バンクターン

バンクターン（またはバンキングターン）は、車両が通常、ターンの内側に向かって傾く、または傾斜するターンまたは方向転換です。道路や鉄道の場合、これは通常、路盤がカーブの内側に向かって横方向の下り勾配を持っているためです。バンク角は、車両が水平面に対して縦軸を中心に 傾斜する角度です。

バンク角がゼロの場合、表面は平らで、法線力は垂直上向きになります。車両を軌道上で旋回させる唯一の力は、摩擦、つまり牽引力です。この力は、向心力 を提供するのに十分な大きさでなければなりません。この関係は、車両が半径 の円内を走行していると仮定すると、不等式として表すことができます。 ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \mu mg>{mv^{2} \over r}.}$

右辺の式は、求心加速度と質量の積、つまり車両を旋回させるために必要な力です。左辺は最大摩擦力で、摩擦係数 と法線力を乗じたものです。最大コーナリング速度を整理すると、 ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle v<{\sqrt {r\mu g}}.}$

は、静的摩擦係数または動的摩擦係数になることに注意してください。後者の場合、車両がカーブで横滑りすると、摩擦は限界に達し、不等式は方程式になります。また、ダウンフォースなどの効果も無視されます。ダウンフォースは、法線力とコーナリング速度を増加させる可能性があります。 ${\displaystyle \mu }$

平らな円に沿って走る車両とは対照的に、傾斜したエッジは、車両をその進路にとどめ、車両が円に「引きずり込まれる」または「押し出される」こと（または鉄道の車輪が横に動いて車輪のフランジに擦れそうになること）を防ぐ追加の力を加えます。この力は、車両の法線力（N）の水平成分です。摩擦がない場合、法線力は円の中心方向に車両に作用する唯一の力です。したがって、ニュートンの第 2 法則に従って、法線力の水平成分を質量と求心加速度の積に等しく設定できます。^[1]

${\displaystyle {mv^{2} \over r}=N\sin \theta }$

垂直方向には動きがないので、システムに作用するすべての垂直方向の力の合計はゼロでなければなりません。したがって、車両の垂直方向の力の垂直成分を車両の重量に等しく設定できます。^[1]

${\displaystyle N\cos \theta =mg}$

上記の式を法線力について解き、この値を前の式に代入すると、次のようになります。

${\displaystyle {mv^{2} \over r}={mg\tan \theta }}$

これは次と同等です:

${\displaystyle {v^{2} \over r}={g\tan \theta }}$

速度を解くと次のようになります。

${\displaystyle v={\sqrt {rg\tan \theta }}}$

これは、摩擦がなく、所定の傾斜角と曲率半径で、車両が指定された経路にとどまる速度を提供します。この速度の大きさは、ターンまたはカーブの「定格速度」（または鉄道の「バランス速度」）としても知られています。^[2]カーブの定格速度はすべての質量のある物体に対して同じであり、傾斜のないカーブの定格速度は0になることに注意してください。

摩擦がシステムに与える影響を考慮する場合、もう一度、摩擦力がどの方向を向いているかに注意する必要があります。自動車の最大速度を計算する場合、摩擦は傾斜を下って円の中心に向かいます。したがって、摩擦の水平成分を法線力の成分に追加する必要があります。これら 2 つの力の合計が、旋回の中心方向への新しい正味の力 (求心力) になります。

${\displaystyle \underbrace {{mv^{2} \over r}=N\sin \theta } _{\text{Frictionless formula}}+\underbrace {\mu _{s}N\cos \theta } _{\text{Friction term}}}$

ここでも、垂直方向には動きがないため、すべての反対の垂直方向の力を互いに等しく設定できます。これらの力には、上向きの法線力の垂直成分と、車の重量と下向きの摩擦の垂直成分が含まれます。

${\displaystyle \underbrace {N\cos \theta =mg} _{\text{Frictionless formula}}+\underbrace {\mu _{s}N\sin \theta } _{\text{Friction term}}}$

上記の式を質量について解き、この値を前の式に代入すると、次のようになります。

${\displaystyle {\frac {{\frac {N\cos \theta -\mu _{s}N\sin \theta }{g}}v^{2}}{r}}=N\sin \theta +\mu _{s}N\cos \theta }$

を解くと次のようになります。 ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v_{\mathrm {max} }={\sqrt {rg\left(\sin \theta +\mu _{s}\cos \theta \right) \over \cos \theta -\mu _{s}\sin \theta }}={\sqrt {rg{\frac {\tan \theta +\mu _{s}}{1-\mu _{s}\tan \theta }}}}={\sqrt {rg\tan(\theta +\theta _{\mathrm {crit} })}}}$

ここで、 は臨界角であり、 となります。この式は、与えられた傾斜角、静摩擦係数、曲率半径を持つ自動車の最大速度を提供します。最小速度についても同様の分析を行うと、次の式が得られます。 ${\displaystyle \theta _{\mathrm {crit} }}$${\displaystyle \tan \theta _{\mathrm {crit} }=\mu _{s}}$

${\displaystyle v_{\mathrm {min} }={\sqrt {rg\left(\sin \theta -\mu _{s}\cos \theta \right) \over \cos \theta +\mu _{s}\sin \theta }}={\sqrt {rg{\frac {\tan \theta -\mu _{s}}{1+\mu _{s}\tan \theta }}}}={\sqrt {rg\tan(\theta -\theta _{\mathrm {crit} })}}}$

知らせ

${\displaystyle {\frac {v_{\mathrm {min} }}{v_{\mathrm {max} }}}={\sqrt {\frac {\tan(\theta -\theta _{\mathrm {crit} })}{\tan(\theta +\theta _{\mathrm {crit} })}}}}$

