ストローハル数

次元解析において、ストローハル数（St、またはスタントン数との衝突を避けるためにSrと呼ばれることもある）は、振動する流れのメカニズムを記述する無次元数である。このパラメータは、1878年に風で渦が放出され歌うワイヤーの実験を行ったチェコの物理学者、ヴィンセンツ・ストローハルにちなんで名付けられた。 ^{[1] [2]ストローハル数は}流体力学の基礎において不可欠な要素である。

ストローハル数は次のように表されることが多い。

${\displaystyle {\text{St}}={\frac {fL}{U}},}$

ここで、fは渦放出の周波数（ヘルツ単位）、^[3] Lは特性長さ（たとえば、水力直径または翼厚）、Uは流速です。ヒービング（プランジ）飛行などの特定のケースでは、この特性長さは振動の振幅です。この特性長さの選択は、ストローハル数と縮小周波数を区別するために使用できます。

${\displaystyle {\text{St}}={\frac {kA}{\pic}},}$

ここで、kは減衰周波数、A は上下動振動の振幅です。

ストローハル数が大きい場合（1 のオーダー）、粘性が流体の流れを支配し、流体の「プラグ」の集合的な振動運動が生じる。ストローハル数が低い場合（10 ⁻⁴のオーダー以下）、運動の高速で準定常状態の部分が振動を支配します。中間のストローハル数での振動は、渦の蓄積とそれに続く急速な放出によって特徴付けられます。^[4]

レイノルズ数範囲 8×10 ² < Re < 2×10 ⁵の一様流中の球の場合、ストローハル数は 2 つの値が共存します。低周波は伴流の大規模な不安定性に起因し、レイノルズ数Re とは無関係で、約 0.2 に等しくなります。高周波数のストローハル数は、せん断層の分離による小規模な不安定性によって発生します。^{[5] [6]}

ニュートンの第二法則によれば、力は質量×加速度、つまり に等しいとされ、加速度は速度の微分、つまり流体力学の場合には (特性速度/時間) であることが分かるので、 ${\displaystyle F=ma}$${\displaystyle {\tfrac {U}{t}}}$

${\displaystyle F={\dfrac {mU}{t}}}$、

特性速度は単位時間あたりの長さとして表すことができるので、 ${\displaystyle {\tfrac {L}{t}}}$

${\displaystyle F={\dfrac {mU^{2}}{L}}}$、

どこ、

m = 質量、

U = 特性速度、

L = 特性長さ。

両辺を で割ると、 ${\displaystyle {\tfrac {mU^{2}}{L}}}$

${\displaystyle {\tfrac {FL}{mU^{2}}}=1={\text{定数}}}$⇒ 、${\displaystyle {\tfrac {mU^{2}}{FL}}=1={\text{定数}}}$

どこ、

m = 質量、

U = 特性速度、

F = 純外力、

L = 特性長さ。

これにより、質量、特性速度、正味の外力、長さ (サイズ) の関係の無次元ベースが提供され、質量を持つ物体に対する流体力学の影響を分析するために使用できます。

外力が主に弾性である場合、フックの法則を使って次のように見ること ができます。

${\displaystyle F=k\Delta L}$、

どこ、

k = バネ定数（弾性要素の剛性）、

ΔL = 変形（長さの変化）。

と仮定すると、 となる。弾性システムの固有共振周波数 が に等しいので、次式が得られる。 ${\displaystyle \Delta L\propto L}$${\displaystyle F\approx kL}$${\displaystyle \omega _{0}^{2}}$${\displaystyle {\tfrac {k}{m}}}$

${\displaystyle {\dfrac {mU^{2}}{FL}}={\dfrac {mU^{2}}{kL^{2}}}={\dfrac {U^{2}}{\omega _{0}^{2}L^{2}}}}$、

どこ、

m = 質量、

U = 特性速度、

${\displaystyle \omega _{0}}$= 固有共振周波数、

ΔL = 変形（長さの変化）。

周期的な運動の周波数は次 のように表せるので、${\displaystyle f={\tfrac {\omega _{0}^{2}L}{U}}}$

${\displaystyle {\dfrac {U^{2}}{\omega _{0}^{2}L^{2}}}={\dfrac {U}{fL}}={\text{定数}} ={\dfrac {fL}{U}}={\text{St (ストローハル数)}}}$、

どこ、

f = 周波数、

L = 特性長さ、

U = 特性速度。

マイクロロボットやナノロボットの分野では、レイノルズ数とともにストローハル数を使用して、外部の振動流体の流れがマイクロロボットの本体に与える影響を解析します。周期的な動きをするマイクロロボットを考えると、ストローハル数は次のように評価できます。

