッグス粒子の質量の約2倍であり、標準模型における他のすべての粒子の質量のスケールを決定します。これは、標準模型において、ゼロ以外の小さな値への唯一の真の微調整です。WμとBμの2次項が $現れ$ 、 $W$ $ボソン$ とZボソンの質量を与えます $。$ ${\begin{aligned}M_{\rm {W}}&={\tfrac {1}{2}}vg\\M_{\rm {Z}}&={\tfrac {1}{2}}v{\sqrt {g^{2}+{g'}^{2}}}\end{aligned}}$

ヒッグス粒子自体の質量は次のように与えられる。 ${\textstyle M_{\rm {H}}={\sqrt {2\mu ^{2}}}\equiv {\sqrt {2\lambda v^{2}}}.}$

湯川ふれあい

湯川相互作用項は ${\mathcal {L}}_{\text{Yukawa}}=(Y_{\text{u}})_{mn}({\bar {q}}_{\text{L}})_{m}{\tilde {\varphi }}(u_{\text{R}})_{n}+(Y_{\text{d}})_{mn}({\bar {q}}_{\text{L}})_{m}\varphi (d_{\text{R}})_{n}+(Y_{\text{e}})_{mn}({\bar {L}}_{\text{L}})_{m}\varphi (e_{\text{R}})_{n}+\mathrm {h.c.}$ どこ $Y_{\text{u}}$ 、 $Y_{\text{d}}$ 、そして $Y_{\text{e}}$ これらは、湯川結合の $3 \times 3$ 行列であり、 $mn$ 項は世代 $m$ と $n$ の結合を表し、hc は前の項のエルミート共役を表します。 $q_{\text{L}}$ そして $L_{\text{L}}$ は左巻きクォークとレプトンの二重項です。同様に、 $u_{\text{R}}$ 、 $d_{\text{R}}$ そして $e_{\text{R}}$ 右巻きアップ型クォーク、ダウン型クォーク、およびレプトンシングレットです。最後に $\varphi$ はヒッグス二重項であり、 ${\tilde {\varphi }}=i\tau _{2}\varphi ^{*}$

ニュートリノ質量

前述のように、証拠はニュートリノが質量を持つべきであることを示している。しかし、標準模型では右巻きニュートリノは存在しないため、湯川結合があってもニュートリノは質量を持たないままである。明らかな解決策^{[ 4 ]}は、右巻きニュートリノ $νR を$ 追加することであり、そのためには湯川セクターに新しいディラック質量項を追加する必要がある。 ${\mathcal {L}}_{\nu }^{\text{Dir}}=(Y_{\nu })_{mn}({\bar {L}}_{L})_{m}{\tilde {\varphi }}(\nu _{R})_{n}+\mathrm {h.c.}$

しかし、この場は不活性ニュートリノでなければなりません。なぜなら、右巻きであるため、実験的にはアイソスピン一重項（ $T 3 = 0$ ）に属し、電荷 $Q = 0$ であるため、 $Y W = 0$ （上記参照）となり、弱い相互作用にも関与しないからです。不活性ニュートリノの実験的証拠は現在決定的ではありません。^{[ 5 ]}

