クッタ条件

クッタ条件は、定常流体力学、特に空気力学における原理であり、翼の後縁などの鋭角な角を持つ固体に適用されます。ドイツの数学者で空気力学者のマルティン・クッタにちなんで名付けられました。

クッタ条件は次のように述べられている: ^{[1] : § 4.11}

流体中を移動する鋭い後縁を持つ物体は、後縁の後方のよどみ点を保持するのに十分な強さの循環を自らの周りに作り出します。

鋭角の物体の周りの流体の流れにおいて、クッタ条件とは、流体が上と下から角に近づき、角で合流し、物体から流れ出る流れのパターンを指します。流体は鋭角の周りを流れません。

クッタ条件は、クッタ・ジューコフスキー定理を使用して、鋭い後縁を持つ翼によって生成される揚力を計算するときに重要です。翼の周りの流れの循環の値は、クッタ条件が存在する値である必要があります。

2 次元のポテンシャル フローを適用すると、鋭い後縁を持つ翼が迎え角を持って空気中を動き始めると、シリンダーの場合と同様に、2 つのよどみ点は最初は前縁近くの下側と後縁近くの上側にあります。翼の下側を通過する空気が後縁に達すると、空気は後縁の周りを流れ、翼の上面に沿って翼の上面のよどみ点に向かって流れなければなりません。後縁では渦流が発生し、鋭い後縁の半径はゼロなので、後縁周辺の空気の速度は無限大になるはずです。実際の流体は無限大の速度で移動することはできませんが、非常に速く移動することはできます。後縁周辺の高速気流により、翼の後縁に隣接する空気に強い粘性力が作用し、その結果、翼の上側、後縁近くに強い渦が蓄積されます。翼が動き始めると、翼は始動渦と呼ばれるこの渦を一緒に運びます。先駆的な空気力学者は、液体中の始動渦を写真に撮ってその存在を確認することができました。^{[2] [3] [4]}

始動渦の渦度は、ケルビンの循環定理に従って、翼内の境界渦の渦度と一致します。^{[1] ：§ 2.14}始動渦の渦度が徐々に増加すると、境界渦の渦度も徐々に増加し、翼の上面上の流れの速度が増加します。始動渦はすぐに翼から投げ出され、翼が離れた場所で空中で回転しながら取り残されます。翼の上面のよどみ点は、その後、後縁に到達するまで移動します。^{[1] ：§§ 6.2、6.3}始動渦は最終的に粘性力により消散します。

翼が進むにつれて、後縁によどみ点ができます。上面の流れは翼の上面に沿って進みます。上面と下面の両方の流れは後縁で合流し、翼は互いに平行に進み続けます。これはクッタ条件として知られています。^{[5] : § 4.8}

翼が迎え角を持って動いているとき、初期渦が除去され、クッタ条件が成立し、翼の周囲に有限の空気循環が生じる。翼は揚力を生成しており、その揚力の大きさはクッタ・ジューコフスキー定理によって与えられる。^{[5] : § 4.5}

クッタ条件の結果の 1 つは、翼の上面を流れる気流が下面を流れる気流よりもはるかに速く流れることです。よどみ点の流線に沿って翼に近づく空気の塊は、よどみ点で 2 つに分かれ、片方の半分は上面を流れ、もう片方の半分は下面に沿って流れます。上面を流れる気流は下面を流れる気流よりもはるかに速いため、この 2 つの半分は二度と出会うことはありません。翼が通過した後も、かなり経ってから後流で再び合流することさえありません。^{[要出典]等}通過時間誤謬と呼ばれるよく知られた誤謬があり、これは 2 つの半分が翼の後縁で再び合流すると主張しています。これはマーティン クッタの発見以来、誤謬であると認識されています。

翼の速度や迎え角が変化すると、後縁の上または下に弱い初期渦が形成され始めます。この弱い初期渦により、新しい速度や迎え角に対してクッタ条件が再確立されます。その結果、翼の周りの循環が変化し、速度や迎え角の変化に応じて揚力も変化します。^{[6] [5] : § 4.7-4.9}

クッタ条件は、構造上および製造上の観点からは望ましくないにもかかわらず 、翼型の後縁が鋭い理由についてある程度の洞察を与えます^{[7] 。}

翼上の非回転、非粘性、非圧縮流れ（ポテンシャル流れ）では、翼表面上の流れ関数を計算することによってクッタ条件を実装できます。^{[8] [9]} 同じクッタ条件の実装方法は、孤立した翼上の2次元亜音速（亜臨界）非粘性定常圧縮流れを解くためにも使用されます。^{[10] [11]} クッタ条件の粘性補正は、最近のいくつかの研究で見つけることができます。^[12]

クッタ条件により、空気力学者は、基礎となる運動量保存方程式における粘性効果を無視しながら、粘性の重要な効果を組み込むことができます。これは、翼の揚力の実際の計算において重要です。

質量保存方程式と運動量保存方程式を固体の周りのポテンシャル流などの非粘性流体の流れに適用すると、有効な解は無数に得られます。正しい解を選択する 1 つの方法は、ナビエ–ストークス方程式の形で粘性方程式を適用することです。ただし、通常、これらは閉じた形の解にはなりません。クッタ条件は、粘性効果のいくつかの側面を取り入れ、皮膚摩擦やその他の境界層効果などの他の側面を無視する代替方法です。

この条件は、さまざまな方法で表現できます。1 つは、後縁での速度が無限に変化してはならないというものです。非粘性流体は速度が急激に変化することがあり得ますが、実際には粘性によって急激な速度変化が緩和されます。後縁の角度がゼロでない場合、そこの流速はゼロでなければなりません。ただし、尖った後縁では、速度はゼロでなくてもかまいませんが、翼の上と下で速度は同じでなければなりません。もう 1 つの表現は、圧力が後縁で連続的でなければならないというものです。

クッタ条件は非定常流には適用されません。実験的観察によれば、よどみ点(流速がゼロである翼面上の 2 点のうちの 1 つ) は、流れがゼロから加速すると翼の上面 (有効迎え角が正であると仮定) から始まり、流れが加速するにつれて後方に移動します。初期の過渡効果がなくなると、よどみ点はクッタ条件で要求されているように後縁にあります。

数学的には、クッタ条件は循環の無限に許容される値の中から特定の選択を強制します。

• クッタ・ジューコフスキーの定理
• 馬蹄渦
• 渦の始まり

• LJ Clancy ( 1975) Aerodynamics、Pitman Publishing Limited、ロンドン。ISBN 0-273-01120-0 
• ジュネーブ大学での「翼周りの流れ」
• インド国立航空宇宙研究所の Praveen Chandrashekar による「揚力流の Kutta 条件」
• アンダーソン、ジョン(1984)。空気力学の基礎。トロント: マグロウヒル。4.5、4.6。ISBN 0-07-001656-9。
• AM Kuethe および JD Schetzer、「空気力学の基礎」、John Wiley & Sons, Inc.、ニューヨーク (1959) ISBN 0-471-50952-3 
• Massey、BS流体力学。セクション 9.10、第 2 版。Van Nostrand Reinhold Co. ロンドン (1970) 米国議会図書館カタログ カード番号 67-25005
• C. Xu、「シャープエッジフローのKutta条件」、Mechanics Research Communications 25(4):415-420 (1998)。
• EL Houghton および PW Carpenter、「工学部学生のための空気力学」、第 5 版、pp. 160-162、Butterworth-Heinemann、Elsevier Science の出版物、Jordan Hill、オックスフォード (2003) ISBN 0-7506-5111-3