揚力線理論

ランチェスター＝プラントル揚力線理論^[1]は、翼の形状から三次元翼上の揚力分布を予測する航空力学の数学的モデルである。^[2] この理論は、1907 年にフレデリック・W・ランチェスター[ ^3]によって、またアルバート・ベッツおよびマックス・ムンクと共同研究を行った後にルートヴィヒ・プラントル^[4]によって1918～ 1919 年に独立して表現された。 ^[5]このモデルでは、翼に束縛された渦は、翼端から単一の渦として放出されるのではなく、後縁から渦シートとして放出されるため、翼幅全体にわたって発達する。^{[6] [7]}

与えられた形状の翼が生成する揚力の全体量を解析的に予測することは困難です。3 次元の有限翼を解析する場合、従来のアプローチでは、翼を複数の断面にスライスし、各断面を 2 次元の世界の翼として個別に解析します。これらのスライスはそれぞれ翼型と呼ばれ、完全な 3 次元の翼よりも翼型の方が理解しやすいです。

翼全体を理解するには、各翼セグメントから独立して計算された力を単純に加算すればよいと考える人もいるかもしれません。しかし、この近似は完全に間違っています。実際の翼では、各微小翼セクションからの揚力は、隣接する翼セクション上の気流に大きく影響されます。揚力線理論は、翼スライス間の相互作用を組み込むことで、単純な 2 次元アプローチの誤りの一部を修正します。

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  3次元効果を無視した非現実的な揚力分布
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  （有限）台形翼の揚力分布の観測

揚力線理論では、翼は細長く、胴体はほとんどなく、流体中を流れるスパン 2 sの細い棒 (揚力線とも呼ばれる) に似ていると想定されている。クッタ・ジュコウスキーの定理によれば、胴体からyの距離にある翼の 2 次元セグメントの 揚力 L ( y )は、 yにある棒の周りの循環Γ( y )に比例する。航空機が地上で静止しているとき、これらの循環はすべて等しいが、航空機が動いているときは、yに応じて変化する。ヘルムホルツの定理によれば、空間的に変化する循環の生成は、翼の下流に等しい強さの渦糸を放出することに対応している必要がある。^[8] 

揚力線理論では、結果として生じる渦線は翼に束縛されたままであると推定され、そのため流入する自由流の有効垂直角度が変わります。

距離 r離れた空気上の強度γの渦線によって誘発される垂直運動は γ ⁄ 4π rであるため、渦システム全体が位置 yで自由流垂直運動を誘発し、積分はコーシー主値の意味で理解される。この流れはyでの有効迎え角を変える。翼を構成する翼型の循環応答が迎え角の範囲にわたって理解されれば、Γ( y )を決定する積分方程式を展開することができる。^[9]$${\displaystyle w(y)=\int _{-s}^{s}{\frac {d\Gamma ({\チルダ {y}})}{4\pi (y-{\チルダ {y}} )}},}$$

形式的には、位置yの翼型が揚力を発生しない ような配向角度が存在する 。揚力のない角度に対して角度αで配向された速度Vの気流に対して、翼型は循環V ⋅ C ( y ,α)を発生する。αが小さい場合、テイラー展開はその循環をV ⋅ ∂ C ⁄ ∂α ( y ,0)⋅αと近似する。翼型が理想的で弦長c ( y )を持つ場合、理論では次のように予測されるが、実際の翼型は効率が低い可能性がある。^{[10] [11]}$${\displaystyle C(y,\alpha )=2\pic(y)\sin(\alpha ){\text{,}}}$$

自由流が位置y の翼に 角度α( y )で衝突すると仮定します (位置yの翼の無揚力角に対する相対値です 。したがって、翼を横切る均一な流れでもα( y )は変化する可能性があります)。小角近似により、自由流と渦流を組み合わせたシステムのyでの有効迎え角はα( y )+ w ( y ) ⁄ Vです。上記の式を組み合わせると、