もう一つ考えられる可能性は、ニュートリノがマヨラナ方程式を満たすというものであり、その電荷がゼロであることから、一見するとあり得るように思える。この場合、湯川セクターに新たなマヨラナ質量項が追加される。 ${\mathcal {L}}_{\nu }^{\text{Maj}}=-{\frac {1}{2}}m\left({\overline {\nu }}^{C}\nu +{\overline {\nu }}\nu ^{C}\right)$ ここで、 $C は$ 電荷共役 (すなわち反) 粒子を表し、 $\nu$ 項は一貫してすべて左（またはすべて右）カイラリティである（反粒子の左カイラリティ射影は右巻き場であることに注意。異なる表記が使われることがあるため、ここでは注意が必要である）。ここでは基本的に左巻きニュートリノと右巻き反ニュートリノを反転させている（さらに、ニュートリノが自身の反粒子である可能性はあるが、必須ではないため、これらの粒子は同じである）。しかし、左カイラリティニュートリノの場合、この項は弱いハイパーチャージを2単位変化させる。これは標準的なヒッグス相互作用では不可能であり、弱いハイパーチャージ= 2の追加の三重項を含むようにヒッグス場を拡張する必要がある^{[ 4 ]}。一方、右カイラリティニュートリノの場合は、ヒッグス拡張は必要ない。左カイラリティと右カイラリティの両方の場合、マヨラナ項はレプトン数を破るが、おそらくそのような破れを検出する現在の実験の感度を超えるレベルである。

ディラック質量項とマヨラナ質量項の両方を同じ理論に含めることが可能であり、（ディラック質量のみのアプローチとは対照的に）右巻きニュートリノをGUTスケール付近の未知の物理と結びつけることで、観測されたニュートリノ質量の小ささに対する「自然な」説明を提供できる^{[ 6 ]}（シーソー機構を参照）。

いずれにせよ、実験結果を説明するためには新たな場を仮定する必要があるため、ニュートリノは標準模型を超える物理学を探求するための明白な入り口となる。

詳細情報

このセクションでは、いくつかの側面についてより詳細な説明と参考資料を提供します。また、明示的なラグランジュ項もここに示します。

現場内容の詳細

標準模型には次の場があります。これらはレプトンとクォークの1世代を表し、3世代あるので、各フェルミオン場には3つのコピーがあります。CPT対称性により、反対のパリティと電荷を持つフェルミオンと反フェルミオンのセットがあります。左巻きフェルミオンが何らかの表現を張る場合、その反粒子（右巻き反フェルミオン）は双対表現を張ります^{[ 7 ]}（注意： ${\bar {\mathbf {2} }}={\mathbf {2} }$ SU(2) の場合は擬似実数であるため、 )。列「表現」は、各場がどのゲージ群の表現の下で変換されるかを (SU(3), SU(2), U(1)) の順に示し、U(1) 群の場合は弱いハイパーチャージの値がリストされています。各世代には、右巻きレプトン場成分の 2 倍の数の左巻きレプトン場成分がありますが、左巻きクォーク場成分と右巻きクォーク場成分の数は等しくなっています。

フェルミオン含有量

この表は、粒子データグループによって収集されたデータの一部に基づいています。^{[ 9 ]}

自由パラメータ

質量のないニュートリノを用いた最も一般的なラグランジアンを記述すると、ダイナミクスは19個のパラメータに依存し、その数値は実験によって決定されます。質量のあるニュートリノを用いた標準模型の単純な拡張では、さらに7個のパラメータ（3つの質量と4つのPMNS行列パラメータ）が必要となり、合計26個のパラメータになります。^{[ 10 ]}ニュートリノパラメータの値はまだ不確実です。19個の確実なパラメータをここにまとめます。

自由パラメータの選択はやや恣意的です。上の表ではゲージ結合が自由パラメータとしてリストされているため、この選択ではワインバーグ角は自由パラメータではなく、次のように定義されます。 $\tan \theta _{\rm {W}}={g_{1}}/{g_{2}}$ 同様に、QEDの微細構造定数は $\alpha ={\frac {1}{4\pi }}{\frac {(g_{1}g_{2})^{2}}{g_{1}^{2}+g_{2}^{2}}}$ フェルミオン質量の代わりに、無次元の湯川結合を自由パラメータとして選択することができる。例えば、電子質量は電子とヒッグス場の湯川結合に依存し、その値は $m_{\rm {e}}=y_{\rm {e}}v/{\sqrt {2}}$ ヒッグス質量の代わりに、ヒッグス自己結合強度 $\lambda ={\frac {m_{\rm {H}}^{2}}{2v^{2}}}$ 約 0.129 であるを自由パラメータとして選択することができる。ヒッグス真空期待値の代わりに、 $\mu ^{2}$ ヒッグス自己相互作用項から直接得られるパラメータ $\mu ^{2}\phi ^{\dagger }\phi -\lambda (\phi ^{\dagger }\phi )^{2}$ 選択できます。その値は $\mu ^{2}=\lambda v^{2}={m_{\rm {H}}^{2}}/2$ またはおおよそ $\mu$ =88.45 GeV。