${\displaystyle {\text{St}}={\dfrac {fL}{U}}}$、

どこ、

f = 周期運動周波数、

L = ロボットの特性長さ、

U = 特性速度。

ストローハル数を用いたマイクロロボットの解析では、支配的な力が弾性であるかどうかに関係なく、ロボットに作用する慣性力に関連して、ロボットが属する流体の動きがロボットの動きに与える影響を評価することができます。^[7]

医療分野では、泳ぐ動作で移動するマイクロロボットが、手の届かない環境で微細な操作を行う可能性があります。

血管に使用される式：^[8]

${\displaystyle {\text{St}}={\dfrac {fD}{V}}}$、

どこ、

f = マイクロボットの水泳動作の振動周波数

D = 血管の直径

V = 非定常粘弾性流

ストローハル数はデボラ数（De）とワイセンベルク数（Wi）の比として用いられる：^[8]

${\displaystyle {\text{St}}={\dfrac {\text{De}}{\text{Wi}}}}$。

ストローハル数はウォマースリー数（Wo）を求めるのにも用いられる。血流の場合は非定常粘弾性流として分類できるため、ウォマースリー数は^{[8]である。}

${\displaystyle {\text{Wo}}={\sqrt {{\dfrac {\pi }{2}}*{\text{Re}}*{\text{St}}}}}$、

あるいは両方の方程式を考慮すると、

${\displaystyle {\text{Wo}}={\sqrt {{\dfrac {\pi }{2}}*{\text{Re}}*{\dfrac {\text{De}}{\text{Wi}}}}}}$。

計測学、特に軸流タービン メーターでは、ストローハル数はロシュコ数と組み合わせて使用​​され、流量と周波数の相関関係を示します。周波数/粘度対 K 係数法に対するこの方法の利点は、メーターに対する温度の影響を考慮に入れていることです。

${\displaystyle {\text{St}}={\frac {f}{U}}C^{3},}$

どこ、

f = メーター周波数、

U = 流量、

C = メーターハウジング材料の線膨張係数。

この関係により、ストローハルは無次元になりますが、 C ³には無次元近似が使用されることが多く、その結果、パルス/体積の単位（K係数と同じ）になります。

流れと周波数の関係は航空分野でも見られます。脈動するメタンと空気の共流ジェット拡散炎を考えると、

${\displaystyle {\text{St}}={\dfrac {aw_{j}}{U_{j}}}}$、

どこ、

a = 燃料ジェットの半径

w = 変調周波数

U = 燃料ジェットの出口速度

ストローハル数が小さい場合（St=0.1）、変調により流れに偏差が生じ、下流まで移動します。ストローハル数が大きくなると、無次元周波数は揺らめく炎の固有周波数に近づき、最終的には炎よりも大きな脈動が発生します。^[9]

泳いだり飛んだりする動物の場合、ストローハル数は次のように定義されます。

${\displaystyle {\text{St}}={\frac {f}{U}}A,}$

どこ、

f = 振動周波数（尾の振動、羽ばたきなど）、

U = 流量、

A = ピークツーピークの振動振幅。

動物の飛行や水泳では、ストローハル定数の狭い範囲で推進効率が高く、一般に 0.2 < St < 0.4 の範囲でピークに達します。^[10]この範囲は、イルカ、サメ、硬骨魚の水泳や、鳥、コウモリ、昆虫の巡航飛行で使用されます。^[10]ただし、他の飛行形式では他の値が見つかります。^[10]直感的に、この比率は、横から見たストロークの急勾配を測定します (たとえば、静止した流体中の移動を想定)。fはストローク周波数、Aは振幅であるため、分子のfAは翼端の垂直速度の半分、分母のV は水平速度です。したがって、翼端のグラフは、アスペクト (最大傾斜) がストローハル定数の 2 倍である近似正弦波を形成します。^[11]

ストローハル数は、物体が流体中を移動する際に生じる振動流を評価するために最もよく使用されます。ストローハル数は、動物が周期的な推進運動で流体中を効率的に移動することの難しさを反映しています。この数値は推進効率に関係しており、最適なストローハル数の範囲内では70%～80%ストローハル数は0.2～0.4の範囲で測定されます。ストロークの頻度、各ストロークの振幅、速度などの要素を使用することで、動物が泳いだり飛んだりするときに流体中を移動する際の推進力の効率と影響を分析することができます。たとえば、この値はより高い推進効率を達成するための制約を表し、巡航時の動きやホバリング時の空気力に影響します。^[12]

物体に作用する反力や粘性、密度などの特性が大きいと、動物が泳ぐときに理想的なストローハル数の範囲内に収まる運動能力が低下します。飛んだり泳いだりするさまざまな種の評価を通じて、多くの鳥類や魚類の種の動きが最適なストローハル範囲内に収まることがわかりました。^[12]しかし、ストローハル数は、空気力に応じてどのように制約された方法で移動するかという方法に基づいて、同じ種内でも他の種よりも大きく異なります。^[12]