この式におけるVとΓ を 除くすべての量は翼の幾何学的特性であり、エンジニアは（原理的には）固定されたVが与えられた場合にΓ( y )を解くことができる。薄翼理論の導出と同様に、一般的なアプローチはΓ を翼に沿ったフーリエ級数として展開し、最初の数項のみを保持することである。^{[12] [13] [14]}

速度V、循環Γ、流体密度 ρがわかれば、翼によって生成される揚力は、規定の循環を持つ各翼型によって生成される純揚力であると仮定されます... ...そして抗力も同様に翼型全体の合計です。 これらの量とアスペクト比A‍Rから、翼幅効率係数を計算できます。^{[15] [16] [11]}$${\displaystyle L=\rho V\int _{-s}^{s}{\Gamma (y)\,dy}}$$$${\displaystyle D=\rho V\int _{-s}^{s}{\Gamma (y)\alpha (y)\,dy}{\text{.}}}$$ $${\displaystyle e={\frac {1}{\pi \mathrm {A\!R} }}\cdot {\frac {L^{2}}{\rho VD}}}$$

操縦翼面のたわみにより、各翼断面の形状が変わり、その翼の無揚力角や迎え角応答が変わります。これらは理論に大幅な修正を加える必要はなく、 ( 1 )の∂αC ( y ,0)とα( y )_{を変更するだけです。しかし、回転する航空機や羽ばたく鳥など、翼が急速に移動する物体は、翼の向きが変わるため、翼}全体に垂直な流れが生じますが、これは理論では欠けている項として現れます。

航空機が胴体の周りを速度pで回転しているとき、位置yの翼は速度pyの垂直気流を受け、それに応じて有効迎え角にpy ⁄ Vが追加されます。したがって、( 1 ) は次のようになります。これにより、揚力と誘導抗力の両方が修正されます。^[17] この「抗力」が羽ばたく翼の推力の主な生成を構成します。^[17]$${\displaystyle \Gamma (y)=\partial _{\alpha }C(y,0)\left(V\alpha (y)+py+{\frac {1}{4\pi }}\int _{-s}^{s}{\frac {\Gamma '({\tilde {y}})\,dy}{y-{\tilde {y}}}}\right){\text{,}}}$$

効率eは、 ねじれのない楕円翼で理論的に最適化されており、θは翼に沿った位置の代替パラメータ化です。このような翼の場合、楕円誘導抗力係数の式が得られます。揚力線理論によれば、どの翼平面でも、胴体に対するねじれ（位置によってピッチが増加）によって同じ効率を達成できます。^[14]$${\displaystyle {\begin{aligned}y&=s\cos \theta \\c(y)&=\mathrm {A\!R} \,s\sin \theta {\text{,}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle e=1{\text{,}}}$$$${\displaystyle C_{D_{induced}}={\frac {C_{L}^{2}}{\pi A\!R}}}$$

楕円循環分布の3D揚力係数の有用な近似式^[要出典]は、 ARが無限大になるとこの式が薄い翼型方程式になることに注意してください。^{[18] [検証失敗]}$${\displaystyle \ C_{L}=\partial _{\alpha }C(0,0)\left(1+{\frac {2}{\mathrm {A\!R} }}\right)^{-1}\alpha }$$

揚力線理論では、翼による空気の圧縮、胴体の境界層内の粘性流、または後退翼や低アスペクト比翼などの長くてまっすぐで薄い翼以外の翼の形状は考慮されません。また、この理論では、翼の周りの流れが平衡状態にあることを前提としており、自由流の空気に対して急速に加速される物体については考慮されていません。

• 馬蹄渦
• クッタ条件
• 薄翼理論
• 渦格子法
• オイラー方程式（流体力学）

• LJ Clancy (1975)、Aerodynamics 、 Pitman Publishing Limited、ロンドン。ISBN 0-273-01120-0 
• アボット、アイラ H.、フォン ドゥエンホフ、アルバート E. (1959)、翼断面の理論、ドーバー出版、ニューヨーク。標準書籍番号 486-60586-8