後者の解析の違いは、自動車の最小速度（円の外側に向かう方向）に対する摩擦の方向を考慮するときに生じます。その結果、求心方向と垂直方向の力の方程式に摩擦を代入するときには、逆の操作が実行されます。

不適切にバンクした道路カーブは、道路外への逸脱や正面衝突の危険性を高めます。片勾配が 2% 不足すると (たとえば、6% のカーブで片勾配が 4% の場合)、衝突頻度が 6% 増加することが予想され、5% 不足すると 15% 増加します。^[3]これまで、高速道路技術者は、不適切にバンクしたカーブを特定し、関連する緩和策を設計するための効率的なツールを持っていませんでした。最新のプロフィログラフは、道路の曲率と横断勾配(傾斜角)の両方のデータを提供できます。不適切にバンクしたカーブを評価する方法の実用的なデモンストレーションは、EU Roadex III プロジェクトで開発されました。以下のリンク先の参照文書を参照してください。

固定翼航空機が旋回（方向転換）する場合、航空機は旋回したい方向に向けて翼を傾けるようにバンク位置までロールする必要がある。旋回が完了すると、航空機は直線飛行を再開するために翼が水平の位置までロールバックする必要がある。^[4]

移動中の乗り物が旋回する場合、乗り物に作用する力が正味の内向きの力に加算され、求心加速が生じる必要があります。航空機が旋回する場合、求心加速を引き起こす力は、航空機に作用する 揚力の水平成分です。

水平直線飛行では、航空機に働く揚力は垂直上向きに作用し、下向きに作用する航空機の重量を打ち消します。航空機が水平飛行（つまり、高度一定）を続けるには、垂直成分が航空機の重量と等しくならなければならないため、パイロットは操縦桿を引いてエレベーターを適用し、機首を上げ、迎え角を増やして翼の揚力を増加させる必要があります。合計（角度がついた）揚力は航空機の重量よりも大きくなります。余分な揚力は合計揚力の水平成分であり、航空機を内側に加速させて旋回させる 正味の力です。

求心加速度は次のようになります。

${\displaystyle a={v^{2} \over r}}$

バンク角がバランスの取れた旋回中、揚力は垂直から離れた角度で作用します。揚力を垂直成分と水平成分に分解すると便利です。 ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$

水平方向におけるニュートンの第二法則は、数学的には次のように表すことができます。

${\displaystyle L\sin \theta ={mv^{2} \over r}}$

どこ：

${\displaystyle L}$航空機に作用する揚力は

${\displaystyle \theta }$航空機のバンク角です

${\displaystyle m}$航空機の質量は

${\displaystyle v}$航空機の実際の対気速度です

${\displaystyle r}$回転半径です

水平直線飛行では、揚力は航空機の重量に等しい。旋回飛行では、揚力は航空機の重量を超え、航空機の重量（）をバンク角の 余弦で割った値に等しくなる。${\displaystyle g}$

${\displaystyle L={mg \over {\cos \theta }}}$

重力場の強さは どこですか。${\displaystyle g}$

旋回半径は次のように計算できる: ^[5]

${\displaystyle r={v^{2} \over {g\tan \theta }}}$

この式は、旋回半径が航空機の真対気速度の二乗に比例することを示しています。対気速度が速いほど旋回半径は大きくなり、対気速度が遅いほど旋回半径は小さくなります。

この式は、バンク角に応じて旋回半径が減少することも示しています。バンク角が大きいほど旋回半径は小さくなり、バンク角が小さいほど旋回半径は大きくなります。

一定高度でのバンク旋回では、荷重係数は に等しくなります。から、水平直線飛行での荷重係数は であることがわかります。また、一定高度を維持するのに十分な揚力を生成するには、バンク角が に近づきに近づくにつれて荷重係数が無限大に近づく必要があります。 これは物理的に不可能です。なぜなら、それよりずっと前に、航空機の構造上の制限または乗員の身体的耐久力を超えてしまうからです。 ${\displaystyle {\frac {1}{\cos \theta }}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \cos(0)=1}$${\displaystyle 90^{\circ }}$${\displaystyle \cos \theta }$${\displaystyle 0}$

屋内陸上競技場のトラックは屋外トラックよりも小さいため、ほとんどのトラックはバンクカーブになっています。これらの小さなトラックの急カーブは通常、選手がカーブを走るときに内側に傾いて遠心力を中和できるようにバンクされています。この傾きはスプリント 競技 で特に顕著です。 ^[6]

• 
  傾斜のある屋内トラックでターンに臨むスプリンターたち

地上車両

• サーウェイ、レイモンド。科学者とエンジニアのための物理学。Cengage Learning、2010 年。
• 健康と安全の問題、整備不良の道路網によって引き起こされる健康と安全の問題に関する EU Roadex III プロジェクト。

航空学

• カーモード、AC (1972)飛行力学、第 8 章、第 10 版、ロングマン グループ リミテッド、ロンドンISBN 0-582-23740-8 
• Clancy, LJ (1975)、Aerodynamics、Pitman Publishing Limited、ロンドン ISBN 0-273-01120-0 
• ハート、HH Jr、（1960）、海軍航空士のための空気力学、ナショナルフライトショップ復刻版、フロリダ

地上車両

• http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/mechanics/imgmech/carbank.gif
• https://web.archive.org/web/20051222173550/http://whitts.alioth.net/
• http://www.batesville.k12.in.us/physics/PHYNET/Mechanics/Circular%20Motion/banked_no_friction.htm

航空学

• NASA: バンキングターンに関するガイダンス
• aerospaceweb.org: バンク角と G (数学)
• パイロットのための航空知識ハンドブック

https://edu-physics.com/2021/05/08/how-banking-of-road-will-help-the-vehicle-to-travel-along-a-circular-path-2/