真空エネルギーの値（より正確には、このエネルギーを計算するために使用される繰り込みスケール）も、追加の自由パラメータとして扱うことができます。繰り込みスケールは、プランクスケールと同一視することも、観測された宇宙定数に合うように微調整することもできます。しかし、どちらのオプションにも問題があります。^{[ 11 ]}

標準模型の追加の対称性

理論的な観点から見ると、標準模型は、その構築当初には想定されていなかった4つの追加のグローバル対称性を示し、これらはまとめて偶発的対称性と呼ばれ、連続的なU(1)グローバル対称性である。ラグランジアンを不変に保つ変換は次のとおりである。 $\psi _{\text{q}}\to e^{i\alpha /3}\psi _{\text{q}}$ $E_{\rm {L}}\to e^{i\beta }E_{\rm {L}}{\text{ and }}(e_{\rm {R}})^{\text{c}}\to e^{i\beta }(e_{\rm {R}})^{\text{c}}$ $M_{\rm {L}}\to e^{i\beta }M_{\rm {L}}{\text{ and }}(\mu _{\rm {R}})^{\text{c}}\to e^{i\beta }(\mu _{\rm {R}})^{\text{c}}$ $T_{\rm {L}}\to e^{i\beta }T_{\rm {L}}{\text{ and }}(\tau _{\rm {R}})^{\text{c}}\to e^{i\beta }(\tau _{\rm {R}})^{\text{c}}$

最初の変換ルールは、すべての世代のすべてのクォーク場が同時に同一の位相で回転しなければならないことを意味する略記法です。場 $M L 、 T L$ および $(\mu _{\rm {R}})^{\text{c}},(\tau _{\rm {R}})^{\text{c}}$ $E L$ の第 2 世代 (ミューオン) および第 3 世代 (タウ) の類似物であり、 $(e_{\rm {R}})^{\text{c}}$ 分野。

ノーターの定理によれば、上記の各対称性には、バリオン数、[12] 電子数、ミューオン数、およびタウ数の保存則が関連付けられています。各クォーク^に^は^バリオン数1/3が割り当てられ、各反クォークにはバリオン数 −1/3 が割り当てられます。バリオン数の保存則は、クォークの数から反クォークの数を引いた数が一定であることを意味します。実験的な限界内では、この保存則の違反は見つかっていません。

同様に、各電子とその関連するニュートリノには電子数+1が割り当てられ、反電子とその関連する反ニュートリノには電子数-1が割り当てられます。同様に、ミューオンとそのニュートリノにはミューオン数+1が割り当てられ、タウレプトンにはタウレプトン数+1が割り当てられます。標準模型は、これら3つの数値がそれぞれ、バリオン数が保存されるのと同様の方法で個別に保存されると予測しています。これらの数値はまとめてレプトンファミリー数（LF）として知られています。（この結果は、標準模型でニュートリノが質量ゼロであるという仮定に基づいています。実験的には、ニュートリノ振動は、個々の電子数、ミューオン数、タウ数が保存されないことを示唆しています。）^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}

上述の偶発的（しかし正確な）対称性に加えて、標準模型はいくつかの近似的な対称性も示します。これらは「SU(2)カストディアル対称性」と「SU(2)またはSU(3)クォークフレーバー対称性」です。