ストローハル数は、流線と流体中を移動する動物の速度に基づいているため、動物の飛行を分析する上で非常に重要です。その重要性は、アルシドが異なる媒体（空気から水）を通過するときの動きを通して実証されています。アルシドの評価により、翼面積に比べて質量が大きいにもかかわらず、空気と水中で効率的なストローハル数の範囲で飛行できるという特殊性が判明しました。^[13]アルシドの効率的な二重媒体運動は、環境が時間の経過とともに動物の進化において役割を果たし、特定の効率的な範囲に収まるという自然選択を通じて発達しました。二重媒体運動は、アルシドが各流体中を移動する際の流れの速度に基づいて、2つの異なる飛行パターンをどのように持っていたかを示しています。^[13]しかし、鳥が異なる媒体中を移動するため、流体の密度と粘性の影響に直面しなければなりません。さらに、アルシドは水平方向に移動する際に上向きの浮力に抵抗する必要もあります。

さまざまなスケールでのストローハル数の重要性を判断するには、スケール分析(あるスケールに関して変化する要因の影響を分析する簡略化方法) を実行する必要があります。マイクロロボティクスとナノロボティクスのコンテキストで考えると、スケール分析を実行する際に重要な要因はサイズです。

ストローハル数のスケール分析により、質量と慣性力の関係を分析できます。これは、質量と慣性力がサイズに応じて変化するためです。元の導出形式 をとると、各項をサイズに関連付け、サイズが変化すると比率がどのように変化するかを確認できます。 ${\displaystyle {\tfrac {mU^{2}}{FL}}}$

mは質量、Vは体積、密度は体積が長さ（L）に比例するため、質量は大きさに直接関係していることがわかります。体積を とすると、質量と大きさは次のように直接関係します 。${\displaystyle m=V\rho }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle L^{3}}$

${\displaystyle m\approx L^{3}}$。

特性速度（U）は であり、相対距離は大きさに応じて変化するため、 ${\displaystyle {\tfrac {\text{distance}}{\text{time}}}}$

${\displaystyle U^{2}\approx L^{2}}$。

純外力（F）は質量と加速度に比例し、次のように表されます。加速度は に関するものであるため、 となります。質量と大きさの関係は と確立されているため、3つの関係すべてを考慮すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle F=m\cdot a}$${\displaystyle {\tfrac {\text{distance}}{{\text{time}}^{2}}}}$${\displaystyle a\approx L}$${\displaystyle m\approx L^{3}}$

${\displaystyle F\approx L^{4}}$。

長さ ( L ) はすでにサイズを表しており、Lのままです。

これらを総合すると、

${\displaystyle {\dfrac {mU^{2}}{FL}}\approx {\dfrac {L^{3}L^{2}}{L^{4}L}}\approx {\dfrac {L^{5}}{L^{5}}}\approx L^{0}=1}$。

ストローハル数は質量と慣性力を関連付けるため、これら 2 つの要因はサイズに比例して拡大し、流体の周期的な動きにおける物体の挙動への寄与に関して重要性が増減することはないため、このことが予想されます。

リチャードソン数とストローハル数のスケーリング関係は次の式で表される： ^[14]

${\displaystyle {\text{St}}_{l}=b{\text{Ri}}_{l}^{a}}$、

ここで、aとb は条件に応じて変化する定数です。

円形ヘリウム浮力ジェットとプルームの場合: ^[14]

${\displaystyle {\text{St}}_{D}\sim {\text{Ri}}_{D}^{0.38}}$。

いつ、 ${\displaystyle {\text{Ri}}<100}$

${\displaystyle {\text{St}}_{D}=0.8{\text{Ri}}_{D}^{0.38}}$。

いつ、 ${\displaystyle 100<{\text{Ri}}<500}$

${\displaystyle {\text{St}}_{D}=2.1{\text{Ri}}_{D}^{0.28}}$。

平面浮力ジェットとプルームの場合: ^[14]

${\displaystyle {\text{St}}_{W}=0.55{\text{Ri}}_{W}^{0.45}}$。

形状に依存しないスケーリングの場合: ^[14]

${\displaystyle {\text{St}}_{Rh}=e^{-1}{\text{Ri}}_{Rh}^{\tfrac {2}{5}}}$

流体中を移動する物体を開発する理想的な方法を検討する際には、ストローハル数とレイノルズ数を考慮する必要があります。さらに、これらの値の関係は、流体中を移動する物体が受ける反作用力とその慣性力を関連付けるライトヒルの長体理論によって表現されます。 ^[15]ストローハル数は、無次元のライトヒル数に依存すると決定され、ライトヒル数はレイノルズ数と関連しています。したがって、ストローハル数の値は、レイノルズ数が増加すると減少し、ライトヒル数が増加すると増加することがわかります。^[15]

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