U(1)対称性

レプトンについては、ゲージ群は $SU(2) l \times U(1) L \times U(1) R$ と書くことができる。2 つの $U(1)$ 因子は、 $U(1) Y \times U(1) l$ と組み合わせることができる。ここで $l$ はレプトン数である。レプトン数のゲージ化は実験によって否定されており、可能なゲージ群は $SU(2) L \times U(1) Y$ のみとなる。クォークセクターにおける同様の議論は、電弱理論についても同じ結果を与える。

荷電電流と中性電流の結合とフェルミ理論

帯電電流 $j^{\mp }=j^{1}\pm ij^{2}$ は $j_{\mu }^{-}={\overline {U}}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }D_{i\mathrm {L} }+{\overline {\nu }}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }l_{i\mathrm {L} }.$ これらの電荷電流は、ベータ崩壊のフェルミ理論に登場したまさにそのものです。この作用には電荷電流の部分が含まれています。 ${\mathcal {L}}_{\rm {CC}}={\frac {g}{\sqrt {2}}}(j_{\mu }^{+}W^{-\mu }+j_{\mu }^{-}W^{+\mu }).$ Wボソンの質量よりもはるかに小さいエネルギーの場合、有効理論はフェルミ理論の電流-電流接触相互作用となり、 $2{\sqrt {2}}G_{\rm {F}}~~J_{\mu }^{+}J^{\mu ~~-}$ 。

しかし、ゲージ不変性により、コンポーネントは $W^{3}$ ゲージ場のも SU(2) の三重項にある電流と結合します。しかし、これは $U(1)$ と混ざり合うため、そのセクターに別の電流が必要です。これらの電流は電荷を保存するために電荷を持たない必要があります。したがって、中性電流も必要です。 $j_{\mu }^{3}={\frac {1}{2}}\left({\overline {U}}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }U_{i\mathrm {L} }-{\overline {D}}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }D_{i\mathrm {L} }+{\overline {\nu }}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }\nu _{i\mathrm {L} }-{\overline {l}}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }l_{i\mathrm {L} }\right)$ $j_{\mu }^{\rm {em}}={\frac {2}{3}}{\overline {U}}_{i}\gamma _{\mu }U_{i}-{\frac {1}{3}}{\overline {D}}_{i}\gamma _{\mu }D_{i}-{\overline {l}}_{i}\gamma _{\mu }l_{i}.$ ラグランジアンにおける中性電流の項は次のようになる。 ${\mathcal {L}}_{\rm {NC}}=ej_{\mu }^{\rm {em}}A^{\mu }+{\frac {g}{\cos \theta _{\rm {W}}}}(J_{\mu }^{3}-\sin ^{2}\theta _{\rm {W}}J_{\mu }^{\rm {em}})Z^{\mu }.$

標準模型を超える物理学

標準模型を超える物理学（BSM）は、標準模型の基本的なパラメータを説明できないこと、強いCP問題、ニュートリノ振動、物質と反物質の非対称性、暗黒物質と暗黒エネルギーの性質など、標準模型の欠点を説明するために必要な理論的発展である。^{[ 15 ]}もう一つの問題は、標準模型の数学的枠組み自体にある。標準模型は一般相対性理論と矛盾しており、ビッグバンやブラックホールの事象の地平線のような時空特異点などの特定の条件下では、どちらか一方または両方の理論が破綻する。

標準模型を超える理論には、最小超対称標準模型（MSSM）や次最小超対称標準模型（NMSSM）などの超対称性による標準模型のさまざまな拡張や、弦理論、M理論、余剰次元などのまったく新しい説明が含まれます。これらの理論は現在の現象全体を再現する傾向があるため、どの理論が正しいか、あるいは少なくとも万物の理論への「最良のステップ」はどれかという問題は、実験によってのみ解決でき、理論物理学と実験物理学の両方で最も活発な研究分野の1つとなっています。^[¹⁶^]

参考文献および外部リンク

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